(2) 图 7-8(b)系统。
系统的开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{K}{s(s+1)}\right]=\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-T})}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-T})}=\frac{Kz(1-\mathrm{e}^{-1})}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})}=\frac{0.632Kz}{(z-1)(z-0.368)}\]
闭环特征方程为
\[D(z)=(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})+Kz(1-\mathrm{e}^{-1})=z^2+(0.632K-1.368)z+0.368=0\]
用劳斯判据求解,令 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\),代入方程化简后得
\[Kw^2+2w+(7.435-K)=0\]
列出劳斯表如下:
\[
\begin{array}{c|cc}
w^2 & K & 7.435-K \\
w^1 & 2 & 0 \\
w^0 & 7.435-K &
\end{array}
\]
根据劳斯判据得系统稳定的条件为
\[K>0,\quad K<7.435\]
临界放大系数为 \(\quad K_c=7.435\)
MATLAB 验证:取 \(K=7.435\),系统单位阶跃响应如图 7-10 所示,表明系统处于临界稳态状态。
图7-9 采样系统(a)单位阶跃响应
(\(K=4.329\),MATLAB)
图7-10 采样系统(b)单位阶跃响应
(\(K=7.435\),MATLAB)
MATLAB 文本:exe713b.m
T=1;t=0:1:10;
sys=tf([0.6324.329,0],[1,0.6324.329-1.368,0.368],T);
step(sys,t);grid;
7-14 已知某采样系统闭环特征方程式为 \(D(z)=z^4-1.368z^3+0.4z^2+0.08z+0.002=0\),试用朱利判据判断其稳定性。
解 因 \(n=4\),由 \(2n-3=5\) 可得朱利阵列的总行数为 5 行。由 \(D(z)\) 可知 \(a_0=0.002,a_1=0.08,a_2=0.4,a_3=-1.368,a_4=1\)。
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