解 由于 \(G_1(s)\) 的单位阶跃响应为 \(\dfrac{8}{5}(1-\mathrm{e}^{-5t})\)，则
\[\frac{1}{s}G_1(s)=\frac{8}{5}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+5}\right)\]
即
\[G_1(s)=\frac{8}{s+5}\]
(1) 稳态输出。 由图 3-69 可得，系统的开环传递函数为
\[G(s)H(s)=\frac{8}{s+5}\cdot\frac{2}{s+4}\cdot 5=\frac{80}{(s+5)(s+4)}\]
则系统的闭环传递函数为
\[\Phi_r(s)=\frac{16}{s^2+9s+100}\]
若 \(r(t)=20\cdot 1(t)\)，即 \(R(s)=\dfrac{20}{s}\)，利用终值定理有
\[c(\infty)=\lim_{s\to 0}s\Phi_r(s)R(s)=\lim_{s\to 0}s\cdot\frac{16}{s^2+9s+100}\cdot\frac{20}{s}=3.2\]
(2) 系统性能。 由 \(\Phi_r(s)=\dfrac{16}{s^2+9s+100}\) 可知，系统的自然频率和阻尼比分别为
\[\omega_n=10,\qquad \zeta=0.45\]
则系统的动态性能指标如下：
超调量 \(\quad\sigma\%=\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times 100\%=20.5\%\)
峰值时间 \(\quad t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=0.352\mathrm{s}\)
调节时间 \(\quad t_s=\dfrac{4.4}{\zeta\omega_n}=0.98\mathrm{s}\qquad(\Delta=2\%)\)
由 \(G(s)H(s)=\dfrac{80}{(s+5)(s+4)}\) 可知，该控制系统为 0 型系统，且 \(K_p=4\)，而等效单位反馈系统如图 3-70 所示。则系统在输入 \(r(t)=R\cdot 1(t)(R=20)\) 下的稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=\frac{R'}{1+K_p}=0.8\qquad(R'=4)\]
图 3-70 控制系统的等效单位反馈系统结构图
此时系统的输出响应曲线如图 3-71 所示。
(3) 顺馈补偿器设计。 在扰动端加入顺馈补偿装置 \(G_n(s)\) 的系统结构图如图 3-72 所示。
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