试求系统可观测标准型实现。
解 (1) 由于
\[g(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{bmatrix}0 & 0 & s+2 & s+1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\]
此为四输入-单输出系统。由于线性系统满足叠加原理，故系统微分方程可以写为
\[\ddot{y}+3\dot{y}+2y=\dot{u}_3+2u_3+\dot{u}_4+u_4\]
令 \(x_1=\dot{y}+3y-u_3-u_4\)，\(x_2=y\)，则有
\[\begin{cases}\dot{x}_1=-2x_2+2u_3+u_4\\\dot{x}_2=x_1-3x_2+u_3+u_4\\y=x_2\end{cases}\]
即系统的可观测型实现的向量-矩阵形式为
\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0 & -2\\1 & -3\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}u,\quad y=\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}u\]
(2) 系统的传递函数向量
\[g(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2-1}\begin{bmatrix}s-1 & s^2+s & 2s\end{bmatrix}\]
此为三输入-单输出系统。由于线性系统满足叠加原理，故系统微分方程可以写为
\[\ddot{y}-y=\dot{u}_1-u_1+\ddot{u}_2+\dot{u}_2+2\dot{u}_3\]
令 \(x_1=\dot{y}-u_1-\dot{u}_2-u_2-2u_3\)，\(x_2=y-u_2\)，则有
\[\begin{cases}\dot{x}_1=x_2-u_1+u_2\\\dot{x}_2=x_1+u_1+u_2+2u_3\\y=x_2+u_2\end{cases}\]
即系统的可观测型实现的向量-矩阵形式为
\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0\\1 & 1 & 2\end{bmatrix}u,\quad y=\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\end{bmatrix}u\]
(3) 系统的传递函数向量
\[g(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+1}\begin{bmatrix}3s^2+3 & 2 & s^2\end{bmatrix}\]
此为三输入-单输出系统。由于线性系统满足叠加原理，故系统微分方程可以写为
\[\ddot{y}+y=3\ddot{u}_1+3u_1+2u_2+\ddot{u}_3\]
令 \(x_1=\dot{y}-3\dot{u}_1-\dot{u}_3\)，\(x_2=y-3u_1-u_3\)，则有
\[\begin{cases}\dot{x}_1=-x_2+2u_2-u_3\\\dot{x}_2=x_1\\y=x_2+3u_1+u_3\end{cases}\]
即系统的可观测型实现的向量-矩阵形式为
\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0 & 2 & -1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}u,\quad y=\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}3 & 0 & 1\end{bmatrix}u\]
(4) MATLAB验证。最后利用下列MATLAB程序，并根据可观测标准型实现与可控标准型实现的关系，验证可知上述计算结果正确。
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