第09讲　第四章例题（二）：零度根轨迹与参数根轨迹

读法建议：这一讲全是例题。别跳着看。第一遍看不懂是正常的，两个最容易卡住的地方我已经标成【难点】，卡住就停在那一段反复读，别硬往下冲。

0. 先把这一讲要用到的"旧词"全部翻译一遍（零基础必读）

老师默认你上一讲全会了。但你很可能没全会。所以先把本讲会反复出现的名词，用大白话过一遍。这一节读完再往下，否则后面每句话都会像天书。

0.1 什么是"根轨迹"

一个控制系统（比如一个自动调速的电机），它跑起来是快是慢、会不会震荡、会不会失控，全部由几个数字决定，这几个数字叫闭环特征根（也叫闭环极点）。

• "根"：就是一个方程的解。比如 \(s^2+3s+2=0\) 的根是 \(s=-1\) 和 \(s=-2\)。
• "闭环特征方程"：把整个系统写成一个多项式方程 \(=0\)，它的解决定系统的表现。为什么？因为解出的每个根 \(s_i\)，都对应系统响应里的一项 \(e^{s_i t}\)。根是负的 → \(e^{-2t}\) 越来越小 → 衰减 → 稳定；根是正的 → \(e^{+t}\) 越来越大 → 发散 → 不稳定。这是整门课的地基，务必记牢。
• "轨迹"：系统里有个可以拧的旋钮（放大倍数 \(K\)）。你把旋钮从 0 慢慢拧大，那几个根就会在平面上移动，划出几条线。这些线就叫根轨迹。

一句话：根轨迹 = 旋钮从小拧到大时，决定系统命运的那几个数在平面上走的路线图。

【补前置】s 平面（复平面）是什么？ 特征根可能是复数，比如 \(s=-1+2j\)（\(j\) 就是数学里的 \(i\)，满足 \(j^2=-1\)；工科写 \(j\) 是因为 \(i\) 被电流占用了）。一个复数 \(\sigma+j\omega\) 要两个数才能表示，所以画在一张平面图上：横轴放实部 \(\sigma\)，纵轴放虚部 \(\omega\)。这张图就叫 s 平面。

• 点在左半平面（\(\sigma<0\)）→ 对应 \(e^{\sigma t}\) 衰减 → 稳定；
• 点在右半平面（\(\sigma>0\)）→ 发散 → 不稳定；
• 点正好在虚轴上（\(\sigma=0\)）→ 不增不减 → 等幅振荡，临界状态。

所以看根轨迹图，本质就是看"这几个点跑到左边去了没有"。

0.2 开环零点、开环极点

系统的开环传递函数写成 $\(G(s)H(s)=\frac{K^*(s-z_1)(s-z_2)\cdots}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots}\)$

【补前置】逐项拆开这个式子：

1. 这式子在说什么：它描述"系统在反馈还没接上时，输入到输出的放大规律"，写成一个分式。
2. 每个符号是什么：
3. \(s\)：复变量。你暂时可以把它当一个能代入数的普通字母，不影响做题。
4. \(z_i\)（开环零点）：让分子等于 0 的那些 \(s\) 值。分子为零 → 整个分式为零 → 所以叫"零点"。
5. \(p_j\)（开环极点）：让分母等于 0 的那些 \(s\) 值。分母为零 → 分式冲到无穷大（像杆子戳上天）→ 所以叫"极点"。
6. \(K^*\)：根轨迹增益，就是那个可以拧的旋钮的数值。
7. 怎么用：画根轨迹第一步永远是——把开环零点、开环极点在 s 平面上标出来（极点画 ×，零点画 ○）。所有绘制规则都是围绕这些 × 和 ○ 展开的。

【难点】开环零极点 ≠ 闭环极点，一定要分清。 难在哪：两组东西都叫"零极点"，名字太像。 为什么难：初学者会把图上的 × ○ 和图上的曲线混成一件事。 正确理解：开环零极点是已知的、钉死不动的（题目给的 × 和 ○）；闭环极点是未知的、随 \(K\) 移动的（那些在图上跑的点）。根轨迹规则干的事，就是"用钉死的 × ○ 推出移动点的路线"。

【你可能会以为】画根轨迹是在画开环零极点。 但其实：开环零极点只是"路标"，画出来的曲线本身是闭环极点走的路。曲线起点是开环极点（\(K^*=0\) 时闭环极点恰好等于开环极点），终点是开环零点。

0.3 幅值条件与相角条件（本讲的两把螺丝刀）

根轨迹方程是 \(1+G(s)H(s)=0\)，即 \(G(s)H(s)=-1\)。一个复数等于 \(-1\)，意味着两件事同时成立：

（一）幅值条件（模长相等，\(-1\) 的模长是 1）： $\(|K^*|\cdot\frac{\prod_i|s-z_i|}{\prod_j|s-p_j|}=1\)$ - 在说什么：从待考察的点 \(s\) 到每个开环零点的距离全部乘起来，再从 \(s\) 到每个极点的距离全部乘起来，两者相除后乘 \(K^*\)，必须等于 1。 - 符号：\(|s-z_i|\) 就是 s 平面上两点间的直线距离（勾股定理算）。\(\prod\) 是"连乘"符号，\(\sum\) 是"连加"。 - 怎么用：已知轨迹上某点，反求那一点对应的 \(K^*\)。 本讲例题二的第二问、第三问全靠它。

（二）相角条件（转角对上，\(-1\) 的相角是 \(180°\)）： $\(\sum_i \angle(s-z_i)-\sum_j \angle(s-p_j)=(2k+1)\cdot180°\)$ - 在说什么：从每个零点指向点 \(s\) 的箭头，量出它的倾角，全部加起来；再减去从每个极点指向 \(s\) 的箭头倾角之和；结果必须是 \(180°\) 的奇数倍。 - 【补前置】"相角"就是角度：复数 \(\sigma+j\omega\) 在平面上是一个从原点出发的箭头，它与正实轴的夹角就是相角，用 \(\arctan\frac{\omega}{\sigma}\) 算。\(\arctan\)（反正切）就是"已知对边比邻边，反推那个角是多少度"。 - 怎么用：判断某个点在不在根轨迹上。 本讲例题一用它证明轨迹是个圆。

【难点】为什么是 \(180°\) 的奇数倍？ 难在哪：这个"奇数"来得莫名其妙，背下来很容易记反。 正确理解：\(-1\) 这个复数画在平面上就是"从原点往左一格"，它与正实轴的夹角可以说成 \(180°\)、\(-180°\)、\(540°\)……绕多少整圈都行，但箭头必须落在负实轴上。这些角统一写成 \((2k+1)\cdot180°\)。记住"\(-1\) 躺在负实轴上"这个画面——下一节的 0° 根轨迹，无非是把它换成"\(+1\) 躺在正实轴上"。

1. 第一大主题：零度（0°）根轨迹

1.1 从"参数从 \(-\infty\) 变到 \(+\infty\)"这句话说起

老师给的第一道例题：

例题一：单位负反馈系统，开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{K(s+3)}{(s-1)(s+2)}\)。 （1）绘制 \(K\) 从 \(-\infty\) 变化到 \(+\infty\) 时的闭环根轨迹； （2）求系统稳定时的最小阻尼比。

老师特别强调：这是我们第一次见到参数从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\)。以前学的根轨迹定义是"某参变量从 0 变到 \(+\infty\)"，现在它往负方向也跑——这就是本题的机关。

处理办法：劈成两半分别画。 - \(K\) 从 \(0 \to +\infty\)：老规矩，按 180° 根轨迹画； - \(K\) 从 \(-\infty \to 0\)：必须按 0° 根轨迹画。

老师给的理由（要点转述）：\(K\) 取负值时，相当于系统里多了一个"非最小相位的比例环节"，此时系统是非最小相位系统，其根轨迹要用 0° 规则绘制。

【补前置】"环节"与"比例环节"：把系统拆成一块一块，每一块用一个传递函数描述，这样的一块就叫一个环节（相当于电路里的"元件"）。比例环节是最简单的一种——它不做微分、不做积分，只把信号乘上一个固定倍数就输出，传递函数就是一个常数。本题里那个常数就是 \(K\) 本身。所以"\(K\) 取负值 = 多了一个负的比例环节"，意思是这一块把信号放大的同时还翻了个号。

1.2 【补前置】什么叫"最小相位 / 非最小相位"

据 PPT 幻灯片 35（逐字一致）：

最小相位环节：环节所有的零点与极点都位于 s 平面的左半平面，这样的环节称为最小相位环节。 非最小相位环节：如果环节存在位于 s 平面的右半平面的零点或极点，则称为非最小相位环节。 非最小相位系统：系统中只要有一个非最小相位环节。

大白话：零点或极点跑到了右半平面（横坐标为正的那一侧），就叫"非最小相位"。

"最小相位"这名字听着玄乎，它来自第五章频域：在幅频特性相同的所有系统里，零极点全在左边的那个相位滞后最小。现在你完全不需要理解这个来由，只把它当一个标签：右半平面有零点或极点 = 非最小相位。

本题 \(G(s)\) 的极点 \(s=+1\)（来自 \(s-1\)）就在右半平面，所以这个系统本身已经是非最小相位系统。而 \(K<0\) 相当于前面串了一个负的比例系数，这是 0° 根轨迹的另一个来源。据 PPT 幻灯片 39（要点转述）：0° 根轨迹是系统实质上处于正反馈状态下的根轨迹；来源有两个——（1）非最小相位系统中 \(s\) 的最高次幂为负的因子；（2）控制系统中包含正反馈的内回路。

（PPT 那句"\(s\) 的最高次幂为负的因子"措辞很别扭，大白话翻译：把根轨迹方程整理成降幂多项式后，最高次项 \(s^n\) 前面的系数是负号——比如 \(-s^2+\cdots\) 而不是 \(+s^2+\cdots\)。它跟"有没有右半平面零极点"是两回事，别混。）

【难点】"是非最小相位系统"不等于"要用 0° 规则"。 难在哪：老师讲课时两句话连着说，很容易听成"看到右半平面有极点就画 0°"。这是考场上最常见的一类错。 正确理解：据 PPT 幻灯片 36（要点转述）——当非最小相位系统 \(s\) 的最高次幂项的系数为负时，才满足 0° 的相角条件，才按 0° 画；否则仍按 180° 法则绘制。本题 \(K>0\) 时最高次项 \(s^2\) 的系数是 \(+1\)，是 180°；只有 \(K<0\) 把负号提出来才导致符号翻转，才变 0°。

最可靠的判别法（据 PPT 幻灯片 40，要点转述）：把根轨迹方程整理成标准形 $\(K^*\frac{\prod_i(s-z_i)}{\prod_j(s-p_j)}=\ ?\)$ 右端等于 \(-1\) → 画 180° 根轨迹；右端等于 \(+1\) → 画 0° 根轨迹。 PPT 同页还专门强调：不是根据主反馈口的极性来绘制。考点分析 p005 也明确写着"一定要掌握好如何判断根轨迹是 0° 还是 180°"。这条只认式子右端符号，别的一律不认。

1.3 0° 根轨迹的规则改在哪

\(G(s)H(s)=+1\) 意味着相角要等于 \(0°\)（或 \(360°\) 的整数倍），相角条件变成 $\(\sum_i \angle(s-z_i)-\sum_j \angle(s-p_j)=2k\cdot180°\quad(\text{偶数倍})\)$

于是：凡是由相角条件推出来的规则全要改；凡是由幅值条件推出来的（比如求 \(K\) 的大小）一律不变。本讲要用的最重要一条：

实轴上的根轨迹区域 - 180° 规则：某段实轴，它右边的开环零点+极点总数为奇数 → 这段在根轨迹上； - 0° 规则：某段实轴，它右边的开环零点+极点总数为偶数（含 0 个） → 这段在根轨迹上。

老师原话也是这个意思："实轴上的根轨迹区域对于 0 度根轨迹而言，其右侧所在的区域，它必须是一个偶数。"

（其余 0° 规则的改动：渐近线倾角里的 \((2k+1)180°\) 改成 \(2k\cdot180°\)，起始角/终止角同理。 【补前置】渐近线＝当分支跑向无穷远时，它会越走越贴近的那几条直线（有限零点不够用、必须跑到无穷远去的那些分支，靠这几条直线定方向）；起始角/终止角＝分支离开某个复极点时的出发方向角、进入某个复零点时的到达方向角。两者的完整算法在第07讲。本讲两道例题都没用到渐近线，所以不展开——不是它不重要，是这两题的零极点分布让轨迹直接被圆和实轴段确定了。渐近线的完整规则在第07讲。）

【你可能会以为】0° 根轨迹是"另一门新学问"，得重学一遍规则。 但其实：主干规则全部照旧——分支数、起点是极点、终点是零点、分离点公式、幅值条件求 \(K\)，一个字都不改。改的只有"奇变偶"和角度公式里的那个 \(+1\)。别被名字吓住。

1.4 例题一第（1）问：先画 \(K:0\to+\infty\)（180° 部分）

第一步：标出开环零极点。 $\(G(s)=\frac{K(s+3)}{(s-1)(s+2)}\)$ - 分母 \(=0\) → 极点 \(p_1=+1,\ p_2=-2\)（画两个 ×） - 分子 \(=0\) → 零点 \(z_1=-3\)（画一个 ○）

\(p_1=+1\) 在右半平面，这已经预告：\(K\) 很小时系统必然不稳定（有个根在右边）。

第二步：实轴上的根轨迹区域（180°，看右边个数是否为奇）

第三步：判断复数段是不是圆。

老师说："从它的零极点分布，我们马上头脑当中会有一个意识——s 平面当中的根轨迹有可能是一个圆。"

【补前置】为什么一看就想到圆？ 这是第08讲讲过的固定套路（考点分析 p005 点名："如何判断根轨迹是圆，这个也是个固定题型"）：两个极点 + 一个有限零点时，复平面上那段轨迹是以该零点为圆心的圆（弧）。 这可以严格证明，不是巧合。

用相角条件证明（这就是老师黑板上那一串）： 设轨迹上任一点 \(s=\sigma+j\omega\)（\(\omega\neq0\)），代入 180° 相角条件： $\(\underbrace{\arctan\frac{\omega}{\sigma+3}}_{\text{零点}-3\to s\ \text{的倾角}}-\underbrace{\arctan\frac{\omega}{\sigma-1}}_{\text{极点}+1}-\underbrace{\arctan\frac{\omega}{\sigma+2}}_{\text{极点}-2}=\pm180°\)$

• 在说什么：把点 \(s\) 分别与零点、两个极点连线，量出三个倾角，按"零点角减极点角"合成，必须凑成 \(180°\)。
• 符号：\(\sigma\) 是点 \(s\) 的横坐标（实部），\(\omega\) 是纵坐标（虚部）。\(\frac{\omega}{\sigma+3}\) 就是"从 \(-3\) 指向 \(s\) 那根线"的对边比邻边。
• 怎么用：把两个极点项移到右边，两边取正切（\(\tan\)）。因为 \(\tan(180°+\theta)=\tan\theta\)，那个 \(180°\) 会被"吃掉"，只剩 \(\sigma,\omega\) 的代数关系。
• 【补前置】用到的公式：\(\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\)。老师念的那个"分母 \(1-\dfrac{\omega^2}{(\sigma-1)(\sigma+2)}\)"就是从这来的。

下面把"整理"这一步一行不漏地做完（这是零基础最容易断链的地方，别跳）：

第 1 步：移项。 把两个极点项挪到等号右边： $\(\arctan\frac{\omega}{\sigma+3}=\pm180°+\arctan\frac{\omega}{\sigma-1}+\arctan\frac{\omega}{\sigma+2}\)$

第 2 步：两边取 \(\tan\)。 左边 \(\tan\left(\arctan x\right)=x\)，直接得到 \(\dfrac{\omega}{\sigma+3}\)；右边因为 \(\tan(180°+\theta)=\tan\theta\)，那个 \(\pm180°\) 被吃掉，只剩两个 arctan 相加： $\(\frac{\omega}{\sigma+3}=\tan\left(\arctan\frac{\omega}{\sigma-1}+\arctan\frac{\omega}{\sigma+2}\right)\)$

第 3 步：用 \(\tan(A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\) 展开右边。 令 \(\tan A=\dfrac{\omega}{\sigma-1}\)、\(\tan B=\dfrac{\omega}{\sigma+2}\)： $\(\frac{\omega}{\sigma+3}=\frac{\dfrac{\omega}{\sigma-1}+\dfrac{\omega}{\sigma+2}}{1-\dfrac{\omega^2}{(\sigma-1)(\sigma+2)}}\)$ （老师念的那个"分母 \(1-\frac{\omega^2}{(\sigma-1)(\sigma+2)}\)"就是这里。）

第 4 步：把右边上下同乘 \((\sigma-1)(\sigma+2)\)，化掉小分数。 - 分子：\(\dfrac{\omega}{\sigma-1}\cdot(\sigma-1)(\sigma+2)+\dfrac{\omega}{\sigma+2}\cdot(\sigma-1)(\sigma+2)=\omega(\sigma+2)+\omega(\sigma-1)=\omega(2\sigma+1)\) - 分母：\((\sigma-1)(\sigma+2)-\omega^2\)

第 5 步：交叉相乘，然后约掉 \(\omega\)。 $\(\omega\big[(\sigma-1)(\sigma+2)-\omega^2\big]=\omega(2\sigma+1)(\sigma+3)\)$ 关键一步：两边都有公因子 \(\omega\)，而我们一开始就设了 \(\omega\neq0\)（讨论的是复数段，实轴上的部分另算），所以可以两边同除以 \(\omega\) 把它约掉。这一步学生最容易卡死——不是"不能除"，而是必须先确认 \(\omega\neq0\) 才敢除。 $\((\sigma-1)(\sigma+2)-\omega^2=(2\sigma+1)(\sigma+3)\)$

第 6 步：两边展开、移项。 - 左边：\(\sigma^2+\sigma-2-\omega^2\) - 右边：\(2\sigma^2+7\sigma+3\)

第 7 步：对 \(\sigma\) 配方。 \(\sigma^2+6\sigma=(\sigma+3)^2-9\)，代入： $\((\sigma+3)^2-9+5+\omega^2=0\ \Longrightarrow\ (\sigma+3)^2+\omega^2=4\)$

于是得到 $\((\sigma+3)^2+\omega^2=4\)$ - 在说什么：所有满足条件的点 \((\sigma,\omega)\)，到点 \((-3,0)\) 的距离恒等于 2。 - 结论：圆心在 \((-3,0)\)（正是那个开环零点），半径 \(R=2\)。

考场快捷验算：两极点一零点时 \(R=\sqrt{|z-p_1|\cdot|z-p_2|}\)。本题 \(R=\sqrt{|-3-1|\cdot|-3+2|}=\sqrt{4\times1}=2\) ✓。（先用快捷式得数，考试再问"证明是圆"时才写相角条件那一串。）

第四步：分离点与会合点。

【补前置】分离点：两条本来在实轴上相向而行的分支撞到一起、然后"甩"进复平面的那一点。会合点（汇合点）：两条复分支落回实轴的那一点。求法（第07讲规则）： $\(\sum_i\frac{1}{d-z_i}=\sum_j\frac{1}{d-p_j}\)$ （这式子在说：分离点 \(d\) 处，"到各零点的倒数距离之和"等于"到各极点的倒数距离之和"。\(d\) 是待求的实数坐标。）

本题： $\(\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d-1}+\frac{1}{d+2}\)$ 通分：\((d-1)(d+2)=(d+3)\big[(d+2)+(d-1)\big]=(d+3)(2d+1)\) $\(d^2+d-2=2d^2+7d+3\ \Longrightarrow\ d^2+6d+5=0\ \Longrightarrow\ d=-1\ \text{或}\ d=-5\)$

• \(d=-1\) 落在区段 \((-2,1)\) 内（该段在轨迹上）→ 分离点；
• \(d=-5\) 落在区段 \((-\infty,-3)\) 内（该段也在轨迹上）→ 会合点。
• 交叉验证：\((-1+3)^2=4\) ✓，\((-5+3)^2=4\) ✓——两点都在那个圆上，与第三步完全自洽。这种"两条路算出同一件事"的自检，考场上很值。

第五步：把图画出来（\(K:0\to+\infty\)）

两条分支从极点 \(+1\) 和 \(-2\) 出发，在实轴上相向靠拢，在 \(s=-1\) 分离进入复平面，沿着圆心 \(-3\)、半径 2 的圆各走上半圆和下半圆，在 \(s=-5\) 汇合回实轴；此后一条向右趋向有限零点 \(-3\)，另一条向左沿实轴奔向 \(-\infty\)（趋向"无限零点"）。

【补前置】"无限零点"是什么？ 分支数等于极点数（这里 2 条），每条分支都必须"终结"在某个零点上。但有限零点只有 1 个（\(-3\)），不够分。差的 \(n-m=2-1=1\) 个，规定它们终结于无穷远处，称为无限零点。这不是玄学，是记账约定：\(s\to\infty\) 时 \(G(s)\to0\)，行为和零点一致。

【转录勘误】字幕里说"一条从负一出发"，但本题极点是 \(s=+1\)（分母因子是 \(s-1\)），不是 \(-1\)。ASR 把"正一"听成了"负一"。以 \(G(s)\) 表达式为准：极点为 \(+1\) 与 \(-2\)，\(-1\) 是分离点。

1.5 例题一第（1）问续：\(K:-\infty\to0\)（0° 部分）

开环零极点位置一点不变（\(K\) 的正负不改变零极点在哪），只是判定从"奇数"换成"偶数"：

与老师所讲一致："从 1 到正无穷是我们根轨迹所在的区域，除此之外从 \(-2\) 到 \(-3\) 也是。"

图形：0° 部分的轨迹全在实轴上，没有复数段——一条分支从极点 \(+1\) 出发向右跑向 \(+\infty\)；另一条从极点 \(-2\) 出发向左跑到零点 \(-3\) 停住。

【难点】为什么 180° 和 0° 的实轴区域刚好互补？ 难在哪：看着太巧，像是人为编的，于是只能死背，一紧张就记反。 正确理解：一点都不巧。在实轴上任取一点，它左边的零极点对它的贡献角是 \(0°\)（箭头指向正右方）；右边的每一个零极点贡献 \(180°\)（箭头指向正左方）。所以总相角 \(=(\text{右边个数})\times180°\)（极点前的负号只把 \(+180°\) 变 \(-180°\)，在"是不是 \(180°\) 的奇数倍"这件事上等价，不影响奇偶判断）。 - 要它是 \(180°\) 的奇数倍 → 右边个数为奇； - 要它是 \(180°\) 的偶数倍（含 0）→ 右边个数为偶。 两个条件必然互补，因为奇偶本就二选一。想通这一条，你就再也不用背了。

【补漏·重要】上面只数了实轴上的零极点，那么不在实轴上的呢？开环零极点若是复数，必定共轭成对出现（\(a+jb\) 与 \(a-jb\)）。对实轴上任取的一点，这一对到该点的两个向量关于实轴对称，贡献角一个是 \(+\theta\)、另一个是 \(-\theta\)，相加恰好抵消为 0，对总相角没有任何影响。所以数奇偶时只数实轴上的零极点，复数零极点一律不数。本讲两道例题的零极点都在实轴上，看不出区别；但第四章常见"开环带一对共轭复极点"的题，不知道这一条就会数错。

1.6 例题一第（2）问：最小阻尼比

先做一步关键排除。 老师指出：在 \(K\) 从 \(-\infty\) 到 \(0\) 这一半（0° 部分），始终有一条分支停在 \([1,+\infty)\) 上，也就是始终存在一个正实闭环特征根。\(e^{+\text{正数}\cdot t}\) 发散，所以这一段系统恒不稳定，题目问的是"系统稳定时"，因此这一半整个排除。只在 \(K>0\) 的 180° 那半边找。

【补前置】阻尼比 \(\zeta\) 是什么？（第三章概念，这里补到够用） 一对共轭复根写成 \(s=-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)，其中 \(\omega_n\) 叫无阻尼自然频率（衡量快慢），\(\zeta\) 衡量"震荡被压住的程度"： - \(\zeta=0\)：完全不衰减，等幅振荡； - \(0<\zeta<1\)：欠阻尼，边震荡边衰减，响应形如 \(Ae^{-\sigma t}\sin(\omega t+\varphi)\)； - \(\zeta=1\)：临界阻尼，刚好不震荡，是"会震"与"不会震"的分界； - \(\zeta>1\)：过阻尼，被压得更死，单调爬升到位，但爬得更慢。

（\(\zeta=1\) 和 \(\zeta>1\) 都是"不再震荡、单调爬升"，只是名字不同：等于 1 叫临界阻尼，大于 1 叫过阻尼。后面自测第 4 题会用到这两个名字。）

【补前置】超调是什么：给系统一个目标值，响应第一次冲上去时冲过了头，超出目标值的那部分（通常用相对目标值的百分比表示）就叫超调量。震荡越凶，第一下冲得越过分，超调量越大。

\(\zeta\) 越小 → 震荡越凶、超调越大。 所以"求最小阻尼比"问的其实是"这系统最能震荡到什么程度"。

【补前置】阻尼角 \(\beta\) 与 \(\zeta=\cos\beta\)——这是本问的钥匙。 把复根 \(s=-\zeta\omega_n+j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) 画到 s 平面上，从原点到它连一条线： - 这条线的长度 \(=\sqrt{(\zeta\omega_n)^2+\big(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\big)^2}=\omega_n\)； - 这条线与负实轴的夹角记作 \(\beta\)（阻尼角）； - 于是 \(\cos\beta=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\dfrac{\zeta\omega_n}{\omega_n}=\zeta\)。

$\(\boxed{\zeta=\cos\beta}\)$ - 在说什么：阻尼比就是"原点到根的连线"与负实轴夹角的余弦。 - 怎么用：在 \(0°\sim90°\) 内 \(\cos\) 是减函数，所以 "求最小 \(\zeta\)" 立刻翻译成"求最大 \(\beta\)"。这正是老师说的"阻尼比最小意味着阻尼角最大"。 - 几何图像：从原点发出的射线，\(\beta\) 越大越"翘"、越贴近虚轴，对应的根越震荡。

求最大 \(\beta\)：让射线与圆相切。

轨迹的复数段是圆心 \(C(-3,0)\)、半径 \(r=2\) 的圆。从原点画射线去扫这个圆：角度小时射线穿过圆（有交点），越转越大，直到恰好相切；再转就完全碰不到圆了。所以相切时 \(\beta\) 最大、\(\zeta\) 最小。

【补前置】切线的几何算法：原点 \(O\) 到圆心 \(C\) 的距离 \(|OC|=3\)，半径 \(r=2\)。切点 \(P\) 处半径 \(CP\) 垂直于切线 \(OP\)，于是直角三角形 \(OPC\) 中，\(r\) 是 \(\beta\) 的对边、\(|OC|\) 是斜边： $\(\sin\beta_{\max}=\frac{r}{|OC|}=\frac{2}{3}\ \Longrightarrow\ \cos\beta_{\max}=\sqrt{1-\left(\frac23\right)^2}=\frac{\sqrt5}{3}\)$ $\(\boxed{\ \zeta_{\min}=\cos\beta_{\max}=\frac{\sqrt5}{3}\approx0.745,\qquad \beta_{\max}\approx41.8°\ }\)$

继续算完（老师说"这个题大家可以接着往下做下去"，这里替你做完，考试很可能还要问对应的 \(K\)）：

切点坐标：\(|OP|=\sqrt{|OC|^2-r^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt5\)，方向与负实轴成 \(\beta\) 角，所以 $\(P=-\sqrt5\cos\beta+j\sqrt5\sin\beta=-\frac53+j\frac{2\sqrt5}{3}\)$ 验算在不在圆上：\(\left(-\frac53+3\right)^2+\left(\frac{2\sqrt5}{3}\right)^2=\frac{16}{9}+\frac{20}{9}=4\) ✓。实部 \(-\frac53<0\)，在左半平面 ✓（"稳定时"这个前提没被违反）。

对应的 \(K\)，用幅值条件 \(K=\dfrac{|s-1|\cdot|s+2|}{|s+3|}\)： $\(|s-1|=\left|-\tfrac83+j\tfrac{2\sqrt5}{3}\right|=\frac{\sqrt{64+20}}{3}=\frac{\sqrt{84}}{3},\quad |s+2|=\frac{\sqrt{1+20}}{3}=\frac{\sqrt{21}}{3},\quad |s+3|=\frac{\sqrt{16+20}}{3}=\frac63=2\)$ $\(K=\frac{\frac{\sqrt{84}\cdot\sqrt{21}}{9}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{1764}}{9}}{2}=\frac{\frac{42}{9}}{2}=\frac{7}{3}\approx2.33\)$

顺手验证它确实落在稳定区：闭环特征方程 $\((s-1)(s+2)+K(s+3)=\underbrace{s^2+s-2}_{(s-1)(s+2)}+\underbrace{Ks+3K}_{K(s+3)}=s^2+(1+K)s+(3K-2)=0\)$ （逐项核对：常数项由 \((s-1)(s+2)\) 给出的 \(-2\) 和 \(K(s+3)\) 给出的 \(+3K\) 相加，是 \(3K-2\)，不是 \(2K-2\)；一次项是 \(s\) 与 \(Ks\) 相加，为 \((1+K)s\)。） 【补前置】二阶方程的稳定判据：\(as^2+bs+c=0\) 的根全在左半平面 \(\iff\) \(a,b,c\) 全部同号且都不为零。为什么？由韦达定理，两根之和 \(=-b/a\)、两根之积 \(=c/a\)；两根都为负 \(\iff\) 和为负且积为正。（这也正是劳斯判据在二阶时退化成的形式。） 所以需 \(1+K>0\) 且 \(3K-2>0\) → \(K>\dfrac23\) 系统才稳定。切点对应的 \(K=\dfrac73\approx2.33>\dfrac23\) ✓，答案有效。

让这个验证真正有信息量：由幅值条件，分离点 \(d=-1\) 对应 \(K=\dfrac{|-1-1|\cdot|-1+2|}{|-1+3|}=\dfrac{2\times1}{2}=1\)；会合点 \(d=-5\) 对应 \(K=\dfrac{6\times3}{2}=9\)。也就是说，整段复数弧（从分离点走到会合点）对应 \(1\le K\le 9\)，全都满足 \(K>\frac23\)，整段都在稳定区里。所以"最小阻尼比"这个问题在稳定前提下有解，切点 \(K=\frac73\) 正落在 \([1,9]\) 之内 ✓。

【难点】"最小阻尼比"是在轨迹上找，不是在整个平面上找。 难在哪：既然 \(\beta\) 越大 \(\zeta\) 越小，那让 \(\beta\to90°\) 岂不是 \(\zeta\to0\)？为什么不行？ 正确理解：\(\beta\) 不能随便取。闭环极点只能落在根轨迹上——那是它唯一能出现的地方。射线必须与轨迹真的有交点才算数。所以可行的最大 \(\beta\) 就是"射线与圆刚好还接触"的那一个，即相切。 "作射线切轨迹求极值"是根轨迹性能题的标准动作，要形成条件反射。

1.7 这道题真正的考点（老师原话强调）

老师说得很重：如果拿到题没仔细读"从 \(-\infty\) 到 \(+\infty\)"，只画了 \(0\to+\infty\) 的部分，这道题想考你的主要内容你已经整个遗漏了。

应试动作：见到根轨迹题，第一件事是圈出参数的变化范围—— - \(0\to+\infty\) → 只画 180°； - \(-\infty\to0\) → 只画 0°； - \(-\infty\to+\infty\) → 两套都要画，缺一不可。

2. 第二大主题：参数根轨迹

2.1 问题出在哪

据 PPT 幻灯片 41（要点转述）：以开环根轨迹增益 \(K^*\) 为可变参数的根轨迹称为常规根轨迹；系统中其他参数变化时对应的根轨迹称为参数根轨迹，又称广义根轨迹。

常规根轨迹能直接套规则，前提是 \(K^*\) 干干净净地摆在分子最前面当乘数。但考试常给你这种：待变参数卡在分母里，或者分子分母都有。这时规则套不上去。

解决办法（PPT 幻灯片 41 要点转述）：引入等效开环传递函数的概念，使所要研究的变参数成为另一个等效系统的开环增益，然后运用前面所有的绘制法则。要求两条：(1) 可变参数必须是乘积因子；(2) 化成零、极点形式。

2.2 【难点】等效开环传递函数：怎么凑、凭什么能用

这是本讲第二座山，也是参数根轨迹的全部技术含量。

据 PPT 幻灯片 42（要点转述），步骤只有两步：

1. 写出闭环特征方程 \(D(s)=1+G(s)H(s)=0\)，展开成多项式 \(=0\)；

2. 以不包含可变参数的各项之和去除整个方程，把 \(D(s)=1+G(s)H(s)=0\) 等效变换成 $\(1+A\cdot\frac{P(s)}{Q(s)}=0\)$ 其中 \(A\) 就是那个待求参数，\(P(s)\)、\(Q(s)\) 是与 \(A\) 无关、首项系数为 1 的多项式。于是 $\(G^*(s)H^*(s)=A\cdot\frac{P(s)}{Q(s)}\quad\text{称为等效开环传递函数}\)$

3. 这套操作在说什么：原方程里 \(A\) 东一块西一块，配不出标准形；把"没有 \(A\) 的那一堆"当作分母整体除下去，\(A\) 就被逼到一个统一的位置上，长得和 \(K^*\) 一模一样。

4. 符号：\(A\) 是待画的那个参数（本题里是 \(K\)）；\(P(s)\) 是"\(A\) 的系数"那个多项式；\(Q(s)\) 是"不含 \(A\) 的各项之和"。
5. 怎么用：得到 \(G^*H^*\) 后，把它的分子分母解出零点极点，然后完全照常规规则画（实轴段、分离点、幅值条件……一条都不用改）。

凭什么能这么干？（这是最该追问的一句，PPT 幻灯片 42 末尾就是答案）

等效开环传递函数的含义在于：在"闭环极点"相同这一点上成立。

翻译成人话：这个"等效系统"和原系统根本不是同一个系统——它们的开环传递函数完全不同，开环零点、开环极点的位置也完全对不上，因此除了闭环特征根以外，任何一项性能都不保证一致。它们唯一相同的东西是闭环特征方程的根（因为我们只是把同一个方程两边同除了一个东西，解集不变）。而根轨迹画的就是闭环特征根的移动路线，所以在"画根轨迹"这件事上，用哪个都一样。

【你可能会以为】等效开环传递函数就是原系统换个写法，还是同一个系统。 但其实：完全不是。 它是为了借用绘图规则而人工造出来的"影子系统"，只保证特征根一致，别的什么都不保证。 【后果】做完根轨迹后，若题目要闭环传递函数，绝对不能拿等效开环传函去套 \(\Phi=\frac{G^*}{1+G^*}\)——必须回到原来的 \(G(s)\)。这正是下面第（3）问埋的坑。

2.3 例题二：题目

例题二：单位负反馈系统，开环传递函数 $\(G(s)=\frac{4K(1-s)}{s\big[(K+1)s+4\big]}\)$ （1）绘制 \(K\) 从 \(0\) 变到 \(+\infty\) 时的闭环根轨迹； （2）求系统单位阶跃响应中含有 \(Ae^{-\sigma t}\sin(\omega t+\varphi)\) 这类分量（\(A>0,\ \omega>0\)）时 \(K\) 的取值范围； （3）若系统有一个闭环极点为 \(s=-2\)，求系统的闭环传递函数。

【补前置】"单位阶跃响应"是什么？ 拆成两半： - 阶跃（信号）：输入在 \(t=0\) 这一瞬间突然从 0 跳到某个常数值，之后一直保持不变，图像像一级台阶，所以叫"阶跃"。单位阶跃就是跳到 1。物理上相当于"啪地一下把开关打开并按住"、"把目标转速一下子设成 1 并不再改"。 - 响应：系统在这个输入下，输出随时间变化的曲线。

所以"单位阶跃响应"＝给系统一个突然的、之后保持不变的指令，看它的输出怎么走到位：是一路单调爬上去，还是先冲过头再来回摆几下（震荡），还是越摆越大（发散）。之所以拿它当标准考题，是因为它最能暴露系统的动态毛病。第（2）问问的就是"这条曲线里含不含衰减震荡的成分"。

注意 \(K\) 的位置：分子有 \(4K\)，分母里还藏着一个 \((K+1)\)。它不是独立的乘积因子，所以不能当 \(K^*\) 直接用——这就是参数根轨迹。老师原话："注意现在这个 \(K\) 不是独立出来的一个参变量了，分子当中有，分母当中也有。"

2.4 第（1）问：造出等效开环传递函数

第一步：写闭环特征方程。 【补前置】单位负反馈：输出原封不动（增益为 1）送回输入端做减法。这种结构的闭环特征方程就是 \(1+G(s)=0\)。（"1"来自反馈通道的增益，"负"体现在这个加号上——推导见第二章。）

文字框图（单位负反馈）：

输入 R ──→(比较点 −)──偏差 E──→[ G(s) ]──→ 输出 C ──┬──→
              ↑                                      │
              └──────────── 反馈，增益 = 1 ───────────┘

顺便把后面要用的两个词就地讲清楚（第（3）问会用到）： - 前向通道：图中从偏差 \(E\) 出发、一路往前走到输出 \(C\) 的那一段，这里就是 \(G(s)\) 这一块。"前向"是相对"反馈回来那一路"说的。 - 环路增益（开环传递函数）：信号从比较点出发，绕整个圈走一遍（前向通道 \(G\) + 反馈通道 \(H\)）总共被放大多少，即 \(G(s)H(s)\)。单位负反馈时 \(H=1\)，环路增益就等于 \(G(s)\)。 这就是闭环公式 \(\Phi=\dfrac{G}{1+G}\) 里"分子＝前向通道、分母＝1＋环路增益"的来历。

第二步：按"含不含 \(K\)"分成两堆。 $\(\underbrace{s^2+4s}_{\text{不含 }K}\ +\ K\underbrace{\big(s^2-4s+4\big)}_{K\ \text{的系数}}=0\)$ 认出 \(s^2-4s+4=(s-2)^2\)（完全平方公式）。

第三步：用"不含 \(K\) 的那一堆"整体去除。 $\(1+\frac{K(s-2)^2}{s^2+4s}=0\quad\Longrightarrow\quad 1+\frac{K(s-2)^2}{s(s+4)}=0\)$

等效开环传递函数： $\(\boxed{G^*(s)H^*(s)=\frac{K(s-2)^2}{s(s+4)}}\)$ - 在说什么：造了个"影子系统"，它的开环增益正好就是我们要变的那个 \(K\)。 - 符号：\((s-2)^2\) 表示有两个重合的零点都在 \(s=+2\)；分母给出两个极点 \(s=0\)、\(s=-4\)；首项系数都已是 1，符合 PPT 的要求。 - 怎么用：接下来全部照常规规则画。

第四步：判 0° 还是 180°。 方程是 \(K\dfrac{(s-2)^2}{s(s+4)}=-1\)，右端是 \(-1\) → 180° 根轨迹。 注意：零点 \(+2\) 在右半平面，按定义这是非最小相位系统，但最高次项系数为正，所以仍是 180°——这正好回扣 1.2 节那个【难点】，两道例题在这里互为对照。

第五步：零极点分布 + 实轴区域（180°，右边个数为奇） - 极点：\(p_1=0,\ p_2=-4\) - 零点：\(z_{1,2}=+2\)（两个重合）

实轴上只有 \([-4,\ 0]\) 这一段。 与老师所讲一致。

【补前置】重零点按几个数？ 按重数数。 \((s-2)^2\) 算两个零点，只是位置重合。数奇偶时必须数 2 个。这个细节一错，实轴区域全盘反转。

第六步：分离点。 $\(\frac{2}{d-2}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d+4}\)$ 左边为什么是 \(\frac{2}{d-2}\)？因为两个零点都在 \(s=2\)，\(\frac{1}{d-2}+\frac{1}{d-2}=\frac{2}{d-2}\)。 解：\(2d(d+4)=(d-2)\big[(d+4)+d\big]=(d-2)(2d+4)\) $\(2d^2+8d=2d^2-8\ \Longrightarrow\ 8d=-8\ \Longrightarrow\ d=-1\)$ 验算：左 \(=\frac{2}{-3}=-0.667\)，右 \(=\frac{1}{-1}+\frac13=-0.667\) ✓。分离点 \(d=-1\)，落在 \([-4,0]\) 内，有效。

第七步：走势。 两条分支分别从极点 \(0\) 和 \(-4\) 出发，在实轴上相向而行，在 \(s=-1\) 分离进入复平面；最终都必须终结于两个有限零点，而零点在 \(s=+2\)，位于右半平面。所以这两条分支必然从左半平面跑到右半平面，必然穿过虚轴。老师说的"从它的走势当中我们发现肯定会和虚轴相交"，就是这么推出来的，不是猜的。

老师顺口提了一句"两个相邻极点、两个相邻零点，所以它的根轨迹很有可能还是一个圆，但在这道题当中已经不重要了"——要点转述：本题后两问只用到"分离点"和"与虚轴交点"这两个特殊点的 \(K\) 值，圆心半径用不上，所以考场上不必花时间去证圆。这是取舍，不是说圆的结论不成立。

2.5 第（2）问：把"响应长什么样"翻译成"根在哪里"

题目要响应中含 \(Ae^{-\sigma t}\sin(\omega t+\varphi)\)，且 \(A>0,\ \omega>0\)。

【补前置】这一串符号是什么响应？ 逐块拆： - \(\sin(\omega t+\varphi)\)：一个来回摆动的波 → 震荡。条件 \(\omega>0\) 保证它真的在摆（\(\omega=0\) 就不摆了）。 - \(e^{-\sigma t}\)（\(\sigma>0\)）：一个越来越小的"包络" → 衰减。 - 合起来：衰减震荡——摆动幅度一圈比一圈小，最后归于平静。（对比：等幅振荡是摆而不衰，发散是越摆越大。考点分析 p004 专门提到"要了解衰减震荡、等幅震荡、发散的概念，到了后面会在根轨迹那边出大题"。）

【难点】从"响应形状"倒推"根的位置"，是第三章与第四章的接口，也是本题必须"转的那个弯"。 老师原话：这一问"考察的时候大家必须要转一个弯……如果他难以理解的话，那么这个题你将没有办法往下做下去"。 难在哪：题面给的是时域的一个函数式子，而你手上只有一张 s 平面的图，两者看上去毫无关系。

转弯逻辑（三步）： 1. 响应里出现 \(\sin\) → 特征根必须有非零虚部 → 根是一对共轭复数； 【补前置】为什么？响应由各项 \(e^{s_it}\) 拼成。若 \(s=-\sigma+j\omega\)，由欧拉公式 \(e^{j\omega t}=\cos\omega t+j\sin\omega t\)，才会冒出三角函数。根若是纯实数，响应只有 \(e^{-at}\) 这种单调曲线，永远不会摆。 【补前置】共轭复根：形如 \(-\sigma+j\omega\) 与 \(-\sigma-j\omega\) 的一对数，实部相同、虚部相反。实系数多项式的复根必然成对共轭出现（否则展开后系数里会残留虚数）。 2. 响应在衰减 → 复根实部为负 → 根落在左半平面； 3. 合起来 → 需要一对实部为负的共轭复根 → 系统处于欠阻尼状态（\(0<\zeta<1\)）。

再翻译到图上：闭环极点必须落在轨迹"离开实轴之后、越过虚轴之前"的那两段（左半平面的复数弧段）。于是两个边界是： - 下界：分离点 \(s=-1\)（还没分离时是两个实根，不震荡）； - 上界：与虚轴的交点（越过去实部变正，就是发散震荡，不再衰减）。

只要求出这两个边界点各自对应的 \(K\)，中间就是答案。这一步"把问题转化成求两个端点的 K"就是老师说的那个弯。

边界一：分离点 \(s=-1\) 处的 \(K\)（幅值条件） $\(K\cdot\frac{|s-2|^2}{|s|\cdot|s+4|}=1\ \bigg|_{s=-1}\ \Longrightarrow\ K\cdot\frac{|-3|^2}{1\times3}=1\ \Longrightarrow\ \frac{9K}{3}=1\ \Longrightarrow\ K=\frac13\)$ （把 \(s=-1\) 代进等效开环传递函数取模，令其等于 1——这就是幅值条件的全部用法。）

边界二：与虚轴交点处的 \(K\)（劳斯判据） 回到原闭环特征方程（整理成标准降幂形式）： $\((1+K)s^2+4(1-K)s+4K=0\)$ 【补前置】劳斯判据在二阶时怎么用：对 \(as^2+bs+c=0\)，根落在虚轴上（等幅振荡、临界状态）发生在中间项系数 \(b=0\) 时。此时方程变成 \(as^2+c=0\)，解得 \(s=\pm j\sqrt{c/a}\)——一对纯虚根，正在虚轴上。老师说的"劳斯阵列出现全零行"指的就是这个情形——劳斯阵列是第三章判稳定的通用方法：把特征方程的系数按奇次项、偶次项分两行排开，再按固定的交叉相减公式一行行往下算，看第一列有没有变号；当某一行算出来全是 0 时，说明存在一对关于原点对称的根，最常见的情形就是一对纯虚根（即根落在虚轴上）。二阶方程时这套阵列退化成一句话：中间项系数为零。完整规则见第05讲（稳定性）与第06讲（例题），本讲直接用二阶捷径即可。 $\(4(1-K)=0\ \Longrightarrow\ K=1\)$ 验算：\(K=1\) 时方程为 \(2s^2+4=0\) → \(s=\pm j\sqrt2\)，确在虚轴上 ✓。

结论： $\(\boxed{\ \frac13<K<1\ }\)$

【难点】为什么两端都取不到等号？ - \(K=\frac13\)：根恰在分离点，是两个相等的实根（\(s=-1\) 重根），虚部 \(\omega=0\)，不震荡 → 违反 \(\omega>0\)； - \(K=1\)：根在虚轴上，\(\sigma=0\)，等幅振荡不衰减 → 违反 \(Ae^{-\sigma t}\) 的衰减含义。 所以是开区间。区间的开闭是这类题的常见扣分点，写答案时务必想一遍两个端点各自发生了什么。

【你可能会以为】\(K\) 越大越容易震荡，所以答案应该是"\(K\) 大于某个值"。 但其实：\(K\) 太大会把根推过虚轴，变成发散震荡，就不是题目要的"衰减震荡"了。所以答案是上下都有界的一个窗口。

考点分析 p005 写着"近几年根轨迹的第二问都会结合振荡、阻尼那块的知识点去求参"，p008 的历年题型表里也确有"绘制根轨迹和求参（单位阶跃响应为震荡收敛）"。这一问基本就是原题模板。

2.6 第（3）问：已知一个闭环极点，求闭环传递函数

思路：已知一个闭环极点，就等于已知轨迹上的一个具体点 → 用幅值条件反求 \(K\) → \(K\) 一定，整个系统就完全确定了。

第一步：用等效开环传函 + 幅值条件求 \(K\)。 $\(K\cdot\frac{|s-2|^2}{|s|\cdot|s+4|}=1\ \bigg|_{s=-2}\ \Longrightarrow\ K\cdot\frac{|-4|^2}{2\times2}=1\ \Longrightarrow\ \frac{16K}{4}=1\ \Longrightarrow\ K=\frac14\)$

第二步：回到原系统（坑在这里）。

【难点】这里绝对不能用等效开环传函去算闭环传递函数。 难在哪：刚拿等效传函算完 \(K\)，手很顺，会顺势去套 \(\Phi=\frac{G^*}{1+G^*}\)。 为什么错：如 2.2 节所说，等效系统只保证分母（特征方程）一致，分子完全是另一回事——闭环传函的分子来自原系统前向通道的零点，而等效系统那个 \((s-2)^2\) 是人为造出来的，与真实零点毫无关系。分子用错，算出来的阶跃响应形状全盘错误。 正确做法：把 \(K=\frac14\) 代回原来的 \(G(s)\)。

第三步：单位负反馈闭环公式。 【补前置】单位负反馈时 \(\Phi(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}\)。 - 在说什么：闭环的"输出/输入"= 前向通道增益 ÷（1 + 环路增益）。这两个词的含义已在 2.4 节第一步的框图里讲过：前向通道＝从偏差到输出这一路（这里就是 \(G\)），环路增益＝绕一圈的总放大 \(G(s)H(s)\)（单位负反馈时 \(H=1\)，即 \(G\)）。 - 怎么用：把 \(G\) 代进去，上下同乘 \(G\) 的分母化简即可。

上下同乘 \(\frac45\)： $\(\Phi(s)=\frac{0.8\,(1-s)}{s^2+2.4s+0.8}\)$

第四步：分母因式分解并验证。 $\(s^2+2.4s+0.8=0\ \Longrightarrow\ s=\frac{-2.4\pm\sqrt{2.4^2-4\times0.8}}{2}=\frac{-2.4\pm\sqrt{2.56}}{2}=\frac{-2.4\pm1.6}{2}=-0.4\ \text{或}\ -2\)$ （另一条路交叉验证：由特征方程 \((1+K)s^2+4(1-K)s+4K=0\) 代 \(K=\frac14\) 得 \(\frac54 s^2+3s+1=0\)，两边乘 4 得 \(5s^2+12s+4=0\)，根同样是 \(-0.4\) 与 \(-2\) ✓。）

验证成功：题目给的闭环极点 \(s=-2\) 确实出现在结果里 ✓，另一个闭环极点是 \(s=-0.4\)。这类题做完一定要回头看给定的极点在不在答案里——零成本的自检，能救回整道大题。

【转录说明】字幕在这一段把 \(\frac14\) 念成"14"、把 \(5s^2+12s+4\) 念成"五的平方加上一个 12 再加 12"，属 ASR 数字识别错误。以上推导按公式重算，并用两条独立路径交叉验证过（直接化简 \(\Phi\)、以及代入特征方程），结论可靠。原话可查 ../02_转录/第09讲_转录.md。

3. 老师最后的总结（要点转述）

第四章的考察点，主要就是画三种根轨迹（常规 180°、零度 0°、参数根轨迹）。画出来以后，要么让你定性分析、要么让你定量分析，但总离不开两个条件：幅值条件和相角条件。此外要格外注意系统有没有主导极点、有没有偶极子——它们的存在会使系统的性能计算大幅简化。

【补前置】上一讲的两个词，这里补一句免得断片： - 主导极点：离虚轴最近的那对（或那个）闭环极点。它衰减最慢、在响应里活得最久，因而"主导"整个响应形状。有它就能把高阶系统近似当二阶系统算。 - 偶极子：一对靠得极近的零点和极点。它们的作用近似互相抵消（分子分母近似约掉），分析时可以忽略。

这一讲的骨架

1. 看到参数范围含负值，必须画两张图：\(0\to+\infty\) 用 180°，\(-\infty\to0\) 用 0°。漏掉一半 = 丢掉本题的主要考点。
2. 0° 与 180° 的判别只认一条：把方程整理成 \(K^*\frac{\prod(s-z)}{\prod(s-p)}=?\)，右端 \(-1\) 画 180°，\(+1\) 画 0°。不看反馈口极性，也不能只凭"有没有右半平面零极点"。
3. 0° 规则只改由相角推出的部分：实轴区域从"右边奇数"改成"右边偶数（含 0）"，渐近线/起始角把 \((2k+1)180°\) 改成 \(2k\cdot180°\)。幅值条件求 \(K\) 一字不改。
4. 两极点一零点 → 复数段是以该零点为圆心的圆，\(R=\sqrt{|z-p_1||z-p_2|}\)；要证明就写相角条件、取正切、整理成圆方程。
5. 求最小阻尼比 = 求最大阻尼角 = 从原点作射线与轨迹（圆）相切；\(\zeta=\cos\beta\)。且必须先排除恒不稳定的那一段轨迹。
6. 参数根轨迹三步走：写闭环特征方程 → 按含不含该参数分两堆 → 以"不含参数的各项之和"整体去除，凑成 \(1+A\frac{P(s)}{Q(s)}=0\)，得等效开环传递函数，然后照常规规则画。
7. 等效开环传函只在"闭环极点相同"这一点上等效：求 \(K\) 可以用它，求闭环传递函数必须回到原 \(G(s)\)。
8. "响应含衰减震荡分量" = 一对实部为负的共轭复根 = 轨迹上"分离点之后、虚轴之前"那段；两端点的 \(K\) 分别用幅值条件和劳斯判据（二阶时即中间项系数为零）求出，答案取开区间。
9. 重零点按重数计数（\((s-2)^2\) 算两个），否则实轴区域判反。

自测（戳穿假懂版）

第 1 题　某系统开环传函 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^*(s+1)}{s(s-2)}\)，\(K^*\) 从 0 变到 \(+\infty\)。有人说："极点 \(s=2\) 在右半平面，是非最小相位系统，所以要画 0° 根轨迹。"这话对吗？

答案要点：不对。判别标准是根轨迹方程右端的符号，不是"有没有右半平面极点"。写成 \(K^*\frac{s+1}{s(s-2)}=-1\)，右端是 \(-1\) → 仍画 180°。PPT 幻灯片 36 的完整说法是"当非最小相位系统 \(s\) 的最高次幂项的系数为负时"才用 0°，本题 \(s^2\) 项系数为 \(+1\)。 答错说明你卡在哪：你把"非最小相位"与"0° 根轨迹"划了等号，1.2 节的【难点】没吃透。这是考场高频失分点，回去重读。

第 2 题　某段实轴区间的右边，有 1 个开环极点和 2 个开环零点（这 2 个零点重合于同一点）。这段在 180° 根轨迹上吗？在 0° 根轨迹上吗？

答案要点：右边总数 \(=1+2=3\)，奇数 → 在 180° 上，不在 0° 上。关键是重零点必须按重数算 2 个。 答错说明你卡在哪：若你把重零点数成 1 个（总数 2，偶数），结论就完全反了。例题二第（1）问的实轴区域正是靠这一点定的。

第 3 题　例题二里，如果直接拿等效开环传函 \(\frac{K(s-2)^2}{s(s+4)}\)（取 \(K=\frac14\)）去算 \(\Phi=\frac{G^*}{1+G^*}\)，得到的分母对不对？分子对不对？为什么？

答案要点：分母对——等效变换保证闭环特征方程等价，都归结为 \(5s^2+12s+4=0\)。分子错——真实闭环传函分子是 \(0.8(1-s)\)，零点在 \(s=+1\)（来自原系统前向通道）；等效系统会给你 \(\frac14(s-2)^2\)，是重零点在 \(s=+2\)，完全是人造的假零点。 答错说明你卡在哪：说明"等效只在闭环极点上等效"这句话你只是背了、没懂。回 2.2 节的【你可能会以为】。

第 4 题　例题二第（2）问答案是 \(\frac13<K<1\)。若题目改问"系统产生等幅振荡时的 \(K\)"，答案是什么？若改问"系统稳定的 \(K\) 范围"呢？

答案要点：等幅振荡 → 根恰在虚轴上 → \(K=1\)（此时 \(s=\pm j\sqrt2\)）。稳定范围 → 二阶方程 \((1+K)s^2+4(1-K)s+4K=0\) 三系数同号：\(1+K>0\)、\(4(1-K)>0\)、\(4K>0\) → \(0<K<1\)。 答错说明你卡在哪：若你答"稳定范围也是 \(\frac13<K<1\)"，说明把"稳定"和"欠阻尼震荡"混为一谈了。\(0<K\le\frac13\) 时系统是稳定的，只是不震荡（过阻尼/临界阻尼，单调爬升）。稳定 ⊋ 欠阻尼，这是两个不同的问题，考试专挑这里问。

第 5 题　例题一算出 \(\zeta_{\min}=\frac{\sqrt5}{3}\approx0.745\)，对应 \(K=\frac73\approx2.33\)。若 \(K\) 再取大些，比如 \(K=5\)，阻尼比是变大还是变小？

答案要点：变大。\(K\) 增大时闭环极点沿圆继续移动，越过切点后"原点到根"的连线与负实轴夹角 \(\beta\) 减小，\(\zeta=\cos\beta\) 随之增大。注意这段圆弧只对应 \(1\le K\le 9\)（分离点 \(d=-1\) 对应 \(K=1\)，会合点 \(d=-5\) 对应 \(K=\frac{|-5-1||-5+2|}{|-5+3|}=\frac{6\times3}{2}=9\)）：\(K=5\) 仍在弧上，还谈得上阻尼角；\(K=9\) 时两根汇合回实轴成为重根（\(\zeta=1\)），\(K>9\)（如 \(K=10\)）已经是两个不相等的实根，根本不在圆上、也不再有 \(\zeta<1\) 意义下的阻尼角。所以切点处的 \(\zeta\) 确实是最小值。 答错说明你卡在哪：说明你只记住了"切线求最小阻尼比"这个动作，脑子里没有"根沿轨迹移动 → 夹角变化 → \(\zeta\) 变化"的动画。请在纸上画出那个圆，让一个点从 \(-1\) 沿圆走到 \(-5\)，亲手比划夹角的变化。

第 6 题（综合）　已知 \(G(s)H(s)=\dfrac{10(Ts+1)}{s(s+2)}\)，要画以 \(T\) 为变参数的根轨迹。写出等效开环传递函数。

答案要点（此例出自 PPT 幻灯片 46）：闭环特征方程 \(s^2+2s+10+10Ts=0\)；不含 \(T\) 的是 \(s^2+2s+10\)，含 \(T\) 的是 \(10Ts\)；以前者整体去除得 \(1+\dfrac{10Ts}{s^2+2s+10}=0\)，故等效开环传函为 \(\dfrac{10Ts}{s^2+2s+10}\)。 答错说明你卡在哪：最常见的错是"除错了东西"。牢记：除的是不含该参数的所有项之和，不是随手挑一项。

知识地图

向前串（这一讲踩在什么上面） - 第一章：反馈、开环/闭环 → 才谈得上"闭环特征方程"。 - 第二章：传递函数、零点极点、单位负反馈 \(\Phi=\frac{G}{1+G}\) → 例题二第（3）问直接用。 - 第三章：阻尼比 \(\zeta\)、欠阻尼/过阻尼、衰减震荡的响应形式、劳斯判据 → 例题二第（2）问整个建立在这上面。第三章没学扎实，这一讲第二问必然做不动。 - 第07讲：根轨迹方程、幅值/相角条件、绘制法则、分离点公式。 - 第08讲：判圆的方法、阻尼角与"切线求极值"、主导极点与偶极子。

横向串（第四章内部的位置）

根轨迹方程  1 + G(s)H(s) = 0
        │
        ├─ 整理后右端 = -1 ─→ 180° 根轨迹（常规）……第07、08讲
        ├─ 整理后右端 = +1 ─→   0° 根轨迹        ……本讲例题一
        │        （来源：非最小相位最高次幂为负 / 含正反馈内回路）
        └─ 变量不是 K*    ─→ 参数根轨迹（广义根轨迹）……本讲例题二
                             └→ 造"等效开环传递函数" → 回到上面两种画法

画完之后 ─┬─ 定性：稳不稳？震不震？（看根在左半还是右半）
          └─ 定量：求 K / 求 ζ / 求闭环传函
                   工具只有两件：幅值条件、相角条件
                   简化工具：主导极点、偶极子

向后串（这一讲通向哪里） - 第五章 频域分析："非最小相位"这个词在那里才真正显出威力——到那时会用"给系统输入不同频率的正弦波、看输出幅值放大多少（幅频）、相位滞后多少（相频）"这套办法分析系统，而非最小相位系统的相位滞后规律与最小相位系统截然不同，不能只看幅值曲线判稳定。这些词到第五章才需要真正掌握，本讲只是先混个脸熟。 - 第六章 校正：根轨迹法校正就是"往系统里加零极点，把根轨迹掰到想要的位置"，掰的目标常常正是"让主导极点落在某个 \(\zeta\) 对应的射线上"。本讲的"射线与轨迹求交/相切"就是那时候的日常操作。 - 第七章 离散系统：z 平面上同样画根轨迹，规则几乎照搬，只是稳定区域从"左半平面"换成"单位圆内"。 - 考试结构：据考点分析 p008 的历年题型表，T5 长期是"绘制根轨迹 + 求参"，且第二问几乎必然结合阻尼/振荡/稳定求参数范围——与本讲例题二第（2）问是同一个模子。

诚实的难度提示

• 1.6 节（最小阻尼比）与 2.5 节（响应形状 → 根的位置）是这一讲的两座山，第一遍读不懂很正常，不代表你学不了这门课。建议攻克顺序：拿纸画出零极点分布 → 把圆画出来 → 让一个点沿轨迹慢慢走 → 边走边问自己"现在这个根对应什么响应"。把静态的图变成脑内的动画，是学根轨迹唯一的通路。
• 2.2 节的"等效"如果看一遍就觉得懂了，请回去做自测第 3 题。答不出，就是还没懂。
• 本讲两道例题的数值我都做了交叉验证（分离点代回原式、圆方程代切点、特征方程两条路径求根），可以放心当标准答案用。ASR 听错的地方已在正文标出【转录勘误】/【转录说明】。