\[f\left(A\right)=A^{n}+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots+a_{1}A^{1}+a_{0}I=0\]
所以有 \(A^{n}=-a_{n-1}A^{n-1}-a_{n-2}A^{n-2}-\ldots-a_{1}A^{1}-a_{0}I\)
在 \(e^{At}\) 定义中，用上述的方法可以消去 \(A\) 的 \(n\) 及 \(n\) 以上的幂次项。
因此
\[e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\ldots+\frac{1}{n!}A^{n}t^{n}+\ldots=\alpha_{n-1}\left(t\right)A^{n-1}+\alpha_{n-2}\left(t\right)A^{n-2}+\ldots+\alpha_{1}\left(t\right)A+\alpha_{0}\left(t\right)I\]
25、简述李雅普诺夫第一法判断系统稳定性的基本思路
李雅普诺夫第一法又称间接法，是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。
26、\(\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx\)，用全维状态观测器实现状态反馈，简述其系统闭环的状态方程以及闭环极点设计可分离性。
解析：对 \(\dot{x}=Ax+Bu,y=cx\)，用全维状态观测器实现状态反馈为
其系统闭环的状态方程
\[\begin{bmatrix}\dot{x}\\\dot{\hat{x}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&BK\\GC&A-GC+BK\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\\hat{x}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B\\B\end{bmatrix}v \ , \quad y=\begin{bmatrix}C&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\\hat{x}\end{bmatrix}\]
闭环极点设计的分离性：设状态估计误差 \(\tilde{x}=x-\hat{x}\)，引入等效变换：
$$\begin{bmatrix}x\\tilde{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I&0\I&-I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\hat{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\x-\hat{x}\end{bmatrix} \ ,\ 令变换矩阵为：T=\begin{bmatrix}I&0\I&-I\end{bmatrix} \ ，则 T^{-1}=T \ 。变换后系统