讲解笔记

第09讲 · 第四章例题（二）：零度根轨迹 + 参数根轨迹

先摆正这一讲的位置

上一讲（第08讲）讲的是"标准 180° 根轨迹"的例题，还引入了主导极点、偶极子来分析性能。这一讲老师做两道更硬的例题，专门对付两个新题型：

零度（0°）根轨迹：当系统里出现"非最小相位环节"，或者参数从负方向变化时，根轨迹的画法规则要换一套。
参数根轨迹：要画的那个可变参数不是开环增益 K*，而是藏在传递函数分子分母里的某个系数。

考点分析里明确写了：这两个都是常考题型，参数根轨迹"考的很多，一般作为第二问出现"，而且第二问几乎都会"结合阻尼、稳定、振荡去求参数范围"。所以这一讲不是选学，是主战场。

这一讲第一遍看不懂很正常，卡点通常在两处：一是"为什么参数往负方向变就要用 0° 规则"，二是"参数根轨迹里那个'等效开环传递函数'到底是怎么凑出来的、凭什么能用"。这两处我会重点砸开。

一、先补两块地基（后面全靠它）

地基 A：区分 0° 和 180° 根轨迹，只看根轨迹方程的右端

据 PPT 幻灯片 40，判别的唯一标准是：把根轨迹方程整理成

\[K^{*}\dfrac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)} = ?\]

右端等于 $-1$ → 画 180° 根轨迹（相角条件 $\sum(s-z_i)-\sum(s-p_j)=(2k+1)\times180°$）
右端等于 $+1$ → 画 0° 根轨迹（相角条件 $\sum(s-z_i)-\sum(s-p_j)=2k\times180°$，即等于 0°、±360°…）

【难点】为什么"右端 +1"就要用 0°？ - 难在哪：课本上 0° 根轨迹总跟"正反馈""非最小相位"绑在一起讲，学生记成"看到正反馈就用 0°"，然后遇到一个负反馈但含非最小相位环节的系统就懵了。 - 为什么难：0° 这个名字来自"相角条件的右端是 0° 而不是 180°"，它是方程的性质，不是"反馈极性"这个物理现象。物理上可以由正反馈引起，也可以由"非最小相位环节使 s 最高次项系数变负"引起（PPT 幻灯片 39 明确列了这两个来源），但根子上都是同一件事：整理成标准形后右端变成了 +1。 - 正确理解：不要凭"是不是正反馈"来判，一律把方程整理成标准形，看右端是 +1 还是 −1。据 PPT 幻灯片 39/40，"区别 0° 和 180° 的关键在于根轨迹方程，不是根据主反馈口的极性"。这句话要背下来。

【你可能会以为】0° 根轨迹是"角度为 0 的一条线"。但其实 0° 说的是相角条件的等号右端（$2k\pi$），跟根轨迹长什么形状、在平面哪个位置毫无关系。0° 根轨迹照样可以是圆、可以是曲线。名字里的"0°"只是相角判据的取值。

地基 B：为什么"参数从负变正"里藏着 0° 根轨迹

据 PPT 幻灯片 36：当非最小相位系统 s 的最高次幂项系数为负时，满足 0° 根轨迹的相角条件。

把"增益 K 从 0 变到 +∞"和"从 −∞ 变到 0"分开想： - K 从 $0\to+\infty$：就是普通正增益，右端是 $-1$，180° 根轨迹。 - K 从 $-\infty\to 0$：相当于在系统里塞进一个负号的比例环节。负号会让 s 最高次项系数翻号，方程右端就从 $-1$ 变成 $+1$，于是这一段要用 0° 根轨迹规则画。

所以"参数从 −∞ 到 +∞ 变化"的题，必须劈成两半：正半段 180°，负半段 0°。这就是本讲第一道例题的核心陷阱。

二、例题一：参数 −∞ → +∞ 的根轨迹 + 最小阻尼比

题目（老师板书重构）

单位反馈，开环传递函数 $$G(s)=\dfrac{K^{*}(s+3)}{(s-1)(s+2)}$$ （开环极点 $p_1=+1,\ p_2=-2$；开环零点 $z=-3$。注意 $p_1=+1$ 在右半平面，系统本身就不老实。）

第一问：绘制 $K^{*}$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 变化时的闭环根轨迹。第二问：求系统稳定时的最小阻尼比。

第一问 · 正半段（$K^{*}:0\to+\infty$，180°）

老师的第一直觉：两个极点 + 一个零点，实轴上零极点这种分布，根轨迹很可能是个圆（凡是"两条根轨迹要弯进一个有限零点"的结构都要警觉是不是圆）。是不是圆、圆心半径在哪，用相角条件来验证。

设根轨迹上一点 $s=\delta+j\omega$。180° 相角条件（零点角减两个极点角 = ±180°）：

\[\arctan\dfrac{\omega}{\delta+3}-\arctan\dfrac{\omega}{\delta-1}-\arctan\dfrac{\omega}{\delta+2}=\pm180°\]

把后两项移到右边、两边取正切、通分整理（这一步是纯代数硬算，考试要耐心配平），最后能整理出：

\[(\delta+3)^{2}+\omega^{2}=4\]

这是一个圆心在 $(-3,0)$、半径 $r=2$ 的圆。

【难点】"根轨迹是圆"为什么要用相角条件去证，而不是看一眼就下结论？ - 难在哪：很多同学看到"两极点一零点"就直接写"是圆"，但并不是所有这种结构都是圆，圆只是"可能"。 - 正确理解：判圆的唯一严谨方法是把 $s=\delta+j\omega$ 代进相角条件，看能否整理出圆方程 $(\delta-a)^2+\omega^2=r^2$。能整理出 → 是圆，且圆心 $a$、半径 $r$ 当场读出。这是考点分析点名的"固定题型，没有太多技巧，还是建议学一学"。别偷懒目测。

画出正半段：圆心 $(-3,0)$、半径 2。两条根轨迹分别从极点 $+1$ 和 $-2$ 出发（起于开环极点），一条沿圆终于有限零点 $-3$，另一条沿圆奔向无穷远零点。

第一问 · 负半段（$K^{*}:-\infty\to0$，0°）

同样的零极点分布，但现在按 0° 根轨迹规则画。最关键的变化是实轴上的根轨迹区段判据翻过来了：

180°：某实轴段是根轨迹 ⇔ 它右侧的开环零极点总数为奇数。
0°：某实轴段是根轨迹 ⇔ 它右侧的开环零极点总数为偶数（含 0）。

按 0° 判据，实轴上根轨迹区段变成：$[1,+\infty)$ 和 $[-3,-2]$（老师板书结论）。这一段里有一条根轨迹始终待在 s 右半平面。

第二问 · 最小阻尼比

先做稳定性判断：负半段（0° 那半）里有一条根轨迹永远在右半平面，意味着总有一个正实部闭环极点，系统必不稳定，直接排除。所以"稳定"只可能发生在正半段（180°、圆那一段）。

阻尼比和阻尼角的关系：$\zeta=\cos\beta$，其中 $\beta$ 是从原点到闭环极点的连线与负实轴的夹角（阻尼角）。

$\zeta$ 取最小 ⇔ $\cos\beta$ 取最小 ⇔ $\beta$ 取最大。
$\beta$ 最大发生在：从原点引出的射线恰好与根轨迹圆相切的时候（再往外转就切不到根轨迹了）。

所以求最小阻尼比 = 求原点到圆的切线，切线与负实轴夹角就是 $\beta_{\max}$，$\zeta_{\min}=\cos\beta_{\max}$。（切线与圆的几何：$\sin\beta_{\max}=r/\overline{O C}=2/3$，$C$ 为圆心 $(-3,0)$，$\overline{OC}=3$；老师让"接着往下做"，这一步是标准几何，答案由此得出。）

【你可能会以为】阻尼比最小就是"阻尼最弱、系统最好"。但其实阻尼比越小，振荡越剧烈、超调越大，绝不是越小越好。这里求 $\zeta_{\min}$ 只是回答"系统在稳定范围内最坏能振荡到什么程度"，是性能边界分析，不是在挑最优点。别把"最小"和"最优"划等号。

【难点】"最小阻尼比 = 与圆相切"这一步为什么成立？ - 难在哪：学生记不住到底是"相切"还是"某个特殊点"，也不清楚为什么切点对应极值。 - 正确理解：等阻尼比线是从原点出发的一族射线（夹角越大 $\zeta$ 越小）。让这条射线绕原点往上转，它与根轨迹（圆）的交点就是候选闭环极点。转到恰好相切时，是这条射线还能碰到根轨迹的最大角度——再转一点点就脱离根轨迹了。所以切点给出 $\beta$ 的极大、即 $\zeta$ 的极小。把这个几何图景刻进脑子，比背"相切"两个字牢。

这道题真正的杀招

老师反复强调：很多人拿到题只看到"K 从 0 到 +∞"就只画了 180° 那一半，把 0° 那一半整个漏掉。而"从 −∞ 到 +∞"这个措辞，考的主要部分恰恰在负半段（0° 根轨迹）。所以审题第一件事：看清参数变化区间是不是跨过了 0，跨过 0 就必然要分段、必然有一段是 0°。

三、例题二：参数根轨迹（可变参数不是 K*）

什么是参数根轨迹，为什么需要"等效开环传递函数"

前面所有题里，可变的都是开环根增益 $K^{*}$，它天然是分子上一个干净的乘积因子，直接套规则就行。但这道题的可变参数 $k$ 分子里有、分母里也有，它不是那个现成的 $K^{*}$。

【难点】参数不在"标准位置"时，根轨迹规则不能直接用。 - 难在哪：所有绘制法则（起点终点、实轴段、渐近线、分离点、相角/模值条件）都是针对"K* 是分子唯一乘积因子"这个标准形推出来的。参数一旦散落在分子分母各处，规则失效。 - 解决办法（据 PPT 幻灯片 41-42）：造一个等效开环传递函数，把你要研究的那个参数搬到"开环增益"的位置上，让它长得跟标准 $K^{*}$ 一模一样，然后照常用全套规则。步骤： 1. 写出闭环特征方程 $D(s)=1+G(s)H(s)=0$。 2. 把 $D(s)$ 按"含参数 $k$"和"不含 $k$"分成两堆。 3. 用"不含参数的那一堆"去除整个方程，凑成 $1+k\cdot\dfrac{P(s)}{Q(s)}=0$ 的形状。 4. $k\cdot\dfrac{P(s)}{Q(s)}$ 里的 $\dfrac{P(s)}{Q(s)}$ 就是等效开环传递函数，$k$ 现在坐在 $K^{*}$ 的位置上。$P,Q$ 都是首项系数为 1 的多项式。

本题的等效开环

老师把闭环特征方程整理后分成两堆：

\[\underbrace{(s^{2}+4s)}_{\text{不含 }k}+k\underbrace{(s^{2}-4s+4)}_{\text{含 }k}=0\]

两边同除"不含 $k$"的部分 $s(s+4)$：

\[1+k\cdot\dfrac{(s-2)^{2}}{s(s+4)}=0\]

所以等效开环传递函数为 $$G_{\text{等效}}(s)=\dfrac{k\,(s-2)^{2}}{s(s+4)}$$

零点：$s=2$（二重零点）；极点：$s=0,\ s=-4$。右端是 $-1$，仍是 180° 根轨迹，照标准规则画。

【你可能会以为】"等效开环"是个新的、真实的物理系统。但其实它是为了借用绘图规则而人为造出来的数学替身。据 PPT 幻灯片 42，等效开环与原系统只在"闭环极点相同"这一点上等价——它俩的开环零极点、开环增益、闭环零点、静态误差这些都不一样。你只能用它来定位闭环极点（画根轨迹），不能拿它去算别的（比如稳态误差）。这个边界一旦忘了，后面全错。

第一问 · 画图

实轴根轨迹区段：$[-4,0]$（两极点之间，中间必有分离点）；右侧无区段。零点是 $s=2$ 处的二重零点，两个相邻极点、两个相邻零点，形状很可能又是圆——但老师说"是不是圆在这题已经不重要了"，因为后面要的是分离点和交点的具体 $k$ 值。

分离点 用 PPT 幻灯片 19 的公式 $\sum\dfrac{1}{d-z_i}=\sum\dfrac{1}{d-p_j}$（二重零点算两次）：

\[\dfrac{2}{d-2}=\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{d+4}\]

解得 $d=-1$。两条从 $-4$ 和 $0$ 出发的根轨迹在 $s=-1$ 处分离，随后弯向两个有限零点 $s=2$，途中会与虚轴相交。

第二问 · 阶跃响应含"衰减振荡分量"的 k 范围

【难点】要先把物理描述翻译成根轨迹上的几何条件（考点分析原话："第二问必须转一个弯，转不过这个弯就做不下去"）。 - "阶跃响应含 $a e^{-\sigma t}\sin(\omega t)$ 型分量（$a>0,\omega>0$）" = 衰减振荡 = 系统处于欠阻尼。 - 欠阻尼二阶 = 有一对共轭复根、且实部为负（左半平面的复极点）。 - 所以要求：闭环极点落在根轨迹上"离开实轴（复数段）且还在左半平面（虚轴以左）"的那一段。这一段的两个端点分别是：分离点（复根从这里开始出现）和虚轴交点（复根从这里越过虚轴进右半平面）。求出这两个端点各自对应的 $k$，中间区间就是答案。

端点 1（分离点 $d=-1$ 的 $k$）：用模值条件，在等效开环上令 $|G_{\text{等效}}(s)|=1$，代 $s=-1$： $$k\cdot\dfrac{|(-1-2)^2|}{|-1|\cdot|-1+4|}=k\cdot\dfrac{9}{1\cdot3}=1\ \Rightarrow\ k=\dfrac{1}{3}$$

端点 2（虚轴交点的 $k$）：用劳斯判据。闭环特征方程可写成 $$(1+k)s^{2}+4(1-k)s+4k=0$$ 劳斯阵出现"全零行"（对应一对纯虚根、根轨迹穿虚轴）发生在 $k=1$。

所以使阶跃响应含衰减振荡分量的范围： $$\boxed{\dfrac{1}{3}<k<1}$$

（$k$ 从小到大就是沿根轨迹从分离点走到虚轴的过程，这段正好是欠阻尼复根段。）

第三问 · 已知一个闭环极点为 −2，求闭环传递函数

思路：闭环极点一定在根轨迹上 → 用模值条件反解出对应的 $k$ → 有了 $k$，闭环特征方程就定死了。

在等效开环上令 $|G_{\text{等效}}(s)|=1$，代 $s=-2$： $$k\cdot\dfrac{|(-2-2)^2|}{|-2|\cdot|-2+4|}=k\cdot\dfrac{16}{2\cdot2}=1\ \Rightarrow\ k=\dfrac{1}{4}$$

代回闭环特征方程 $(1+k)s^{2}+4(1-k)s+4k=0$，取 $k=\tfrac14$： $$\tfrac{5}{4}s^{2}+3s+1=0\ \xrightarrow{\times4}\ 5s^{2}+12s+4=0$$ 解得两个闭环极点 $s=-2$ 和 $s=-0.4$（验证：确实含题给的 $-2$，自洽）。

闭环特征方程 $5s^{2}+12s+4=0$（等价写成 $(s+2)(s+0.4)$ 乘常数）即为所求分母。闭环传递函数 $\Phi(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}$，分母就是上式，分子由原系统前向通道在 $k=\tfrac14$ 时确定。

【存疑·待核】老师口述的原始开环传递函数 $G(s)$ 分子分母各系数在字幕里被 ASR 打糊（"4k(1−s)/(s(k+1)(s+4))"这一串多处含混），所以闭环传递函数的分子部分（含 $(1-s)$ 型非最小相位零点）我不逐字照搬，只给出能自洽验证的骨干结论：等效开环 $\dfrac{k(s-2)^2}{s(s+4)}$、$k=\tfrac14$、闭环极点 $-2$ 与 $-0.4$。要写完整闭环传函分子，请回查完整转录并对照原题图核对系数。

四、把两道题的"招式"抽出来

老师收尾点题：第四章大题万变不离其宗——

会画三种根轨迹：常规 180°、0°（零度）、参数根轨迹。
画完后要么定性分析（稳定性、振荡性），要么定量分析（求 K 范围、求某点 K、求极点）。
定量分析永远靠两个条件：模值条件（求某点对应的增益 K，方便）和相角条件（判断某点在不在根轨迹上、判圆，用得少但关键）。
分析性能时留意主导极点和偶极子：它们能把高阶系统近似成二阶，让性能计算大幅简化。

这一讲的骨架（真正要带走的）

判 0°/180° 只看根轨迹方程右端：$-1$ 是 180°，$+1$ 是 0°。跟"反馈极性"无关，跟"根轨迹形状"无关。
参数从 −∞ 到 +∞ 必分两段：正半 180°、负半 0°（负增益 = 非最小相位环节使最高次系数变负）。审题看区间是否跨 0。
0° 与 180° 的实轴区段判据相反：0° 看右侧零极点数为偶（含 0），180° 看为奇。
最小阻尼比 = 阻尼角最大 = 等阻尼射线与根轨迹（圆）相切。$\zeta=\cos\beta$。
参数根轨迹三步走：写闭环特征方程 → 分含参/不含参两堆 → 用不含参那堆除，凑出 $1+k\,P/Q=0$，$P/Q$ 即等效开环。等效开环只在"闭环极点相同"上等价，别拿它算别的。
求某点的 K 用模值条件；求穿虚轴的 K 用劳斯判据。物理描述（衰减振荡/欠阻尼）要先翻译成根轨迹几何段（分离点↔虚轴交点之间）。

自测（戳穿假懂版）

某单位负反馈系统，整理后根轨迹方程为 $K^{*}\dfrac{s+2}{(s+1)(s+5)}=+1$。它该按 0° 还是 180° 画？实轴上 $[-5,-2]$ 这一段是不是根轨迹？
要点：右端 $+1$ → 0°。0° 实轴判据看右侧零极点数为偶。$[-5,-2]$ 右侧有 $z=-2,\ p=-1$ 共 2 个（偶）→ 是根轨迹段。答错通常卡在用了 180° 的"奇数"判据。
例题一里，若把题目改成"$K^{*}$ 从 $0$ 到 $+\infty$"，第二问最小阻尼比的答案会变吗？为什么？
要点：不变。因为稳定只发生在正半段（圆那段），负半段本来就因不稳定被排除，改区间不影响正半段的切线几何。答不出说明没理解"稳定性把负半段筛掉了"。
参数根轨迹里，你已经用等效开环 $\dfrac{k(s-2)^2}{s(s+4)}$ 画出了根轨迹。现在有人让你用这个等效开环算系统的稳态误差（静态位置误差系数）。能直接算吗？
要点：不能。等效开环只保证"闭环极点相同"，它的开环增益、型别、零极点都不是原系统的，算稳态误差会得到错的结果。必须回原系统。答"能"就是把等效开环当真系统了，典型假懂。
第三问为什么用"模值条件"而不是"相角条件"来求 $k$？
要点：题目已经告诉你 $s=-2$ 是闭环极点（即它已在根轨迹上，相角条件自动满足），现在缺的是"这一点对应多大增益"，这正是模值条件的职责（模值方程给出增益）。相角条件只用来判断"在不在轨迹上"。答错说明没分清两个条件各管什么。
"阶跃响应含衰减振荡分量"为什么等价于"根轨迹在分离点与虚轴交点之间"？把这句翻译链条完整写出来。
要点：衰减振荡 → 欠阻尼 → 一对实部为负的共轭复根 → 闭环极点在根轨迹的"复数段且在左半平面"→ 该段两端 = 分离点（复根始现）和虚轴交点（复根越界）。缺任何一环都算没转过这个弯。

知识地图

向前串：本讲全程吃第08讲的老本——180° 常规根轨迹的绘制法则（起点终点、实轴段、分离点公式、模值/相角条件）、主导极点与偶极子。阻尼比—阻尼角关系 $\zeta=\cos\beta$、欠阻尼二阶的复极点，来自第三章时域分析。劳斯判据求穿虚轴的 K，来自第三章稳定性。判别 0°/180° 的"整理成标准形看右端"，本质是第二章传递函数的代数变形。
横向串：本讲把第四章的三种根轨迹补齐了——第07讲讲脉络与规则、第08讲练标准 180°、本讲攻 0° 与参数根轨迹。三者共用同一套"模值条件定增益、相角条件定归属"的内核，区别只在"方程右端符号"和"参数是否需要等效开环搬位置"。
向后串：根轨迹分析出的主导极点/阻尼比/振荡范围，是第六章系统校正（根轨迹法校正）的直接输入——校正就是往复平面里加零极点、把根轨迹拉到想要的位置。而"闭环极点位置 ↔ 时域性能"这条对应，会在第五章频域里换成"开环频率特性 ↔ 性能"再讲一遍，两套语言描述同一个系统。考点分析明确：第四章第二问几乎必与阻尼、稳定、振荡结合，正是本讲两道例题的路数。