\[G(s)H(s)=\dfrac{K(s+3)}{(s-1)(s+2)}\]
当 \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 时,分离点方程为
\[\dfrac{1}{d-1}+\dfrac{1}{d+2}=\dfrac{1}{d+3}\]
解出
\[d_1=-1,\quad d_2=-5\]
绘出常规根轨迹图如图 4-173(a) 所示。
当 \(K\) 从 \(-\infty\to0\) 时,系统根轨迹为零度根轨迹,如图 4-173(b) 所示,不论 \(K\) 取何值,闭环系统都是不稳定的。
图 4-172 系统结构图
图 4-173 系统根轨迹图
(2) 求最小阻尼比。
求最小阻尼比 \(\zeta_{\min}\) 问题,仅对 \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 情况才有意义。在图 4-173(a) 上,作切线。由图可见
\[\sin\beta=\dfrac{2}{3}\]
\[\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=0.745\]
所以
\[\zeta_{\min}=\cos\beta=0.745\]
4-56 设控制系统如图 4-174 所示,其中 \(G_p(s)\) 是调节器的传递函数。(1) 当采用比例调节器 \(G_p(s)=K_p\) 时,绘出以 \(K_p\) 为参变量的根轨迹图;(2) 为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定比例系数 \(K_p\) 的取值范围;(3) 若采用比例-微分调节器 \(G_p(s)=K_p(1+0.5s)\),试绘出以 \(K_p\) 为参变量的根轨迹图;(4) 试分析加入比例调节器和加入比例-微分调节器时系统的稳定性。
图 4-174 系统结构图
解 (1) 绘比例控制时的根轨迹图。