7-43 设采样系统如图7-63所示,已知 \(r(t)=1(t)\),\(T=1\)。试计算 \(D(z)\),使系统输出量的 \(z\) 变换 \(C(z)=\dfrac{1}{z-1}\),并作出 \(c^*(t)\) 的图形。(提示:\(\mathscr{Z}\left[\dfrac{1}{s+a}\right]=\dfrac{z}{z-\mathrm{e}^{-aT}}\))
图7-63 采样系统结构图
解
\[G_1(s)=\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s(s+1)}\]
\[G_1(z)=\frac{1-\mathrm{e}^{-T}}{z-\mathrm{e}^{-T}}=\frac{0.632}{z-0.368}\]
开环脉冲传递函数
\[G(z)=D(z)G_1(z)\]
输出 \(z\) 变换
\[C(z)=\Phi(z)R(z)=\frac{D(z)G_1(z)R(z)}{1+D(z)G_1(z)}\]
解出
\[D(z)=\frac{C(z)}{G_1(z)[R(z)-C(z)]}\]
因
\[R(z)=\frac{z}{z-1},\quad C(z)=\frac{1}{z-1}\]
故得
\[D(z)=\frac{1.582(z-0.368)}{z-1}\]
由于
\[C(z)=\frac{1}{z-1}=z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+z^{-4}+\cdots\]
故得
\[c^*(t)=\delta(t-T)+\delta(t-2T)+\delta(t-3T)+\delta(t-4T)+\cdots\]
其图形如图7-64所示。
图7-64 采样输出
7-44 已知采样系统结构如图7-65所示。试确定增益 \(K\) 的取值范围,使系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差 \(|e_{ss}(\infty)| \leqslant \varepsilon\),并确定 \(K\) 与采样周期 \(T\) 及指定误差界 \(\varepsilon\) 之间的关系。
图7-65 采样系统结构图
常用函数的拉氏变换与 \(z\) 变换如表7-2所示。
表7-2 常用函数的拉氏变换与 \(z\) 变换
| 常用函数 | \(\mathrm{e}^{-aT}\cdot 1(t)\) | \(t\mathrm{e}^{-aT}\cdot 1(t)\) | \(\delta(t-a)\) |
|---|---|---|---|
| 拉氏变换 | \(\dfrac{1}{s+a}\) | \(\dfrac{1}{(s+a)^2}\) | \(\mathrm{e}^{-as}\) |
| \(z\) 变换 | \(\dfrac{z}{z-\mathrm{e}^{-aT}}\) | \(\dfrac{Tz\mathrm{e}^{-aT}}{(z-\mathrm{e}^{-aT})^2}\) | \(z^{-aT}\) |
· 417 ·