第九章 线性系统的状态空间分析与综合
9-1 设电网络如图9-1(a)、(b)、(c)所示,其中 \(u\) 为系统的输入,试列写系统的状态方程式。
图9-1 电网络电路图
(1) 图9-1(a)中 \(u\) 为电流源,状态变量取
\[x_1 = i_L, \quad x_2 = v_C\]
(2) 图9-1(b)中 \(u\) 为电压源,状态变量取
\[x_1 = v_C, \quad x_2 = i_1, \quad x_3 = i_2\]
(3) 图9-1(c)中 \(u_1, u_2\) 均为电压源,选取各电容器两端的电压(自左至右)为状态变量。
解 (1) 取状态变量 \(x_1 = i_L, x_2 = v_C\),根据电路定律可列写方程
\[\begin{cases} u = i_L + C\dfrac{\mathrm{d}v_C}{\mathrm{d}t} \\ R_1 i_L + L\dfrac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t} = v_C + R_2 C\dfrac{\mathrm{d}v_C}{\mathrm{d}t} \end{cases}\]
经整理后得
\[\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{R_1+R_2}{L} i_L + \dfrac{1}{L} v_C + \dfrac{R_2}{L} u \\ \dfrac{\mathrm{d}v_C}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{1}{C} i_L + \dfrac{1}{C} u \end{cases}\]