题海 · solution · p.531
0.3723,\(\lambda_2=-5.3723\),可见系统的原点平衡状态是不稳定的。
(2) 由于系统的状态矩阵为 \(x(k+1)=\boldsymbol{\Phi}x(k)\),
\[
\boldsymbol{\Phi}=\begin{bmatrix}1 & 4 & 0\\-3 & -2 & -3\\2 & 0 & 0\end{bmatrix},\quad \det(\boldsymbol{\Phi}-\boldsymbol{I})\neq 0
\]
故 \(\boldsymbol{x}_e=\boldsymbol{0}\) 为系统唯一的平衡点。
选取 \(V(\boldsymbol{x}(k))=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(k)\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}(k)\),\(\Delta V(\boldsymbol{x}(k))=-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(k)\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}(k)\)
其中 \(\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{I},\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\)。代入离散李雅普诺夫方程
\[
\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Phi}-\boldsymbol{P}=-\boldsymbol{Q}
\]
则
\[
\begin{bmatrix}1 & -3 & 2\\4 & -2 & 0\\0 & -3 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} & p_{13}\\p_{12} & p_{22} & p_{23}\\p_{13} & p_{23} & p_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 4 & 0\\-3 & -2 & -3\\2 & 0 & 0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} & p_{13}\\p_{12} & p_{22} & p_{23}\\p_{13} & p_{23} & p_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix}
\]
可得
\[
\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}-0.0985 & -0.0683 & -0.0570\\-0.0683 & -0.1725 & -0.2151\\-0.0570 & -0.2151 & -0.5526\end{bmatrix}
\]
显然 \(\boldsymbol{P}\) 非正定,所以该离散系统在平衡点 \(\boldsymbol{x}_e=\boldsymbol{0}\) 处非渐近稳定。另由于 \(\boldsymbol{\Phi}\) 的特征值为 \(\lambda_{1,2}=0.5\pm \mathrm{j}3.4278,\lambda_3=-2\),位于单位圆外,可见系统的原点平衡状态是不稳定的。
(3) 由于系统的状态矩阵为 \(x(k+1)=\boldsymbol{\Phi}x(k)\),
\[
\boldsymbol{\Phi}=\begin{bmatrix}a & 0 & 0\\0 & 1 & -1\\1 & 2 & 0\end{bmatrix}
\]
由于在平衡点处有 \(x(k+1)=x(k)\),因此
\[
\begin{bmatrix}a-1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\\1 & 2 & -1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(k)=\boldsymbol{0}
\]
当 \(a\neq 1\) 时,\(\boldsymbol{\Phi}-\boldsymbol{I}\) 非奇异,故 \(\boldsymbol{x}_e=\boldsymbol{0}\) 为离散系统唯一的平衡点。当 \(a=1\) 时,平衡点 \(\boldsymbol{x}_e=[\beta\ \ 0\ \ \beta]^{\mathrm{T}}\),其中 \(\beta\) 为任意常数。在 \(\boldsymbol{x}_e=\boldsymbol{0}\) 处,选取 \(V(\boldsymbol{x}(k))=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(k)\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}(k)\),\(\Delta V(\boldsymbol{x}(k))=-\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(k)\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}(k)\),其中 \(\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{I},\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\)。代入离散李雅普诺夫方程
\[
\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{\Phi}-\boldsymbol{P}=-\boldsymbol{Q}
\]
则
\[
\begin{bmatrix}a & 0 & 1\\0 & 1 & 2\\0 & -1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} & p_{13}\\p_{12} & p_{22} & p_{23}\\p_{13} & p_{23} & p_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & 0 & 0\\0 & 1 & -1\\1 & 2 & 0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} & p_{13}\\p_{12} & p_{22} & p_{23}\\p_{13} & p_{23} & p_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix}
\]
解得 \(p_{33}=-\dfrac{7}{8}<0,p_{22}=-\dfrac{15}{8}<0\),因此无论 \(a\) 如何选取,系统都不能渐近稳定。
最后,利用下列 MATLAB 程序可知,上述判断结论正确。
MATLAB 程序:exe940.m
A1=[-1 2;3 -4];Q1=eye(length(A1));
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