9-6 已知系统传递函数
(1) \(G(s)=\dfrac{(s-1)(s+2)}{(s+1)(s-2)(s+3)}\)； (2) \(G(s)=\dfrac{2s^3+s^2+7s}{s^4+3s^3+5s^2+4s}\)；
(3) \(G(s)=\dfrac{3s^3+s^2+s+1}{s^3+1}\)； (4) \(G(s)=\dfrac{1}{(s+3)^3}\)。
试写出系统可控标准型和可观测标准型最小实现。
解 (1) 由于系统传递函数的分子、分母不存在零极点对消，故系统可控可观。另由于
\[G(s)=\frac{s^2+s-2}{s^3+2s^2-5s-6}\]
则系统的可控标准型最小实现为
\[\dot{\boldsymbol{x}}_c=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\6&5&-2\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u,\qquad y=\begin{bmatrix}-2&1&1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c\]
可观测标准型最小实现为可控标准型最小实现的对偶形式
\[\dot{\boldsymbol{x}}_o=\begin{bmatrix}0&0&6\\1&0&5\\0&1&-2\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_o+\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}u,\qquad y=\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_o\]
(2) 由于传递函数的分子、分母存在零极点对消，故系统不完全可控可观测，因此，最小实现的传递函数为
\[G(s)=\frac{2s^2+s+7}{s^3+3s^2+5s+4}\]
则系统的可控标准型最小实现为
\[\dot{\boldsymbol{x}}_c=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-4&-5&-3\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u,\qquad y=\begin{bmatrix}7&1&2\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c\]
可观测标准型最小实现为可控标准型最小实现的对偶形式
\[\dot{\boldsymbol{x}}_o=\begin{bmatrix}0&0&-4\\1&0&-5\\0&1&-3\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_o+\begin{bmatrix}7\\1\\2\end{bmatrix}u,\qquad y=\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_o\]
(3) 由于系统传递函数的分子、分母不存在零极点对消，故系统可控可观。另由于
\[G(s)=3+\frac{s^2+s-2}{s^3+1}\]
则系统的可控标准型最小实现为
\[\dot{\boldsymbol{x}}_c=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u,\qquad y=\begin{bmatrix}-2&1&1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c+3u\]
可观测标准型最小实现为可控标准型最小实现的对偶形式
\[\dot{\boldsymbol{x}}_o=\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_o+\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}u,\qquad y=\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_o+3u\]
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