\[
\begin{cases}
\dfrac{u_1 - x_1}{R} - \dfrac{x_1 - x_2}{R} = C\dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} \\[2ex]
\dfrac{x_1 - x_2}{R} - \dfrac{x_2 - x_3}{R} = C\dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} \\[1ex]
\vdots \\[1ex]
\dfrac{x_{n-1} - x_{n-2}}{R} - \dfrac{x_n - u_2}{R} = C\dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}
\end{cases}
\]
经整理后得
\[
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{2}{CR}x_1 + \dfrac{1}{CR}x_2 + \dfrac{1}{CR}u_1 \\[2ex]
\dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{CR}x_1 - \dfrac{2}{CR}x_2 + \dfrac{1}{CR}x_3 \\[1ex]
\vdots \\[1ex]
\dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{CR}x_{n-1} - \dfrac{2}{CR}x_n + \dfrac{1}{CR}u_2
\end{cases}
\]
写成向量-矩阵形式可得系统的状态方程为
\[
\dot{\boldsymbol{x}} = \dfrac{1}{CR}
\begin{bmatrix}
-2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & \vdots & \vdots & \vdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -2
\end{bmatrix}
\boldsymbol{x}
+ \dfrac{1}{CR}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\vdots & \vdots \\
0 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
u
\]
9-2 设机械运动系统如图9-2(a)、(b)所示，作用在质量块上的拉力\(u(t)\)为系统的输入，质量块的位移\(y(t)\)为系统的输出。试列写系统的动态方程式（运动自与重力相平衡的位置开始）。
图9-2 机械系统原理图
解 (1) 机械系统图9-2(a)。取质量块进行受力分析，列写系统力平衡方程可得
\[
-M\ddot{y} = u + K_2 y + K_1 y + B\dot{y}
\]
取\(x_1 = y, x_2 = \dot{y}\)为状态变量，得
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -\dfrac{K_1 + K_2}{M}x_1 - \dfrac{B}{M}x_2 - \dfrac{1}{M}u \\
y = x_1
\end{cases}
\]