因为
\[\mathrm{rank}[\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{Ab}]=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-5 & 25\\ 1 & -5\end{bmatrix}=1<2\]
\[\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{c}\\ \boldsymbol{cA}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}1 & -1\\ -5 & 5\end{bmatrix}=1<2\]
所以系统不可控且不可观测。
解2 传递函数描述
\[G(s)=\boldsymbol{c}(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\boldsymbol{b}+d=[1\quad -1]\begin{bmatrix}s+4 & -5\\ -1 & s\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}-5\\ 1\end{bmatrix}+1\]
\[=[1\quad -1]\begin{bmatrix}\dfrac{s}{s^{2}+4s-5} & \dfrac{5}{s^{2}+4s-5}\\[2ex] \dfrac{1}{s^{2}+4s-5} & \dfrac{s+4}{s^{2}+4s-5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-5\\ 1\end{bmatrix}+1\]
\[=\dfrac{(s-1)^{2}}{(s-1)(s+5)}=\dfrac{s-1}{s+5}\]
所得传递函数可以简约,因出现了\(s\)右半平面的零极点相消,成为一阶系统,所以,系统不可控且不可观测。
传递函数描述,只表征了系统可控且可观测的部分,因此具有不完全性。
9-68 某单位负反馈位置随动系统,其控制系统的开环传递函数为\(G_{0}(s)=\dfrac{9}{s(s+2)}\)。
(1) 试确定反馈增益向量\(\boldsymbol{k}\),使其状态反馈系统具有阻尼比\(\zeta=0.707\),无阻尼自然振荡频率\(\omega_{n}=20\);(2) 若用输出反馈能否达到上述控制效果?
解 (1) 确定状态反馈增益量\(\boldsymbol{k}\)。
系统闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\dfrac{9}{s^{2}+2s+9}\]
其可控标准型实现为
\[\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -9 & -2\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{c}=[9\quad 0]\]
而期望闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\dfrac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}=\dfrac{400}{s^{2}+28.28s+400}\]
期望闭环极点为
\[\lambda_{1,2}=-\zeta\omega_{n}\pm\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1}=-14.14\pm j14.14\]
由于系统可控,故可用状态反馈进行极点配置。令状态反馈增益向量\(\boldsymbol{k}=[k_{1}\quad k_{2}]\),则闭环系统矩阵
\[\overline{\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{bk}=\begin{bmatrix}0 & 1\\ k_{1}-9 & k_{2}-2\end{bmatrix}\]
闭环特征多项式为
\[|\lambda\boldsymbol{I}-\overline{\boldsymbol{A}}|=\lambda^{2}+(2-k_{2})\lambda+(9-k_{1})\]
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