\[
=\frac{K[\mathrm{e}^{-1}z+(1-2\mathrm{e}^{-1})]}{10(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})}=\frac{K(0.3679z+0.2642)}{10(z-1)(z-0.3679)}
\]
闭环脉冲传递函数为
\[
\Phi(z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}=\frac{K(0.3679z+0.2642)}{10z^2+(0.3679K-13.679)z+(0.2642K+3.679)}
\]
闭环特征方程为
\[
D(z)=10z^2+(0.3679K-13.679)z+(0.2642K+3.679)=0
\]
令 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\),可得 \(w\) 域特征方程为
\[
D(w)=0.6321Kw^2+(12.642-0.5284K)w+(27.358-0.1037K)=0
\]
列劳斯表如下:
| \(w^2\) | \(0.6321K\) | \(27.358-0.1037K\) |
| \(w^1\) | \(12.642-0.5284K\) | \(0\) |
| \(w^0\) | \(27.358-0.1037K\) |
由劳斯稳定判据可知,当 \(0<K<23.925\) 时系统稳定。
根据开环脉冲传递函数的形式,可以判定该系统是Ⅰ型系统,在单位斜坡输入的情况下,稳态误差为
\[
e_{ss}(\infty)=\frac{T}{K_v}
\]
\[
K_v=\lim_{z\to1}(z-1)G(z)=\frac{K}{10}
\]
则有
\[
e_{ss}(\infty)=\frac{T}{K_v}=\frac{1}{K}=0.05
\]
\[
K=20
\]
当 \(K=20\) 时,系统单位斜坡响应曲线如图7-49所示。
MATLAB文本:exe735.m
T=0.1;t=0:0.1:2;
sys=tf([0.367920,0.264220],[10,0.367920-13.679,0.264220+3.679],T);
u=t;lsim(sys,u,t,0);grid;
图7-49 系统单位斜坡响应(MATLAB)
7-36 采样系统结构图如图7-50所示。设采样周期 \(T=1\),\(r(t)=1(t)\)。(1)求系统脉冲传递函数;(2)求系统的输出响应 \(c^*(t)\)(算至 \(n=5\));(3)画出 \(c^*(t)\),\(e^*(t)\)及 \(u(t)\)的响应曲线。
图7-50 闭环采样系统结构图
解 (1)系统脉冲传递函数。开环脉冲传递函数为