图2-26 交流-直流位置随动系统结构图
2-26 已知一系统由如下方程组组成,试绘制系统结构图并求闭环传递函数 \(C(s)/R(s)\)。
\[X_1(s) = G_1(s)R(s) - G_1(s)[G_7(s) - G_8(s)]C(s)\]
\[X_2(s) = G_2(s)[X_1(s) - G_6(s)X_3(s)]\]
\[X_3(s) = [X_2(s) - G_5(s)C(s)]G_3(s)\]
\[C(s) = G_4(s)X_3(s)\]
手绘草图(方程组右侧,原件手绘)
\[R(s) \to G_1 \to X_1 \to (-\ G_6) \to G_2 \to X_2 \to (-\ G_5) \to G_3 \to X_3 \to G_4 \to C\]
草图中标注:上方为 \(G_6\) 反馈支路,下方为 \(G_7 - G_8\) 反馈支路(反馈至最前端求和点)。
解 根据系统方程组可绘制系统结构图,如图 2-27 所示。
图 2-27 系统结构图
由 \(X_2 = G_2(X_1 - G_6X_3)\) 和 \(X_3 = (X_2 - G_5C)G_3\),可得
\[X_3 = \frac{G_2G_3X_1 - G_3G_5C}{1 + G_2G_3G_6}\]
代入 \(X_1 = G_1R - G_1(G_7 - G_8)C\),有
\[X_3 = \frac{G_2G_3[G_1R - G_1(G_7 - G_8)C] - G_3G_5C}{1 + G_2G_3G_6}\]
又因为 \(C = G_4X_3\),故
\[C = \frac{G_2G_3G_4[G_1R - G_1(G_7 - G_8)C] - G_3G_4G_5C}{1 + G_2G_3G_6}\]
即
\[\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{G_1G_2G_3G_4}{1 + G_2G_3G_6 + G_3G_4G_5 + G_1G_2G_3G_4(G_7 - G_8)}\]
又解 (1) 运用结构图简化的办法,将 \(X_3(s)\) 的引出点后移,可得系统的前向通道传递函数为