(4) 由于系统传递函数的分子、分母不存在零极点对消,故系统可控可观。另由于
\[G(s) = \dfrac{1}{s^3+9s^2+27s+27}\]
则系统的可控标准型最小实现为
\[\dot{\boldsymbol{x}}_c = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -27 & -27 & -9 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u, \qquad y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c\]
可观测标准型最小实现为可控标准型最小实现的对偶形式
\[\dot{\boldsymbol{x}}_o = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -27 \\ 1 & 0 & -27 \\ 0 & 1 & -9 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}_o + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}u, \qquad y = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}_o\]
最后利用下列 MATLAB 程序,并调用可控标准型实现函数 normal_control 和可观测标准型实现函数 normal_obsver 验证,可知上述结果正确。
MATLAB 程序:exe906.m
num1=conv([1 -1],[1 2]);den1=conv(conv([1 1],[1 -2]),[1 3]);
[A,B,C,D]=tf2ss(num1,den1);
%求系统的可控标准型实现
[A1,B1,C1,P1]=normal_control(A,B,C,D)
%求系统的可观标准型实现
[A2,B2,C2,P2]=normal_obsver(A,B,C,D)
9-7 已知系统的传递函数列向量
(1) \(\boldsymbol{g}(s) = \left[ \dfrac{1}{s+1} \quad \dfrac{1}{s+2} \quad \dfrac{1}{s+3} \right]^{\mathrm{T}}\); (2) \(\boldsymbol{g}(s) = \left[ 1 \quad \dfrac{s}{s^2-1} \quad \dfrac{1}{s-1} \right]^{\mathrm{T}}\);
(3) \(\boldsymbol{g}(s) = \left[ \dfrac{1}{s} \quad 0 \quad \dfrac{-1}{s^2+1} \right]^{\mathrm{T}}\); (4) \(\boldsymbol{g}(s) = \left[ \dfrac{1}{s^2+1} \quad \dfrac{1}{s^2-1} \right]^{\mathrm{T}}\)。
试求系统可控标准型实现。
解 (1) 引入中间变量 \(Z\),使得
\[\boldsymbol{g}(s) = \dfrac{Y(s)Z(s)}{Z(s)U(s)} = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)(s+3)}\begin{bmatrix} (s+2)(s+3) \\ (s+1)(s+3) \\ (s+1)(s+2) \end{bmatrix}\]
\[= \dfrac{1}{s^3+6s^2+11s+6}\begin{bmatrix} s^2+5s+6 \\ s^2+4s+3 \\ s^2+3s+2 \end{bmatrix}\]
令
\[\dfrac{Z(s)}{U(s)} = \dfrac{1}{s^3+6s^2+11s+6}, \qquad \dfrac{Y(s)}{Z(s)} = \begin{bmatrix} s^2+5s+6 \\ s^2+4s+3 \\ s^2+3s+2 \end{bmatrix}\]
选择 \(x_1=z, x_2=\dot{z}, x_3=\ddot{z}\),则可得可控标准型实现为
\[\dot{\boldsymbol{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -11 & -6 \end{bmatrix}\boldsymbol{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u, \qquad \boldsymbol{y} = \begin{bmatrix} 6 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}\boldsymbol{x}
\]
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