\[=\frac{0.6321z^2}{z^3-1.7358z^2+1.1037z-0.3679}\]
\[=0.6321z^{-1}+1.0972z^{-2}+1.2069z^{-3}+1.1191z^{-4}+\cdots\]
则有 \(c^*(t)=0.6321\delta(t-T)\)
\[+1.0972\delta(t-2T)\]
\[+1.2069\delta(t-3T)\]
\[+1.1191\delta(t-4T)+\cdots\]
MATLAB 验证：单位阶跃响应如图 7-18 所示，与图 7-16 比较可知，系统的超调量和调节时间均减小，稳定性不变。
MATLAB 文本：exe718.m
T=1;t=0:1:30;
sys=tf([0.6321,0],[1,-0.7358,
0.3679],T);
step(sys,t);grid;
图 7-18 系统单位阶跃响应(MATLAB)
7-19 闭环采样系统的结构图如图 7-19 所示，求 \(r(t)=1(t)+t+t^2\) 作用下的稳态误差。
图 7-19 闭环采样系统结构图
解 开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{10}{s(s+10)}\right]=\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+10}\right]=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-10T}}=\frac{(1-\mathrm{e}^{-10T})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-10T})}\]
闭环误差脉冲传递函数为
\[\Phi_e(z)=\frac{1}{1+G(z)}=\frac{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-10T})}{z^2-2\mathrm{e}^{-10T}z+\mathrm{e}^{-10T}}\]
\[R(z)=\mathscr{Z}[1(t)+t+t^2]=\frac{z}{z-1}+\frac{Tz}{(z-1)^2}+\frac{T^2z(z+1)}{(z-1)^3}\]
\[=\frac{z^3+(T^2+T-2)z^2+(T^2-T+1)z}{(z-1)^3}\]
稳态误差为 \(e_{ss}(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})\Phi_e(z)R(z)=\infty\)
7-20 已知系统结构图如图 7-20 所示，试求当 \(r(t)=1(t)\) 和 \(r(t)=5t\) 时的稳态误差，其中采样周期 \(T=1\)。
解 开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}\mathscr{Z}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-sT}}{s(s+1)}\right]=\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\right]\]
\[=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-T}}=\frac{0.632z}{(z-1)(z-0.368)}\]