\[
=\frac{a_1^3+2a_1^2+a_1+a_1a_2^2}{4a_1^2a_2^2}>0
\]
故矩阵 \(\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}>0\),系统在原点大范围一致渐近稳定。
9-65 设系统的动态方程为
\[
\begin{bmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-3&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}u,\quad \begin{bmatrix}x_1(0)\\x_2(0)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}
\]
\[
y=\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}+2u
\]
其中,\(u(t)=\delta(t)\)为单位脉冲函数。试求:(1)系统的状态转移矩阵;(2)系统的状态响应。
解 (1)求状态转移矩阵。
因
\[
s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}s&-1\\3&s+2\end{bmatrix}
\]
\[
(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}=\begin{bmatrix}\dfrac{s+2}{s^2+2s+3}&\dfrac{1}{s^2+2s+3}\\[2ex]\dfrac{-3}{s^2+2s+3}&\dfrac{s}{s^2+2s+3}\end{bmatrix}
\]
所以 \(\quad \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}=\mathscr{L}^{-1}\left[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\right]\)
\[
=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t+\mathrm{e}^{-t}\cos\sqrt{2}t&\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t\\[2ex]-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t&\mathrm{e}^{-t}\cos\sqrt{2}t-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t\end{bmatrix}
\]
(2)求状态响应。
\[
\boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(0)+\int_0^t \mathrm{e}^{\boldsymbol{A}\tau}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\delta(\tau)\mathrm{d}\tau
\]
\[
=\begin{bmatrix}\dfrac{5}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t+2\mathrm{e}^{-t}\cos\sqrt{2}t\\[2ex]-\dfrac{9}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t+3\mathrm{e}^{-t}\cos\sqrt{2}t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t+\mathrm{e}^{-t}\cos\sqrt{2}t\\[2ex]-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t\end{bmatrix}
\]
\[
=\begin{bmatrix}\dfrac{6}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t+3\mathrm{e}^{-t}\cos\sqrt{2}t\\[2ex]-\dfrac{12}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{-t}\sin\sqrt{2}t+3\mathrm{e}^{-t}\cos\sqrt{2}t\end{bmatrix}
\]
9-66 已知系统动态方程为
\[
\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{b}u(t)
\]
\[
y(t)=\boldsymbol{c}\boldsymbol{x}(t)
\]
其中,\(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1\\0&-2\end{bmatrix}\);\(\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\);\(\boldsymbol{c}[2\quad 0]\)。
(1)画出系统结构图;(2)判断系统的可控性与可观测性;(3)求出系统的传递函数;
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