闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{KG_1(z)}{1+KG_1H(z)}=\frac{0.4324K}{z+(0.8647K-0.1353)}\]
(2) 求 \(K\) 值范围。系统闭环特征方程为
\[D(z)=z+(0.8647K-0.1353)=0\]
\[z=0.1353-0.8647K=0.1353(1-6.391K)\]
根据稳定性定理,当 \(|z|<1\) 时系统稳定,则有
\[-1<K<1.313\]
(3) 求 \(c(t)\) 稳态值。令 \(K=1\),单位阶跃输入的 \(z\) 变换为
\[R(z)=\frac{z}{z-1}\]
而闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z)=\frac{0.4324}{z+0.7294}\]
于是由 \(z\) 变换终值定理得
\[c(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})C(z)\]
\[=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})\Phi(z)R(z)\]
\[=\lim_{z\to1}\left[\frac{z-1}{z}\cdot\frac{0.4324}{z+0.7294}\cdot\frac{z}{z-1}\right]\]
\[=0.25\]
单位阶跃输出曲线如图7-47所示。
MATLAB文本:exe734.m
T=0.1;t=0:0.1:2;
sys=tf([0.4324],[1,0.7294],T);step(sys,t);grid;
图7-47 系统单位阶跃响应(MATLAB)
7-35 采样系统的结构图如图7-48所示,图中采样周期 \(T=0.1\)。试确定在输入信号 \(r(t)=t\) 作用下系统稳态误差 \(e_{ss}(\infty)=0.05\) 时的 \(K\) 值。
图7-48 闭环采样系统结构图
解 开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{(1-e^{-sT})K}{s^2(0.1s+1)}\right]=K(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{10}{s^2(s+10)}\right]\]
\[=\frac{K(z-1)}{z}\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2}-\frac{0.1}{s}+\frac{0.1}{s+10}\right]\]
\[=\frac{K(z-1)}{z}\left[\frac{Tz}{(z-1)^2}-\frac{0.1z}{z-1}+\frac{0.1z}{z-e^{-1}}\right]\]