题海 · notes · p.25
\[
\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}
\begin{bmatrix}
\boldsymbol{A}_{11} & \boldsymbol{A}_{21} & \cdots & \boldsymbol{A}_{n1} \\
\boldsymbol{A}_{12} & \boldsymbol{A}_{22} & \cdots & \boldsymbol{A}_{n2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\boldsymbol{A}_{1n} & \boldsymbol{A}_{2n} & \cdots & \boldsymbol{A}_{nn}
\end{bmatrix}
\]
5) 矩阵的相消
矩阵相消在矩阵代数中是无效的。可以证明:如果 \(A\) 和 \(B\) 是不为零的矩阵,且 \(AB=0\),则 \(A\) 和 \(B\) 一定是奇异矩阵;如果 \(A\) 为奇异矩阵,那么无论是 \(AB=AC\) 还是 \(BA=CA\),都不意味着 \(B=C\);如果 \(A\) 是非奇异矩阵,则 \(AB=AC\) 就意味着 \(B=C\),以及 \(BA=CA\),也意味着 \(B=C\)。
6) 矩阵和特征根
对于矩阵方程
\[
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}
\]
式中,\(\boldsymbol{y}\in R^n,\boldsymbol{A}\in R^{n\times n},\boldsymbol{x}\in R^n\)。令 \(\boldsymbol{y}=\lambda\boldsymbol{x}\),其中 \(\lambda\) 为标量,则有
\[
(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]
当且仅当
\[
\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0
\]
矩阵方程才有解。其中,\(\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\) 称为矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征行列式,\(\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0\) 称为特征方程。
对于特征方程每个可能的特征根 \(\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)\),有
\[
(\lambda_i\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{0}
\]
式中,向量 \(\boldsymbol{x}_i\) 是对应第 \(i\) 个特征根 \(\lambda_i\) 的特征向量。
3. 矩阵微积分
1) 矩阵微积分的定义
设 \(n\times m\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}(t)\) 的所有元素 \(a_{ij}(t)\) 都具有对 \(t\) 的导数,则矩阵 \(\boldsymbol{A}(t)\) 的微分定义为
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{A}(t)=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{11}(t) & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{12}(t) & \cdots & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{1m}(t) \\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{21}(t) & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{22}(t) & \cdots & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{2m}(t) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{n1}(t) & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{n2}(t) & \cdots & \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}a_{nn}(t)
\end{bmatrix}
\]
同样地,\(n\times m\) 矩阵 \(\boldsymbol{A}(t)\) 的积分用下面矩阵定义:
\[
\int\boldsymbol{A}(t)\,\mathrm{d}t=
\begin{bmatrix}
\int a_{11}(t)\,\mathrm{d}t & \int a_{12}(t)\,\mathrm{d}t & \cdots & \int a_{1m}(t)\,\mathrm{d}t \\
\int a_{21}(t)\,\mathrm{d}t & \int a_{22}(t)\,\mathrm{d}t & \cdots & \int a_{2m}(t)\,\mathrm{d}t \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\int a_{n1}(t)\,\mathrm{d}t & \int a_{n2}(t)\,\mathrm{d}t & \cdots & \int a_{nn}(t)\,\mathrm{d}t
\end{bmatrix}
\]
2) 矩阵指数函数的微分
矩阵的指数函数定义为幂级数
· 19 ·