有 $\(e_{ss}(\infty)=\infty\)$
又解 对 \(E(s)\) 在零初始条件下进行拉普拉斯反变换,可得
\[e(t)=T\cdot \dot r(t)-T^2\cdot \ddot r(t)+T^3\cdot \dddot r(t)-T^4\cdot r^{(4)}(t)+\cdots\]
当 \(r(t)=t^2/2\) 时,显然有
\[\dot r(t)=t,\qquad \ddot r(t)=1,\qquad \dddot r(t)=r^{(4)}(t)=\cdots=0\]
将上述各式代入 \(e(t)\) 的表达式,可得
\[e_{ss}(t)=Tt-T^2=T(t-T)\]
故系统的稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{t\to\infty}e_{ss}(t)=\lim_{t\to\infty}T(t-T)=\infty\]
当 \(r(t)=\sin 2t\) 时,显然有
\[\dot r(t)=2\cos 2t,\qquad \ddot r(t)=-2^2\sin 2t,\qquad \dddot r(t)=-2^3\cos 2t,\qquad r^{(4)}(t)=2^4\sin 2t\]
将上述各式代入 \(e(t)\) 的表达式,可得稳态误差
\[
\begin{aligned}
e_{ss}(t) &= T\cdot(2\cos 2t)-T^2\cdot(-2^2\sin 2t)+T^3\cdot(-2^3\cos 2t)-T^4\cdot(2^4\sin 2t)+\cdots \\
&= \cos 2t\left[2T-(2T)^3+(2T)^5-\cdots\right]+\sin 2t\left[(2T)^2-(2T)^4+(2T)^6-\cdots\right] \\
&= \frac{2T}{1+4T^2}\cos 2t+\frac{4T^2}{1+4T^2}\sin 2t=\frac{2T}{\sqrt{1+4T^2}}\sin\left(2t+\arctan\frac{1}{2T}\right)
\end{aligned}
\]
又解
\[e_{ss}(t)=(C_0-C_2\omega_0^2+C_4\omega_0^4-\cdots)\sin\omega_0 t+(C_1\omega_0-C_3\omega_0^3+C_5\omega_0^5-\cdots)\cos\omega_0 t\]
代入 \(C_i\ (i=0,1,2,\cdots)\) 及 \(\omega_0=2\) ,得
\[
\begin{aligned}
e_{ss}(t) &= \left[(2T)^2-(2T)^4+(2T)^6-\cdots\right]\sin 2t+\left[2T-(2T)^3+(2T)^5-\cdots\right]\cos 2t \\
&= \frac{4T^2}{1+4T^2}\sin 2t+\frac{2T}{1+4T^2}\cos 2t=\frac{2T}{\sqrt{1+4T^2}}\sin\left(2t+\arctan\frac{1}{2T}\right)
\end{aligned}
\]
3-21 设舰船消摆系统如图 3-12 所示,其中 \(n(t)\) 为海涛力矩产生,且所有参数中除 \(K_1\) 外均为已知正值。如果 \(n(t)=10°\times 1(t)\) ,试求确保稳态误差值 \(|e_{ss}(\infty)|\leqslant 0.1°\) 的 \(K_1\) 值( \(e(t)\) 在输入端定义)。
图 3-12 舰船消摆系统结构图
解 根据图 3-12 可知系统的特征方程为
\[D(s)=(1/\omega_n^2)s^2+(2\zeta/\omega_n)s+1+K_1K_2=0\]
由赫尔维茨判据可知,系统特征方程中 \(n=2\) 且各项系数为正,因此系统是稳定的。
由图 3-12 可知,舰船消摆系统为一负反馈系统,且在扰动 \(N(s)\) 作用下,其前向通道传递函数为