由劳斯判据知：当 \(K_f=0\) 时，劳斯表中出现了全零行，其辅助方程为 \(s^2+10=0\)，系统有一对纯虚根 \(\pm\mathrm{j}\sqrt{10}\)，此时系统不是渐近稳定的；当 \(K_f>0\) 时，系统必是渐近稳定的。因此，内反馈的引入增强了系统的稳定性。

（2）稳态误差分析。

静态位置误差系数 \(K_p=\lim_{s\to0}G(s)=\infty\)

静态速度误差系数 \(K_v=\lim_{s\to0}sG(s)=\infty\)

静态加速度误差系数 \(K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)=\dfrac{10}{10K_f+1}\)

表明内反馈的引入不改变系统的型别，但会减小 \(K_a\)，从而加大系统的稳态误差。

3-67 设某采用PD控制器的系统如图3-80所示，其中 \(K_P\) 为比例系数，\(K_D\) 为微分系数。试在 \(K_P\) 与 \(K_D\) 组成的平面上，画出系统的下列区域与轨迹：(1)稳定区域；(2)不稳定区域；(3)临界阻尼轨迹；(4)过阻尼区域；(5)欠阻尼区域。

解 由图3-80知，闭环特征方程为

系统稳定的充分必要条件为 \(K_P>0\) 及 \(K_D>0\)，故在 \(K_P\)-\(K_D\) 平面上，第Ⅰ象限为稳定区域；而第Ⅱ，第Ⅲ及第Ⅳ象限为不稳定区域。

又因 \(K_D=\dfrac{1}{2}\zeta\omega_n\)，\(K_P=\dfrac{1}{4}\omega_n^2\)，故有 \(K_D^2=\zeta^2K_P\)：

图3-80　PD控制系统结构图

临界阻尼轨迹、过阻尼区域及欠阻尼区域如图3-81所示。

3-68 设控制系统如图3-82所示。要求：(1)扰动 \(n(t)=1(t)\) 时，稳态误差为零；(2)\(r(t)=2t\) 时，稳态误差不大于0.2。试在下列三种控制器结构形式中，选择一种能同时满足上述要求的 \(G_c(s)\)，并确定 \(G_c(s)\) 中参数的取值范围：

① \(G_c(s)=\dfrac{K(\tau s+1)}{Ts+1}\)；② \(G_c(s)=\dfrac{K}{s}\)；③ \(G_c(s)=\dfrac{K(\tau s+1)}{s}\)。

图3-81　\(K_P\)-\(K_D\)平面上的区域

图3-82　控制系统结构图

解 令 \(R(s)=0\)，\(n(t)=1(t)\)，有