各位同学，大家好，欢迎来到考试点，我们今天呢，将会接着上一讲来复习，自动控制原理的第八章。自动控制原理的第八章呢，介绍的是非线性系统的分析，那非线性系统的分析我们在前面的七章当中涉及到的所有系统呢，不管是离散的还是连续的。针对的都是线性系统啊，都是线性系统，而非线性系统呢，有它自身的一些特性，对于非线性系统的分析呢，是和线性系统的分析有很大差异的啊，有很大差异的。

非线性系统的主要特性体现在哪里呢？首先，非线性系统，它的稳定性和线性系统的稳定性呢？是不一样的。我们在讲到线性系统的稳定性的时候，我们说线性系统的稳定性呢，是它的固有属性，也就是说当一个线性系统，它的结构一旦确定以后，那么这个时候线性系统是稳定还是？不稳定完全取决于它自身的固有结构和外家的激励，以及初始条件都没有关系。而对于非线性而言，非线性系统，它的稳定性和响应形式，那和响应形式除了与系统的结构以及参数有关之外。

还与系统的初始条件有关系啊，与系统的初始条件有关，这是非线性系统和线性系统的一个区别。对于非线性系统而言，它的平衡工作点可能不止一个，可能它在某个局部的范围内是稳定的，而在另外一个范围内却是不稳定的。因此，如果我们要讨。论非线性系统的稳定性，我们只能说啊，只能说它在某些范围内或者说多大的范围内，它是稳定的什么空间内或什么范围内，它是不稳定的而不。不能笼统的说非线性系统，它是稳定还是不稳定？

这是非线性系统，它的第一个特点。此外。我们在讲线性系统的时候，我们说了线性系统，它呢，会存在两种运动形式，一种是发散的，一种呢，是收敛的，当然有的同学会说还会做等幅诊断。但实际上，对于性系统而言，这种等幅震荡是不可能持续下去的啊，不可能持续下去的，它只能是一种临界状态。但是对于非线性系统不是这样的，非线性系统，它除了发散和收敛两种运动状态之外，它系统的自身还会产生。

具有某一种幅值和频率的，这样的一种自激诊断，这种自激诊断，它和非线性系统自身的结构还有参数是有关系的。第二个特点，它会产生非线性的自激诊断。这个诊断的振幅和频率完全取决于非线性系统的结构，还有参数。这种诊断它有可能是稳定的啊，有可能是稳定的，也就是说对于非线性系统而言，它完全可以。可以做某一种简谐诊道线性系统，是不可能具备这样的特点的，这是第二个特点，第三个特点，如果我们提到线性系统，那么在食欲当中描述这个线性系统的数学模型。

一定是一个线性的微分方程，对于线性系统而言，不管是离散还是连续，我们都可以呢，用叠加定理来进行分析。但是非线性的啊，系统描述它的数学模型呢，是非线性的微分方程，因此呢，我们不能使用叠加原理，那叠加原理。这是第三个区别，那第三个区别叠加原理呢？对于非线性系统而言，是不能用的啊，是不能用的。第四个区别，那第四个区别对于非线性元件而言，它的正弦响应会产生某些非线性的畸变，那非线性的畸变，这和线性系统也是有区别的。

线性系统，如果它是稳定的，在正弦激励信号的作用下，所对应的输出响应一定是一个同频率的正弦，同频率的正弦。只不过浮值和相位会发生改变，这种线性的二失真对于线性系统而言是没有影响的，但是对于非线性系统而言。如果在正弦信号的作用下，它产生的输出会产生某一些非线性的畸变。输出当中，除了含有和输入相同频率的激波分量之外。还会含有各种高次谐波分量啊，高次谐波分量，这是非线性。

系统和线性系统的第四个区别啊，第四个区别正是由于非线性系统有着它自身的这样一系列的啊，一系列的特性，因此呢，我们对于非线性系统的分析并。必须采用和线性系统呢，不一样的方法，不一样的方法，那么我们通常提到的非线性系统呢，有两种情况，有两种情况，第一种是非本质的非线性。什么叫做非本质的非线性呢？我们来看，如果现在有一个非线性系统。它的输出响应呢？是这样的。是这样的，那么这样的一个输出响应，我们从曲线上面可以很明显的看到它遵循的呢，肯定是非线性的变化规律，但是。

在某一个工作点，比如说是在这个工作点附近很小的领域内，我们来观察一下，这个时候实际上输入和输出之间，它产生的非线性的欺骗。并不严重啊，并不严重，我们可以在这个平衡工作点附近很小的领域内来对它呢，采用泰勒级数展开，利用小误差线性化的方法来进行。线性化的处理，也就是说，如果某一个非线性函数，比如说y等于根号x，它存在了某一个平衡工作点啊，平衡工作点xe。ye那么在这个平衡工作点附近很小的领域内，如果输出它产生的非线性改变并不严重，那么这个时候我可以把它做泰勒级数的展开。

泰勒级数的展开展开以后呢？哎，它就会存在这样的一个关系，那a倍的x-xe。然后呢，再加上一个啊，必备的x-xe^2一直加加下去，按照泰勒级数的展开，其中AB呢啊，它分别是啊，分别是它的意境。阶导在这个地方的值啊y=fx阶导在x1处的函数值和它的二阶导除以二，也就是二的阶乘分之二阶导在这个x1处的函数值。那么，以此类推，可以写出无限多项泰勒奇数的展开。如果我只保留只保留常数项和一次项，那么我们将会有y- 1个y1。

那ye它就应该等于a倍的x-xe，那a倍的x-xe，那么我们来观察一下，这是输出相对于平衡工作点的偏离量。这是输入相对于平衡工作点的牵离量，我们可以得到一个增量方程，增量方程。这个增量方程如果在平衡工作点附近很小的领域内，那么实际上不就相当于微商吗？所以我们是在啊一个平衡工作点附近，如果它的非线性失真不是很严重。严重那么这个时候利用泰勒基数，我们完全可以对它来做线性化的处理，我们把能够做线性化处理的采用小误差理论，这样的非线性呢叫做。

非本质的非线性，但是还有很多非线性，我们是不能对它做线性化处理的，这样的非线性呢？我们把它叫做本质非线性。对于本质非线性啊，这样的非线性系统而言，分析它的方法有非常多种，并且呢，由于非线性，它们是千差万别的，所以针对每。一种非线性啊，我们呢采用的方法都有可能不一样，但是对于一些特殊的非线性，什么样的特殊呢？比如说低阶的非线性系统在。再比如说我们能够对非线性的元件做某种近似化，把它呢，能够做线性化的处理，这样的非线性呢，我们可以采用两种方法，一个呢，叫象棋面。

法一个呢叫描述函数法来进行分析，注意啊，橡皮面法，它只能是对二阶以下的系非线性系统进行全面的分析。而对于高阶系统，如果想要讨论它的稳定性，稳定性，那么会不会产生自己震荡？如果产生它的震荡的幅值是多大？我们可以用。描述函数法来讨论，那么我们在第八章当中分析非线性系统的方法，主要就是这样的两种，向平面法和描述函数法。那么，这也是第八章的啊，知识重点了，知识重点下边，我们来看一下第八章，它的整个知识架构啊，知识架构。

我们刚才说了，对于非等值的非线性，我们分析它的时候呢，采用的通常有两种方法，一种呢叫橡皮面法，橡皮面法。那么，橡皮面法来分析非线性系统的时候，我们可以用两种思路来解决，第一种，如果我们知道了系统的结构图。结构图那么这个时候每个区域内每个区域内虽然总的来看啊，可能中间某个环节是非线性的，但是但是。它在分段的区域内的话，比如说这样的一个折现很明显，这是一个非线性，但是如果我分区间来讨论的话，在每个区间内。

它有可能是线性的，遇到这样的情况，我们可以采用分段线性的方法，在每个区域内针对系统的微分方程来进行分析。那么，还有一种，如果现在我知道了这个非线性系统一阶或者二阶非线性系统的时域数学模型，非线性的微分方程。那么，通过这种非分方程，我可以找到让它的一阶导，二阶导都等于零的起点。这个起点实际上就是我们在线性系统分析当中提到的平衡点，你想让一阶导等于零，二阶导等于零。

线性系统的平衡工作点，我们是怎么定义的呢？如果输出还有输出的各阶导数，它都等于零，这样的点叫做平衡工作点，那么这个时候起点非线性系统的起点就是我们之前。说过的平衡工作点，如果能够找到起点，在起点的附近，在起点的附近，我们可以把非线性的微分方程。来做线性化的处理，在起点附近把非线性的微分方程做线性化的处理。从而对于我们的非线性系统来进行分析，依据的手段，我们可以绘制向轨迹，而绘制向轨迹的时候呢，可以用等倾线法，也可以用。

解析法当然，如果能够找到起点，按照起点的类型不同，在起点附近的向轨迹呢，我们也能够绘制出来。绘制出来它的向轨迹，以后我们借助于它的向轨迹分析系统的性能指标啊，分析系统的性能指标，这是象棋面法。橡皮面法针对的对象一定是一阶或者二阶，这样的低阶非线性系统。除了这种方法之外，还有一种常用的分析非线性系统的方法叫做描述函数法。描述函数法。那么，要想用描述函数法，一定是能够把系统的结构化为某一个非线性环节和一个线性环节相互串联的形式。

其中呢，对于非线性环节和线性环节，还有某一些条件的约束。如果能够化成这样的形式的话。我们需要绘制出来非线性环节所对应的副导描述函数曲线。非线性环节所对应的复导描述函数曲线绘制出来，线性环节所对应的南回斯特曲线。如果非线性环节，它所对应的负导描述，函数曲线和线性环节所对应的南奎斯的曲线，它们二者之间存在了交点。存在了焦点，如果他们二者之间相交，那么这个时候这个非线性的控制系统，它就会产生自身的一种特殊现象，叫做非线性的自激诊断。

这种自激振荡呢，不需要借助于外部的能量，依靠非线性系统，它自身的特点就能够维持下去，那么这种非线性振荡，那非线性的自激振荡，它会存在振幅和平。如何计算？我们在后边会详细的讲，那么这个呢，经常会考察，那经常会考察，利用复导描述函数曲线和我们的线性部分的莱布斯的曲线。它相交的时候，频率的走势情况，也就是我们曲线的变化情况，我们可以分析这个非线性系统在什么样的范围内，它是稳定的，我们刚才不是说过了吗？

对于非线性系统而言，我们不能笼统的说它是稳定的或者是不稳定的，我们只能说它在什么样的范围内是稳定的，什么样的范围内呢？是不稳定的。借助于他们相交的情况，我们可以分析非信息系统的稳定性，稳定的范围产生刺激震荡的话，震荡的振幅和频率注意。这两种考试当中呢啊，两种方法当中。很牛。这两种方法当中呢啊，描述函数法现在考的呢，越来越多了，因为对于橡皮面法而言，它针对的啊，这样的一种特殊的。

非线性微分方程形式呢？比较有限，当然也会那要考察那么这两种方法，我需要大家呢都熟练的掌握啊，熟练的掌握。针对我们第八章的知识架构，我们来看一下第八章，我们需要重点掌握的一些知识点啊，一些知识点。首先啊，我们说分析非线性系统，尤其是高阶的非线性系统，通常会用到描述函数法。那么，什么叫做描述函数呢？那什么叫做描述函数呢？我们认为，如果存在一个非线性环节啊，存在一个非线性环节。

比如说。对于这个样的一个非线性环节，我们输入一个正弦信号，输入一个正弦信号，它所对应的输出呢是yt，那是yt。输入和输出之间满足y=fx的关系，我们定义非线性环节当中的稳态输出。其中的基波分量注意，现在对于非线性环节而言，它输出的信号将不再是和线性系统一样。是与输入同频率的正弦了，有可能会产生一些非线性的畸变，所以在输出当中可能会含有一些高次谐波分量。也就是说，输出除了直流分量之外，还会存在各次谐波分量，那各次谐波分量。

那么现在我们讨论的描述函数一定是输出的，这各自谐波当中。所对应的基波分量基波分量啊，也就是说当n=1的时候所对应的基波分量。它的复数形式与输入的正弦信号，它的比值，它的比值。这个比值我们来看一下，那我们来看一下，我们把它就叫做描述函数，那叫做非线性环节，或者说非线性系统的描述函数。它是非线性环节输出的稳态分量当中的基波分量。基波分量，这是基波分量的幅值。基波分量的相位。

积波分量与输入信号，那与输入信号，它们之间的比值大于输入正弦信号，它们的比值叫做啊，叫做描述函数，那叫做描述函数。那么，所对应的这样的一个描述函数，如果用复数形式来表示是这样的啊。用模和相位来表示呢，是这样的啊，是这样的，其中x呢是非线性环节输入端正弦信号的振幅。那么，按照傅里叶集数的展开式，我们可以计算出来输出的非线性输出的积波分量当中所对应的两个系数。当然，这两个系数在计算的过程当中，从0到2派可以，那么从负派。

到正派可不可以呢？也可以从。二派到四派，当然也是可以的，只要这个积分上下限之间的差值是它的周期，这就可以了，那这就可以了，其中所对应的啊，输出的积分分。分量的浮值和它的实部，虚部之间呢？相位和实部，虚部之间满足这样的关系，那满足这样的关系。如果在描述函数描述函数，它的计算过程当中，我们发现这个描述函数所对应的非线性环节。它是一个单值的基对称的特性，单值的基对称，比如说。

这样的非线性单值的基对称，那么我们来观察一下，在它输出的基波分量当中，基波分量当中。我们来看一下它的余弦分量啊，余弦分量，余弦分量当中，如果非线性环节是单值的基对称信号，那么这相当于是一个奇函数cosine呢，是一个偶函数。数积分区间呢，完全是可以化为负派到正派积分区间对称，被那被积分的对象是一个积函数，那么这个时候它的积分。结果是等于零的，所以它所对应的啊基波分量当中的余弦分量等于零。

只剩下了正弦分量，只剩下了正弦分量啊，同时向平向平所对应的啊，这样的一个向平呢，它也是等于零的啊，也是等于零的。这个时候的描述函数，这个时候的描述函数所对应的呢，它应该是一个实数是一个实数，那么在满足这样的情况的。前提下，我们来观察一下，这不就是输出它的基波分量，也就是说，如果这个非线性环节的输出，它在高次谐波部分衰减的幅值不是很厉害。厉害，那么这个时候它在低频部分激波，这个频率附近所对应的啊，分量可以代表原来的非线性的输出的话。

那么，这和我们线性系统分析的时候啊，线性系统。线性元件输出的稳态分量与输入正弦信号的比值，我们把它叫做频率特性。那么，在这种情况下，做了条件弱化的情况下，描述函数它。和我们的频率特性不就很像了吗？那不就很像了吗？啊，这是我们提到的描述函数的概念，那么要是这个非线性的系统能够用描述函数法来分析的话。这个时候应用呢，非线性系统，它必须满足一定的条件，首先首先第一点，我们的非线性系统能够规划为。

一个非线性环节。和一个线性环节相互串联的形式啊，相互串联的形式必须先能够做到这一步。第二步，如果想用描述函数，那么我希望它输出机关分量当中对应的余弦分量，不存在因为输入是一个s in，如果可以用类似于线性。系统频率分析法的方法来分析的话，我们希望它输出是一个同频率的正确，同频率的正确，因此呢，要求非线性环节的输入输出。它是基对称的，是基对称的，这样余啊余弦分量呢，就等于零了。

这是第二个需要满足的条件，第三个，第三个系统的线性部分，它应该具有良好的低通滤波特性啊，低通特性。什么意思呢？我们希望这个线性部非线性环节的输出在经过了线性部分以后，能够把高次谐波分量呢滤除掉。只保留它的基波分量，那么在分析的时候，如果描述函数当中，我只保留基波，那么这个时候它的失真。并不大失真，并不大，也就是说采用描述函数法来分析非线性系统所产生的偏差。由于线性部分的良好低通滤波特性啊，将会产生比较小的误差，那比较小的。

误差，这是描述函数法应用的几个条件，只有满足了这样几个条件的非线性系统，我们才能够用描述函数法来讨论啊。描述函数法来讨论。当我们用描述函数法来分析系统的时候，我们重点在于分析非线性系统，它的稳定性。非线性系统，它的稳定性，如果一个非线性系统，它自身的结构呢，能够规划为我们刚才说的这样的形式。那么这个时候我们在俯平面当中画两个曲线，一个是非线性环节的负。复导描述函数曲线非线性环节的复导描述函数曲线，还有一个是线性环节的莱奎斯特曲线啊，莱奎斯特曲线。

然后呢，我们利用广义的南乌斯特判据什么叫做广义的南乌斯特判据呢？我们在讨论线性系统是否稳定的时候，哎，如果我们画出来了线性系统，它和南布斯的曲线判定它是否稳定，我们有两种方法。一种是看完整的奈库斯特曲线是否包围了负1g零点，还有一种呢？我们是来看一下半奈库斯特曲线对于负1g零点左侧它的穿越。情况两种方法可以讨论线性系统的稳定性，那么莱布斯特稳定判据在非线性系统的稳定性分析当中呢？

得到了啊。外延的扩大，外延的扩大，我们认为衡量一个系统是否稳定它的参考标准，不再是负170点了，而是非线性环节所对应的负。复导描述函数曲线，如果现在一个非线性系统，如果现在一个非线性系统，它呢，所对应的。线性部分的南布斯特曲线是这样的啊，是这样的，而非线性部分的复导描述函数曲线是这样的。还有辅导描述函数曲线是这样的，二者压根就不相交，那二者根本就不相交，意味着这个时候呢，非线性的控制系统，它一定是稳定的，这个辅导描述函数曲线。

在非线性系统稳定性分析当中的作用和我们线性系统当中的负一，即零点，它的作用呢是一样的啊，是一样的。这是我们广义南欧斯特稳定判据，如果南欧斯特曲线不包为负一进啊。辅导描述函数曲线，那么闭环系统稳定，如果包围闭环系统不稳定，闭环系统不稳定，而如果如果它们二者是相交的。有焦点，那么这个焦点相当于在我们线性系统的南库斯特稳定判距当中，如果南库斯特曲线和负1g零点相交，意味着线性系统会产生一种临界稳定状态。

而现在呢，副导描述函数曲线如果和线性部分的南布斯的曲线相交，这个时候也意味着会出现一种啊等幅震荡。会做周期性的运动，如果是沿着x增大的方向，比如说我们来看这样的一个图啊，看这样的一个图。这个图我们来分析一下，按照我们刚才讲的副导啊，广义南布斯特稳定判据。对于这个部分。这个部分。和这个部分而言，由于这两部分副导描述函数曲线是在我们南威斯特曲线的包围之外。所以我们认为非线性系统呢，在这样的一个范围内，它是稳定的，而在这样的一个范围内。

这样的一个范围内，这个非线性系统，它的复档描述函数曲线被我们的线性部分的南弗斯的曲线所包围了，这个时候非线性系统不稳定，注意我们说了。说非线性系统稳不稳是在什么范围内稳不稳，而如果它们二者相交了，相交了会出现临界稳定的状态。也就是说，会产生周期性的诊断，而这种周期性的诊断和我们线性系统的周期性诊断不一样，这是非线性系统依靠自身的力量产生的自己诊断。那么，这种自激诊断，如果是从稳定区域朝着不稳定的区域来进行的，那么这个时候呢，产生的是不稳定的。

自己震荡，而如果是从不稳定区域穿越了南威斯特曲线，进入了稳定区域，比如说这个点。这个点，它所产生的自己诊断就是稳定的啊，就是稳定的，而这个点所产生的自己诊断呢，是不稳定的啊，是不稳定的。这是我们所谓的啊，广义南威斯特稳定判据，那么如果产生了自激诊断，自激诊断，这种自激诊断它具备了一定的振幅和频率。这个振幅和频率从这样的一个关系式，如果相交，那么非线性部分的负导描述函数和线性部分的。

拉库斯的曲线，它们二者呢，应该具有相同的值，然后呢，从这样的一个等式当中解出来的x就是我们所产生自机震荡的。自己整幅啊，自己整幅而omega哎，此时对应的omega就是所产生自己诊断的诊断频率，那诊断频率，这是我们提到的啊，第八章当中。第一种分析非线性系统的方法叫做描述函数法，下面我们来看第二种方法，第二种方法针对一阶或者二阶这样低阶的非线性系统而言。我们还可以用向平面法。

来讨论啊，向平面法来讨论向平面呢，是指的一个x。和x的e阶导所形成的平面，如果把x当做位移的话，这实际上呢，是一个位移和速度的平面。在向平面当中，我们绘制一个低切非线性系统，它的向轨迹。通过向轨迹来分析非线性系统的性能而绘制向轨迹，通常可以有两个途径。第一个途径，我们可以用解析法来绘制，比如说啊，如果我们拿到了一个非线性的微分方程。通过变量分离以后，我们能够把这个非线性的微分方程分解为这样的形式。

一个独立的只和位移有关的分量，哎，一个呢是独立的只和速度有关的分量。那么这样的话，我们来看一下，做了变量分离以后，我们在两边积分在两边积分。那么，利用这样的一个积分，我们就可以得到一个x和x的应阶导位置和速度之间的关系式。这种方法叫直接积分法，它适用于位置和速度变量可以分离的，这样的一种非线性的微分方程。当然，还有一种方法，那么不管位置也好，速度也好，实际上都是关于时间的函数，如果从非线性的微分方程当中，我能够分别解出啊。

位置和速度与时间的关系，位置和速度与时间的关系，然后呢，从两个关系式当中消去时间变量。剩下的也是一个关于位置和速度的关系式，利用这样的关系式，我们就可以绘制向轨迹了。这是第一种方法，解析的方法啊，解析的方法还有一种方法是图解的方法，那么图解方法画像轨迹的时候，我们有两种，一个呢，叫做等清线法。等清宪法，它是一种直线近似的方法。直线近似的方法在我们这些年的考研题当中呢，这种等清宪法我们见到的非常少，那见到的非常少，所以呢，如果。

理解有困难啊，大家对对于这块知识啊，可以不做重点的啊，掌握还有一种叫做德尔塔法，那德尔塔法也是一种圆弧逼近的方法，也就是说图解法。它只是一种近似的方法，而从解析法呢，我们可以得到准确的准确的，哎，这样的一个向轨集，所以如果让你画向轨集啊，那么这个时候解析法。见到的会比较多一点，那比较多一点，用解析法可以绘制出来，简单的非线性微分方程，它的向轨迹。当然，线性的可不可以呢？

也可以啊，也可以那么这种向轨迹可以是线性的，也可以是非线性非线性系统的向轨迹。由于向平面法，它只是一个二维组，二维平面当中绘制的向轨迹来分析的方法，所以它只适用于一阶或者二阶这样的低阶形式。因此，试卷当中常见的微分方程形式并不多见，并不多见。从节约考试时间这样的一个角度来考虑。我们建议考生。能够熟悉的记忆住常见的微分方程，对应的像平面图，比如说比如说。我们来看一下啊，来看一下啊，这是一些啊，常见的啊，非线性的微分方程，非线性的微分方程。

如果拿到了这样的非线性微分方程，以后非线性微分方程以后，我们通过对它做线性化的近似。也就是说，我们从非线性的微分方程当中找到非线性系统的起点平衡工作点。在这个起点附近，我们是可以对非线性的微分方程做线性化的，那么找到起点以后把它做了线性化处理。得到近似的线性微分方程，利用近似线性微分方程，它的特征方程所对应特征根的分布。那么，所对应的起点附近的向轨迹，它的形式也是不同的，这需要呢？

大家记住它第一种情况。如果我们找到了起点，在起点附近，我们也对非线性的系统做了线性化的近似。从近似以后的线性微分方程当中，我们找到了所对应的特征根。这些特征根的分布呢？有这样的几种情况，第一种特征根是一堆供阿的食，不为富的。供阿的食不为负的这样的一对特征根，此时这个起点我们把它叫做稳定的焦点。稳定的焦点在稳定焦点附近，所对应的向轨迹是呈螺旋形式。卷向起点的卷向起点的此时所对应的输出响应xt。

由于特征根是实不为负的共额复数根，所以会呈现单调递增啊，单调递减也就是会出现。衰减诊断啊，衰减诊断哎，供阿会诊断，然后食不为富会衰减。如果线性化以后所得到的微分方程，它的特征根是一对十不为正的。食不为证的供阿辅，苏根贡，阿辅，苏根，那么这个时候所对应的起点，我们把它叫做不稳定的焦点。在不稳定焦点附近，所有的向轨迹是在卷离卷离我们的起点的卷离我们的起点的注意箭头的方向。

表示啊，是进入还是卷离我们的起点，那卷离我们的起点，那么在这种情况下，由于是共阿的复数跟。所以会诊断输出响应会诊断，由于食不为证诊断呢，是发散的啊发散的。再有，如果线性化以后的微分方程，我们发现它对应的特征根呢，是一对十。互不相等的负实根，互不相等的负实根，比如说过总营的情况啊，那么在这个时候所对应的起点，我们把它叫做稳定结点。稳定节点，这个稳定节点附近所有的向轨迹都是卷向这个起点的。

在项目轨迹这里面呢，我们还需要注意一个问题，注意一个问题，在我们项目平面的上半平面。上半平面随着x的增大，随着x的增大，所有的向轨迹呢？它的运动箭头方向。都是从左到右的，而在向平面的下方，所有的向轨迹运动的方向呢，都是从右到左的注意。向轨迹的方向。画像轨迹的时候，在像平面的上半平面，所有的像轨迹从左到右像平面的下半平面，所有的像轨迹从右到左。那么，如果起点是稳定的节点，稳定的节点，那么这个时候向轨迹呢？

是卷向这个稳定起点的。稳定起点的，这个稳定起点也叫稳定的节点啊，稳定的节点，那么在这种情况下，它的运动，它的运动，由于只有十根。因此，它只能是单调的，那只能是单调的，由于是负实根，它只能是衰减的，那只能是衰减的，这样的话，它的运动形式我们也知道了。而如果线性化以后的微分方程所对应的特征根呢，是一对互不相等的正实根，好实根，意味着它的运动一定。啊实根它所对应的运动呢，一定是呈发散的啊，呈发散的，而这个时候由于它是。

实实根它一定是单调的，由于是正的，它一定是发散的，因此这个时候我们可以把这样的起点叫做不稳定的节点。那么，不稳定节点附近的向轨迹全部是卷离，卷离我们的啊呃。起点那卷离我们的起点也就是这个不稳定节点的啊，注意卷离的方向，卷离的方向。这是我们提到的啊，四种起点，除此之外，还有哎，如果线性化以后，我们发现。对应的特征根呢，是一对共阿的纯须根，在线性系统当中，如果出现了共阿的复数，几点是纯须根？

那么这个时候呢，会做等幅诊断，会做等幅诊断，但是线性系统的等幅诊断呢，持续时间短，可是非线性系统，它的自己诊断。持续的时间会比较长，此时我们把这样的起点叫做中心点啊，叫做中心点。在中心点附近，中心点附近，它会对应一种简谐运动，注意闭合的曲线，对应的是一种简谐的运动。这种简学运动在我们的食欲当中看到的运动形式呢，就是一种等幅诊断，那就是一种等幅诊断，这是第五种类型的起点。

还有一种情况，如果算出来以后，我们所对应的所对应的特征根是一对啊，大小相等，但是方向相反的实根。也就是说是一对啊，一正一负，应该说是一正一负，两个实根，在这种情况下，我们所对应的起点呢，叫做安点。叫做安点在这个起点附近所对应的向轨迹呈现马鞍的形状，那马鞍的形状遇到了这种情况。那么这个时候究竟是正实根，它占据的啊，响应分量大还是负实根占据的响应分量大，决定了它的响应曲线，应该是以发散为主要趋势。

还是以收敛为主要趋势，这是我们啊提到的一些常见的可以做啊，线性化近似的微线性微分方程，然后呢，它所对应的啊，起点的类型以及起点复。路径，它的向轨迹那么画出来，向轨迹以后我们就可以用橡皮面法来分析非线性的系统了。采用橡皮面法分析非线性系统的时候，我们一般呢是这样做的，许多的非线性环节，它是由分段的直线。所构成的，比如说我们常见的一些非线性。他有可能是这样的。是这样的，分段的直线所构成的，那么这个时候呢，对于这样的一类非线性系统，我们可以考虑把整个的象平面划分为几个区域。

在每个区域内，每个区域内非线性系统可以视为一个线性系统，我们呢，分区域讨论完非线性系统的性能。然后把这些分割来的区域呢，彼此衔接起来，彼此衔接起来，那么分析分区域以后，每个区域内是线性系统。那么，在每个区域内就可以用线性的方程来表示，是每个区域内这个线性方程对应的起点，它的类型我们可以确定出来。那么，这个起点附近，它的向轨迹我们也能够绘制出来，绘制出来以后，如果线性系统的起点落在了这个线性区域，所对应的区域内。

叫做实起点，否则叫做虚起点啊，虚起点那么了解了每个区域内所对应的向轨迹，以后把这些区域内的向轨迹。在切换点这个切换点呢，主要是根据我们非线性分段时候的开关线来确定的啊，在切换点的附近把我们分段以后的向轨迹。连接起来就可以得到整个系统的向轨迹了，借助于整个系统的向轨迹，我们就可以讨论非线性系统，它的运动情况，大运动情况。那么在这一讲里面，我们复习了啊，第八章我们会涉及到的两种非常重要的分析，非线性系统的方法，那么这两种方法在考研的试题当中呢啊，出现的频率。

都是非常高的，基本上每套卷子都会出现一道这样的非线性系统的分析啊，这两种方法呢，需要大家熟练的掌握，那么在下一讲当中呢，我们将针对这两种方法，结合一些典型的。的例题呢来加以巩固，这一讲我们就讲到这里，谢谢大家，再见。