(4) 由于被控系统\((A,b,c)\)完全可控可观测,因此利用全维状态观测器的估计值进行状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行,互不影响,满足分离特性。对于带全维观测器的系统,写成复合形式为
\[
\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{\hat{x}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & -bk \\ hc & A-bk-hc \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ \hat{x} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b \\ b \end{bmatrix} v
\]
\[
= \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & -99 & -56 & -12 \\
10.5 & 10.5 & 10.5 & -9.5 & -8.5 & -10.5 \\
6.25 & 6.25 & 6.25 & -3.25 & -7.25 & -5.25 \\
-4.75 & -4.75 & -4.75 & -94.25 & -49.25 & -7.25
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \hat{x}_1 \\ \hat{x}_2 \\ \hat{x}_3 \end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} v
\]
对于复合系统,由于原系统完全可控可观测,因此复合系统的特征值是由状态反馈子系统和全维观测器的特征值组成,且两部分的特征值相互独立,彼此不受影响。故该复合系统的极点为\(-3,-4,-5,-3,-4,-5\)。
9-38 试确定下列二次型函数的定号性:
(1) \(V(\boldsymbol{x})=2x_1^2+3x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_1x_3\);
(2) \(V(\boldsymbol{x})=8x_1^2+2x_2^2+x_3^2-8x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3\);
(3) \(V(\boldsymbol{x})=-x_1^2+2x_3^2-2x_1x_2+6x_2x_3\);
(4) \(V(\boldsymbol{x})=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+2x_1x_2-6x_2x_3-2x_1x_3\);
(5) \(V(\boldsymbol{x})=-x_1^2-4x_2^2-4x_3^2+4x_1x_3\)。
解 (1) 写出二次型函数的向量-矩阵形式
\[
V(\boldsymbol{x}) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}
= \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}
\]
由于\(\boldsymbol{P}\)的顺序主子式为
\[
\Delta_1 = 2 > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 5 > 0, \quad \Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 > 0
\]
所以\(V(\boldsymbol{x})\)正定。
(2) 写出二次型函数的向量-矩阵形式
\[
V(\boldsymbol{x}) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 8 & -4 & 1 \\ -4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}
= \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}
\]
由于\(\boldsymbol{P}\)的顺序主子式为
\[
\Delta_1 = 8 > 0, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} 8 & -4 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = 0, \quad \Delta_3 = \begin{vmatrix} 8 & -4 & 1 \\ -4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -4 < 0
\]
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