(3) 求得

令切线斜率 \(\alpha=\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\),则可得等倾线方程为 \((T\alpha+1)\dot{x}=M\),即

可见等倾线为一簇水平线。当 \(\alpha=0\) 时,\(\dot{x}=M\),则该等倾线亦为一条相轨迹,因相轨迹互不相交,故其他相轨迹均以此线为渐近线。当 \(\alpha\to\infty\) 时,\(\dot{x}=0\),表明相轨迹垂直穿过 \(x\) 轴。当 \(\alpha\to-1/T\) 时,\(\dot{x}\to\infty\),说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为 \(-1/T\)。最后根据等倾线作图法可得其概略相轨迹如图 8-4 所示。

图 8-4　系统(3)的相轨迹(MATLAB)

(4) 求得

令切线斜率 \(\alpha=\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}\),则可得等倾线方程为 \((T\alpha+1)\dot{x}=M\),即

可见等倾线为一簇水平线。当 \(\alpha=0\) 时,\(\dot{x}=M\),则该等倾线亦为一条相轨迹,因相轨迹互不相交,故其他相轨迹均以此线为渐近线。当 \(\alpha\to\infty\) 时,\(\dot{x}=0\),表明相轨迹垂直穿过 \(x\) 轴。当 \(\alpha\to-1/T\) 时,\(\dot{x}\to\infty\),说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为 \(-1/T\)。最后根据等倾线作图法可得其概略相轨迹,如图 8-5 所示。

(5) 求得

运用积分法可解得相轨迹方程为 \(\dot{x}^2=2Mx+\dot{x}^2(0)-2Mx(0)\) 为一抛物线,其概略相轨迹如图 8-6 所示。

(6) 运用积分法可解得相轨迹方程为 \(\dot{x}=\dot{x}(0)=c\),其中 \(c\) 为一常数,其相轨迹如图 8-7 所示。

8-3 绘制并研究下列系统方程的相轨迹:

(1) \(\ddot{x}-\dot{x}+1=0\);　　(2) \(\ddot{x}+\dot{x}+|x|=0\);

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