图 2-49 安装在喷气发动机试验雪橇上的加速度计示意图
解 作用在质量 \(M\) 上的力的总和为
\[-f\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-ky=M\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(y+x)\]
或者
\[M\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}+f\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+ky=-M\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t_2}\]
由于发动机推力为
\[F(t)=M_s\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\]
从而得
\[M\ddot{y}+f\dot{y}+ky=-\frac{M}{M_s}F(t)\]
整理后,有如下运动方程:
\[\ddot{y}+\frac{f}{M}\dot{y}+\frac{k}{M}y=-\frac{F(t)}{M_s}\]
选择加速度计参数 \(f/M=3,k/M=2\),且令 \(F(t)/M_s=Q(t)=R\cdot1(t)\),其中 \(R\) 为阶跃函数的幅值,则运动方程的拉氏变换为
\[[s^2Y(s)-sy(0)-\dot{y}(0)]+3[sY(s)-y(0)]+2Y(s)=-Q(s)\]
代入已知初始条件 \(y(0)\) 和 \(\dot{y}(0)\),得
\[(s^2+3s+2)Y(s)=-\frac{s^2+s+R}{s}\]
于是,输出量的拉氏变换式为
\[Y(s)=-\frac{s^2+s+R}{s(s^2+3s+2)}=-\frac{s^2+s+R}{s(s+1)(s+2)}\]
将上式展开成部分分式,有
\[Y(s)=\frac{k_1}{s}+\frac{k_2}{s+1}+\frac{k_3}{s+2}\]
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