\[\zeta\omega_n=1.2,\qquad \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}=1.25,\qquad \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=1.6,\qquad \beta=\arccos\zeta=53.1^\circ\]
解得
\[\zeta=0.6,\qquad \omega_n=2\]
故系统的闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{40}{s^2+2.4s+4}\]
由于 \(0<\zeta<1\),故该系统为欠阻尼二阶系统,其动态性能指标为
超调量 \(\sigma\%=\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%=9.5\%\)
峰值时间 \(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\dfrac{\pi}{2\times0.8}=1.96(\mathrm{s})\)
调节时间 \(t_s=\dfrac{3.5}{\zeta\omega_n}=\dfrac{3.5}{1.2}=2.92(\mathrm{s})\quad(\Delta=5\%)\)
仿真结果如图3-47所示。
MATLAB程序:exe347.m
wn=[2]; kos=[0.6]; num=wn^2; den=[1,2koswn,wn^2];
figure, step(num, dent);
图3-47 系统的单位阶跃响应曲线(MATLAB)
3-48 设单位反馈系统的开环传递函数
$\(G(s)=\frac{2s+1}{s^2}\)$,试求系统的单位脉冲响应 \(c(t)\)
和单位阶跃响应 \(c(t)\)。
解 根据题意可得系统的闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{2s+1}{s^2+2s+1}\]
当输入为单位脉冲信号时,即 \(R(s)=1\),此时
\[C(s)=\Phi(s)\cdot R(s)=\frac{2s+1}{s^2+2s+1}\]
\[=\frac{2(s+0.5)}{(s+1)^2}\]
由于
\[\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{s+a_0}{(s+a)^2}\right]=[(a_0-a)t+1]\mathrm{e}^{-at}\]
所以系统的单位脉冲响应
\[c(t)=\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{2(s+0.5)}{(s+1)^2}\right]=(2-t)\mathrm{e}^{-t}\]
当输入为单位阶跃信号,即 \(R(s)=\dfrac{1}{s}\) 时,有
\[C(s)=\Phi(s)\cdot R(s)=\frac{2s+1}{s^2+2s+1}\cdot\frac{1}{s}\]
\[=\frac{2(s+0.5)}{s(s+1)^2}\]
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