行拉普拉斯变换。
应当指出,在物理上可以实现的信号,总是可以进行拉普拉斯变换的。
2) 指数函数
考虑下列指数函数:
\[f(t)=\begin{cases}0, & t<0 \\ A\mathrm{e}^{-\alpha t}, & t\geqslant 0\end{cases}\]
式中,\(A\) 和 \(\alpha\) 为常数,则指数函数的拉普拉斯变换可以求得如下:
\[F(s)=\int_0^{\infty} A\mathrm{e}^{-\alpha t}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{A}{s+\alpha}\]
3) 阶跃函数
考虑下列阶跃函数:
\[f(t)=\begin{cases}0, & t<0 \\ A, & t>0\end{cases}\]
式中,\(A\) 为常数,当 \(A=1(t)\) 时,则为单位阶跃函数。
阶跃函数的拉普拉斯变换为
\[F(s)=\int_0^{\infty} A\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{A}{s}\]
4) 斜坡函数
考虑下列斜坡函数:
\[f(t)=\begin{cases}0, & t<0 \\ At, & t\geqslant 0\end{cases}\]
式中,\(A\) 为常数。
斜坡函数的拉普拉斯变换为
\[F(s)=\int_0^{\infty} At\,\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=At\frac{\mathrm{e}^{-st}}{-s}\Big|_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\frac{A\mathrm{e}^{-st}}{-s}\mathrm{d}t\]
\[=\frac{A}{s}\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t=\frac{A}{s^2}\]
5) 正弦函数
考虑下列正弦函数:
\[f(t)=\begin{cases}0, & t<0 \\ A\sin\omega t, & t\geqslant 0\end{cases}\]
式中,\(A\) 和 \(\omega\) 为常数。由于
\[\sin\omega t=\frac{1}{2\mathrm{j}}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t})\]
故正弦函数的拉普拉斯变换为
\[F(s)=\mathscr{L}[A\sin\omega t]=\frac{A}{2\mathrm{j}}\int_0^{\infty}(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t})\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\]
\[=\frac{A}{2\mathrm{j}}\Big(\frac{1}{s-\mathrm{j}\omega}-\frac{1}{s+\mathrm{j}\omega}\Big)=\frac{A\omega}{s^2+\omega^2}\]
类似地,\(A\cos\omega t\) 的拉普拉斯变换可导出为
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