仿真结果如图 3-39 所示。
MATLAB 程序：exe343.m
numg=[1]; deng=[1 1 0];
numh=[1]; denh=[1];
[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);
figure, step(num,den);
3-44 图 3-40 为宇宙飞船控制系统简化结构图，已知控制器的时间常数 \(T=3\)，力矩与惯量比 \(\dfrac{K_1}{J}=\dfrac{2}{9}\)。试求系统的阻尼比及各项动态性能指标。
图 3-39 系统单位阶跃响应曲线(MATLAB)
图 3-40 宇宙飞船姿态控制系统结构图
解 由图 3-40 可得系统的闭环传递函数为
\[
\Phi(s)=\frac{K_1Ts+K_1}{Js^2+K_1Ts+K_1}
\]
\[
=\frac{(2/3)s+(2/9)}{s^2+(2/3)s+(2/9)}
\]
从 \(\Phi(s)\) 的形式可以看出，该系统是比例-微分控制二阶系统，其标准形式为
\[
\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{z}\cdot\frac{s+z}{s^2+2\zeta_d\omega_n s+\omega_n^2}
\]
由
\[
\frac{(2/3)s+(2/9)}{s^2+(2/3)s+(2/9)}=\frac{\omega_n^2}{z}\cdot\frac{s+z}{s^2+2\zeta_d\omega_n s+\omega_n^2}
\]
可得 \(z=1/3,\ \omega_n=\sqrt{2}/3,\ \zeta_d=\sqrt{2}/2=0.707\)。
由于
\[
r=\frac{\sqrt{z^2-2\zeta_d\omega_n z+\omega_n^2}}{z\sqrt{1-\zeta_d^2}}=1.414
\]
\[
\psi=-\pi+\arctan\frac{\omega_n\sqrt{1-\zeta_d^2}}{z-\zeta_d\omega_n}+\arctan\frac{\sqrt{1-\zeta_d^2}}{\zeta_d}
\]
\[
=-\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=-0.785
\]
\[
\beta_d=\arctan\frac{\sqrt{1-\zeta_d^2}}{\zeta_d}=\frac{\pi}{4}=0.785
\]
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