题型模块（练做题）

题型⑦:非线性系统(描述函数法)

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写在最前面

这是七类题型的最后一类,也是很多人一看就想跳过的一类——因为"非线性"三个字听着就像深水区。

我先说结论:这类题是七类里"套路最死"的之一。 它的计算量通常比根轨迹、比校正都小,难的不是算,是你得先明白那两条曲线在干什么。只要那层窗户纸捅破了,后面就是三行计算的事。

按老规矩:先给你看要拿下的真题,再补做它需要的最小基础,再手把手做一遍,最后你自己做一道。

1. 先看目标:今天要拿下的这道真题

北方工业大学 851《自动控制原理》真题第七大题(15分) (来源见文件顶部;这套扫描卷未标年份,所以我不编年份)

已知非线性系统如图所示,其中非线性环节的描述函数为 $$N(A)=1+\frac{4M}{\pi A},\qquad M=5,\ A>0$$ 线性部分 $G(s)=\dfrac{0.5}{s(s^{2}+s+1)}$ (1) 画出线性部分的 Nyquist 曲线; (2) 判断该系统是否存在自激振荡,稳定性如何; (3) 如果有稳定的自激振荡,求输出点 $c(t)$ 的振荡频率和振幅。

题目里那张"如图所示"的结构图,原扫描件是清晰可读的,我核对过,长这样:

真题结构图:单位负反馈,非线性环节 NL 串联线性部分 G(s)

怕图打不开,我再用文字把它描一遍(和上图完全一致):

 r(t) ──→(+ ⊗ −)──e(t)──→[  NL  ]──u(t)──→[  G(s)  ]──c(t)──→
             ↑                                        │
             └────────────────────────────────────────┘

读法:输入 $r(t)$ 进来,和反馈回来的输出 $c(t)$ 相减(那个圆圈里的 $+$、$-$ 就是"做减法"的意思,叫比较环节),差值叫误差 $e(t)$;$e(t)$ 先进非线性环节 NL(nonlinear 的缩写),它的输出 $u(t)$ 再进线性部分 $G(s)$,得到输出 $c(t)$;$c(t)$ 原封不动绕回去做减法——这叫单位负反馈("单位"=反馈通道上不加任何东西,直接把输出拿回来)。

这个结构是本类题的标准长相,几乎年年一样。 你以后看到"非线性系统如图",默认就是这个:一个非线性块 + 一个线性块 + 单位负反馈。

现在题干里"描述函数""自激振荡"你八成都不认识。没关系,那正是第 3 节要补的。看完第 3、4 节回来,这题会变小很多。

2. 这类题到底在考什么

一句话:给你一个非线性环节(或它的描述函数)和一个线性传递函数,问你这个系统会不会自己抖起来;如果会,抖多大、抖多快。

"自己抖起来"的专业说法叫自激振荡(简称自振)。"抖多大"=振幅 $A$,"抖多快"=频率 $\omega$。

考点材料里怎么说的(如实引用,不是我编的):

26 考点分析 p007「(八)非线性控制系统分析」第 1 条原话:「非线性:本质上还是奈奎斯特,加了非线性的图像……自振基本上年年考,求幅值和频率。」第 2 条:「23、25 都考察了求出稳定区域和非稳定区域,还有特定点的稳定性。」
26 考点分析 p009 的题型表 T9 一栏写的是:「非线性判断是否存在周期震荡、稳定区域和不稳定区特定点的稳定性(直接给出 G(jω) 和负倒描述函数的图像)」,旁边有高亮标注「非线性求特定点的稳定性和振幅」。
考点分析 p001 把「非线性」列进了常考大题清单。

所以这类题的两种出法你都要有准备:

出法甲(本模块主攻):给公式,让你自己算——给 $N(A)$ 和 $G(s)$,你自己求交点、判稳、求 $A$ 和 $\omega$。
出法乙:直接给图——把 $G(j\omega)$ 曲线和 $-\dfrac{1}{N(A)}$ 曲线画好摆在你面前,问你:有几个交点?哪个是自振点?哪块区域是稳定区?某个指定交点稳不稳?

为什么本模块主攻甲:因为会甲就自动会乙。乙不用算,只用"看图判断",而看图靠的正是甲里那一套判据。反过来只会乙的人,遇到甲就傻眼。所以我们从难的那头进。乙我在第 4 步和第 7 节专门给你把"看图"的动作单独拎出来练。

【顺带说清,免得你以为第 8 章就这一种题】 大纲(考点分析 p003 第八章)要求还包括相平面法。它是另一套方法,不在本模块的解题套路里,我在第 7 节末尾单独给了一段"是什么、考到什么程度"。这里明说:不是我漏了,是故意分开,因为把两套方法混着讲,零基础必崩。

3. 做这道题需要的最小基础

这一节只补这道题真用得上的东西。第 8 章还有一堆内容(各种非线性的波形推导、傅里叶级数怎么积出描述函数、多重非线性的串并联规则……),这道题一个都用不到,我会在第 7 节明确告诉你被略掉的是哪些、要不要管,不让你以为"第 8 章就这么点东西"。

3.1 先搞清:非线性是什么,为什么前七章的工具全废了

线性这个词,在这门课里有个非常具体的含义,不是"图像是直线"这么随便。一个环节是线性的,意思是它满足叠加性:

输入放大 2 倍,输出也正好放大 2 倍(齐次性);
两个输入一起加进去,输出等于各自输出之和(可加性)。

大白话:线性 = "老老实实按比例来,不看你输入多大"。

非线性就是不满足这条的。举几个你身边就有的:

理想继电器(继电器 = 一种"到点就啪嗒一下切换"的电器开关):输入只要是正的,输出就是 $+M$;输入只要是负的,输出就是 $-M$。你输入 0.001 还是 1000,输出都是 $+M$——完全不按比例。
饱和:放大器输入小的时候按比例放大,输入一大就顶到天花板不再涨了(音响开到最大再拧也不响了)。
死区(也叫不灵敏区):输入太小时输出干脆是 0(方向盘有一点点旷量,轻轻动不转向)。

这三个,PPT 第 8.1 节都作为典型非线性列了(见 PPT 幻灯片 9 及前后)。

为什么这一下就把前七章全废了?

因为你前七章学的每一件武器,地基都是叠加性:

传递函数:定义就是"输出的拉氏变换 ÷ 输入的拉氏变换,与输入大小无关"。非线性环节里,输入大小一变,"放大倍数"就变了,你根本写不出一个固定的 $G(s)$。
劳斯判据、根轨迹、Nyquist、Bode:全都是拿传递函数的分母(特征方程)开刀的。传递函数都不存在了,它们自然全部失效。
更要命的是"稳定"这个词的含义也变了。PPT 幻灯片 4 原话:「非线性系统不存在整个系统是否稳定的笼统概念;故其稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而且与运动的初始条件、输入信号有直接关系。」大白话:线性系统稳不稳是系统自己的属性,与你给多大输入无关;非线性系统可能"小信号进去稳、大信号进去就发散"。

【你可能会以为】 非线性只是"稍微复杂一点的线性",凑合用线性方法也差不多。 但其实不行,因为非线性会带来线性系统根本不可能有的现象。最典型的就是下面这个"自振"——线性系统只有在临界稳定这种千钧一发的情况下才能出现等幅振荡,一碰就散;非线性系统能稳稳地吐出一个固定振幅、固定频率的振荡,你踹它一脚它还自己回来。这不是"复杂一点",这是另一种物种。(依据:PPT 幻灯片 6)

【向前串】 第 1 讲讲过"线性是这门课的分水岭"——前七章能有那么漂亮的工具,全靠"线性"这个前提。第 8 章就是分水岭的另一侧。第 2 章那个"小偏差线性化"(把非线性在工作点附近近似成直线)是另一条应付非线性的路,但它只在"小范围波动"时才成立;本章要处理的是继电器这种大范围、根本没法线性化的家伙。

3.2 自激振荡(自振)是什么,为什么现实里危险

自激振荡:系统在没有任何外界周期性输入的情况下,自己产生的、振幅和频率都固定的持续等幅振荡。

拆开读:

没有外界周期输入:你没给它任何来回摆动的信号,甚至输入 $r(t)=0$,它自己抖。
等幅:不像正常系统那样越抖越小最后停下,也不是越抖越大直到炸掉,而是一直保持同样的幅度抖下去。
振幅和频率由系统自己决定(PPT 幻灯片 6 原话:「其振幅和频率由系统本身的特性所决定」)——这正是为什么题目能"求"出 $A$ 和 $\omega$:它们不是你输入进去的,是系统结构算出来的。

现实里为什么危险:想象一个用继电器控温的锅炉——温度低了就"啪"打开加热,高了就"啪"关掉。结果温度永远在设定值上下来回荡,继电器永远在啪嗒啪嗒响。后果是:执行机构反复动作、机械磨损、耗能(PPT 幻灯片 6 原话:「通常,不希望出现自激振荡,因为消耗大」),精度也永远达不到。飞机舵机、雷达随动天线出现自振,轻则抖动,重则结构疲劳。

【但也别一棍子打死】 PPT 同一页还说:「但有时高频、小幅度的振动可以用来克服摩擦、间隙等非线性因素给系统带来的不利影响。」意思是:故意加一点小幅高频抖动,可以让卡住的机构"活"起来(就像拧不动的螺丝敲两下)。所以考试里问"自振一定要消除吗",答案不是无脑"是"。

【难点·这里最容易假懂】 "自振稳定"这句话读起来自相矛盾——振荡还能叫稳定? 难在哪:你前七章学的"稳定"= 振荡会衰减到零。这里的"稳定"换了对象。正确理解:这里说的是这个振荡本身稳不稳——我踹它一下让振幅变大一点,它会自己回到原来的振幅吗?会回来 = 稳定的自振(能长期存在,你在示波器上真能看到它);回不来、反而越跑越远 = 不稳定的自振(数学上算得出这个点,现实里根本维持不住,一碰就没)。 考试就爱考这个区别,第 4 步会给你判别方法。

3.3 描述函数 $N(A)$ 是什么:核心思想(这一小节是全模块的心脏)

问题很清楚了:非线性环节写不出传递函数,那还怎么用前七章的图形工具?

描述函数法的思路是耍了一个"近似的赖":既然非线性环节的"放大倍数"会随输入幅度变,那我就不再假装它是个固定增益,而是把它当成一个"随输入幅度 $A$ 变化的等效增益",记作 $N(A)$。

再具体一点:

给非线性环节输入一个正弦波 $x(t)=A\sin\omega t$($A$ 是这个正弦波的幅值,即最高点的高度;$\omega$ 是角频率,即抖多快)。
非线性环节把它糟蹋成一个变形的波(继电器会把正弦波削成方波)。这个变形的波不再是正弦波,但它仍然是周期的,可以拆成"一个和输入同频率的正弦波(叫基波)+ 一堆频率是它 2 倍、3 倍…的小波(叫高次谐波)"。

【补课】"基波/谐波":任何周期性的波形都能拆成一系列正弦波之和(这叫傅里叶级数)。其中频率和原信号相同的那一个叫基波,通常个头最大;频率是 2 倍、3 倍的叫二次、三次谐波,通常个头小。类比:一根琴弦发出的音里,决定音高的是基频,决定音色的是那些泛音。

把高次谐波直接扔掉,只留基波。然后定义:

\[N(A)=\frac{\text{输出基波分量}}{\text{输入正弦量}}\quad(\text{复数比})\]

这个公式在说什么(大白话):输出的基波比输入大多少倍、相位差多少——就当作这个非线性环节的"等效放大倍数"。

每个符号是什么: - $A$:输入正弦波的幅值。注意 $N$ 是 $A$ 的函数、通常和频率 $\omega$ 无关(PPT 幻灯片 35 明确写了继电型特性的描述函数「和输入信号的频率无关,只是输入信号幅值的复数值函数」)。这是本类题能算的关键。 - $N(A)$:一般是个复数(既有大小、又有相角),因为输出基波可能相对输入有相位滞后。有些非线性(理想继电器、饱和、死区)算出来是纯实数,那就只有"放大多少倍",没有相位偏移——本模块主例题就是这种,最好算。

怎么用:有了 $N(A)$,那个非线性块就被你换成了一个"增益块",整个系统在你眼里就变回了熟悉的线性结构:一个增益 $N(A)$ 串一个 $G(j\omega)$、单位负反馈。于是第 5 章的 Nyquist 判据可以搬过来用了。PPT 幻灯片 42 原话:「利用描述函数法分析非线性系统,主要是将线性系统的奈氏稳定判据推广应用到非线性系统中。」

【你可能会以为】 $N(A)$ 是个"精确的等效"。 但其实它是近似的,因为我们把高次谐波扔了。这就是为什么真题的判断题里会出现「描述函数法提供了一种精确、定量分析非线性系统响应和特性的方法」这种说法,并被判错(来源:真题文件 06-14真题__扫描全能王_2024-07-10_13.13_047.md 选项 C,原卷有红笔叉号)。描述函数法是近似方法,这是送分的判断/选择题考点,别答反。

【难点】用它是有前提的,不是随便哪个系统都能用。 PPT 幻灯片 18-19 列了四条: 1. 系统的线性部分和非线性环节可以分离(能画成"NL 块 + G 块"串起来的样子——所以题目才总给你那张图); 2. 非线性特性奇对称(即 $f(-x)=-f(x)$,图像关于原点对称)。这样正弦输入下输出里不含恒定分量(不会整体往上或往下偏); 3. 非线性部分输出中基波分量最强(不然你把谐波扔了就错得离谱); 4. 线性部分应具有良好的低通滤波特性(低通 = 让低频过、把高频压下去)。因为高次谐波频率高,只要 $G$ 把它们滤掉,"扔掉谐波"这个近似才站得住。

第 4 条最爱考:为什么线性部分要低通? 因为它替你把谐波滤了,近似才成立。也正因如此,$G$ 的低通性越好、这个方法算得越准——2025 年真题就问过「用描述函数法分析非线性系统稳定性时,分析准确度高的系统是( )」(来源:真题文件北方工业大学2025年真题-BUFF控制考研_扫描版_p002.md),答的就是这条。

这道题的运气在于:题目直接把 $N(A)$ 给你了,你不用自己去积分推导。851 的大题绝大多数都直接给 $N(A)$(看过的几套真题全是给的:$N(A)=1+\frac{4M}{\pi A}$、$N(A)=e^{-j\pi/4}/A$、滞环继电器的那个长公式,都是题干直接给)。所以你不必会推描述函数,会用就行——推导那部分(PPT 幻灯片 20-37 的傅里叶级数积分)本模块不展开,明确告诉你:那是理解性内容,不是本题型的动作。

3.4 负倒描述函数 $-\dfrac{1}{N(A)}$:这条曲线是怎么冒出来的

这是本类题里那条要跟 $G(j\omega)$ 打交道的曲线。它不是天上掉下来的,是推出来的,我带你推一遍——就三步,只用到小学移项。

把非线性块看成增益 $N(A)$、后面串 $G(j\omega)$、单位负反馈。回忆第 5 章:这种结构的闭环特征方程是"1 + 开环 = 0"。这里开环就是 $N(A)G(j\omega)$,所以:

\[1+N(A)G(j\omega)=0\]

【补课】"特征方程"和"1+开环=0":闭环传递函数的分母 = $1+$ 开环传递函数。让分母 = 0 的那些点决定系统的稳定性,所以把分母写成方程 $1+\text{开环}=0$,叫特征方程。这个你在第 3、4、5 章都用过。

移项,两边同除 $N(A)$:

\[N(A)G(j\omega)=-1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}}\]

(依据:PPT 幻灯片 43,原式一致。)

这个式子在说什么:如果存在某个幅值 $A$ 和某个频率 $\omega$,让左边这个复数($G$ 在频率 $\omega$ 处的值)正好等于右边这个复数($-1/N$ 在幅值 $A$ 处的值),那这个系统就能自己维持一个等幅振荡。

几何上怎么理解——这是本类题的全部诀窍:

$G(j\omega)$ 让 $\omega$ 从 0 变到 $\infty$,在复平面上画出一条曲线,就是你第 5 章画过的 Nyquist 曲线(幅相曲线)。
$-\dfrac{1}{N(A)}$ 让 $A$ 从 0 变到 $\infty$,在同一个复平面上也画出一条曲线,叫负倒描述函数曲线("负倒"= 取负、取倒数)。
两条曲线的交点,就是上面那个方程的解。交点处 $G$ 曲线对应的那个 $\omega$ = 振荡频率;交点处 $-1/N$ 曲线对应的那个 $A$ = 振荡振幅。

交点 = 可能的等幅振荡点。没有交点 = 不可能自振。 这一句就是本类题的骨架。

【为什么是 $-1/N$ 而不是别的】 你在第 5 章判线性系统稳定,盯的是复平面上那个固定的点 $(-1, j0)$。现在增益不再固定,而是随 $A$ 变的 $N(A)$,于是"那个临界点"也不再是一个点,而摊开成了一整条曲线。$-1/N(A)$ 就是"会走路的 $-1$ 点"。PPT 幻灯片 43 就是这么说的:用 $-\frac{1}{N(A)}$ 取代可变增益情形下的 $-\frac{1}{K}$。记住这个类比,整章都通了。

【符号约定,别搞混】 不同资料里非线性环节输入幅值有时写 $A$、有时写 $X$。851 真题两种都出现过(本模块主例题用 $A$,19-21 那道用 $X$)。它们是同一个东西:非线性环节输入正弦波的幅值。看到 $N(X)$ 别慌。

3.5 稳定判据:哪边是"不稳定区域"

有了两条曲线,怎么判稳?PPT 幻灯片 44、48 给了两句话,我逐句翻译:

第一句(总判据,幻灯片 44):「当线性部分 $G(s)$ 的所有极点均分布在 s 左半平面,若 $G(j\omega)$ 不包围 $-\dfrac{1}{N(A)}$ 曲线,则闭环系统是稳定的;否则不稳定。」

翻译:这就是第 5 章 Nyquist 判据的原话,只是把"不包围 $-1$ 点"换成了"不包围 $-1/N$ 这条曲线"。

第二句(划区域,幻灯片 48):「复平面上将 $G(j\omega)$ 曲线包围的区域视为不稳定区域,曲线不包围的区域视为稳定区域。」

这句是本类题判自振稳定性的操作口诀,一定要背下来:

\[\boxed{\text{被 }G(j\omega)\text{ 曲线围住的地盘 = 不稳定区域;围不住的地盘 = 稳定区域}}\]

【难点·"包围"到底怎么看】 零基础在这里最容易卡:一条曲线怎么就"包围"某块地方? 实用判法(考试够用):对一个开环稳定、Nyquist 曲线与负实轴有交点的常见系统,交点把负实轴分成两段。记住这个操作性结论:交点到原点之间那一段(即离原点更近的那侧),属于被包围的不稳定区域;交点再往外(离原点更远)那一段,属于没被包围的稳定区域。 为什么可以这么记(讲原理,不让你死背):把临界点想成 $-1/K$。$-1/K$ 离原点越近,意味着 $K$ 越大;开环增益越大越容易不稳定。所以靠原点的一侧对应"增益太大"=不稳定区,这和你第 5 章学的"增益裕度"完全是一回事。这个结论对本模块所有例题和绝大多数 851 真题都适用。但要诚实说清边界:如果 $G$ 曲线形状怪(多次穿越负实轴、或开环本身不稳定),就得回到"绕不绕 $-1$、绕几圈"的完整 Nyquist 判据去数。遇到那种题,回第 5 章的模块。

第三句(判自振稳不稳,幻灯片 48):「当交点位于负倒描述函数曲线沿振幅增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时,该交点对应的振荡为自激振荡。反之,该交点的振荡不能维持。」

这句是本类题的杀手锏,拆成大白话的判别动作:

先在 $-1/N(A)$ 曲线上标一个箭头,指向 $A$ 增大的方向(注意:$G$ 曲线上的箭头指 $\omega$ 增大方向,两条箭头含义不同,别搞混,真题考过这个判断题,见后面第 7 节的坑)。
站在交点上,沿箭头方向往前走一小步(即"扰动让振幅稍微变大了一点"):
如果走进了稳定区域 → 振荡会衰减 → 振幅自己降回来 → 回到交点;再往回走一小步(振幅变小),它进的是不稳定区域 → 振荡增长 → 振幅又涨回交点。两边都往回收 = 这个交点稳得住 = 稳定的自激振荡。
如果沿箭头往前走进了不稳定区域 → 振幅越来越大、一去不回 → 这个交点维持不住 = 不稳定的周期运动(数学上存在,现实中看不到)。

记忆口诀:沿 A 增大方向,"从乱进稳"= 真自振(稳定);"从稳进乱"= 假的(维持不住)。

【难点·为什么"进入稳定区就说明振荡稳"】 这里的逻辑绕了一层,慢慢走: 振幅被扰动变大 → 工作点沿 $-1/N$ 曲线挪到新位置 → 这个新位置如果落在稳定区域,意思是"以这个新的等效增益来看,系统是收敛的" → 收敛意味着振荡幅度会往下掉 → 幅度掉了,工作点又沿曲线挪回交点。是"系统自己把振幅拉回来",所以叫这个振荡稳定。 卡在这里很正常。实在绕不过来,先把口诀和操作步骤背熟、会做题,过一阵子回头再想这层因果,通常就通了。

3.6 典型非线性的描述函数:只补这道题用到的

PPT 8.2.2 一节列了饱和、死区、间隙、各种继电型……全列出来只会吓到你,而且本题一个都不用推。这里只给你851 真题真正反复出现的那几个,并且明说来源:

(1) 理想继电型特性(输入正就输出 $+M$、输入负就输出 $-M$,没有死区也没有滞环):

\[N(X)=\frac{4M}{\pi X}\]

(据 PPT 第8章幻灯片 37,符号沿用 PPT 的写法。$M$ 是继电器输出的那个固定幅值,$X$ 是输入正弦幅值。)

这个式子在说什么:等效增益 $\dfrac{4M}{\pi X}$ 随输入幅值 $X$ 变大而变小——很好理解:继电器输出永远只有 $\pm M$ 那么大,你输入越大,"放大倍数"自然越小。它是个纯实数(没有 $j$),说明理想继电器不产生相位滞后。

于是 $-\dfrac{1}{N(X)}=-\dfrac{\pi X}{4M}$:当 $X$ 从 0 增到 $\infty$ 时,这个值从 $0$ 一路向左跑到 $-\infty$,是负实轴上从原点出发向左的一整条射线。第 6 节的变式题就用它。

(2) 三位置理想继电型(带死区):$N(X)=\dfrac{4M}{\pi X}\sqrt{1-\left(\dfrac{h}{X}\right)^{2}},\ (X\ge h)$,$h$ 是死区宽度。(据 PPT 第8章幻灯片 37,$m=1$ 的情形。)

(3) 带滞环的两位置继电型:$N(X)=\dfrac{4M}{\pi X}\sqrt{1-\left(\dfrac{h}{X}\right)^{2}}-j\dfrac{4Mh}{\pi X^{2}}$。(据 PPT 第8章幻灯片 37,$m=-1$ 的情形;19-21 真题第四题给的就是这个,那里用 $h$ 表示滞环参数。)注意它带 $j$,是复数,说明滞环会引入相位滞后,于是 $-1/N$ 就不再待在实轴上,而是跑到复平面里去了——那种题要难一档。

本模块主例题给的 $N(A)=1+\dfrac{4M}{\pi A}$ 是什么? 它是"理想继电器 $\frac{4M}{\pi A}$" 并联一个"增益为 1 的比例通道"的结果(PPT 幻灯片 42 前后讲过:并联的非线性特性,其描述函数等于两者描述函数之和)。你不需要自己推它——题目直接给了。你只要认出:它是纯实数、且随 $A$ 增大而单调减小,这就够了。

【铁律五交代:被我略掉的是什么】 PPT 8.2 节里的饱和特性描述函数(幻灯片 32)、间隙特性(幻灯片 33)、以及各描述函数的傅里叶积分推导(幻灯片 20-31)、多重非线性的串并联规则(幻灯片 38-41),本模块没展开。原因:851 大题一律直接给 $N(A)$,不要求现场推;但"串联非线性的描述函数绝不等于两个描述函数的乘积"(PPT 幻灯片 38 原话)这条常出判断题,顺手记住。想系统看这些,回第 8 章讲解笔记。

4. 套路:五步拿下(记死这五步)

不管题目怎么变,动作固定就这五步:

第一步 · 写出 $-\dfrac{1}{N(A)}$,搞清它是一条什么样的曲线、往哪个方向走。 把题给的 $N(A)$ 取倒数再取负。然后问自己两件事:(a) 它是纯实数(在实轴上)还是复数(在平面里)?(b) 当 $A$ 从 0 变到 $\infty$,它从哪儿走到哪儿?这就是那条"会走路的 $-1$ 点"的轨迹和箭头方向。
第二步 · 求 $G(j\omega)$ 与负实轴的交点。 两种等价算法,任选:
算法甲(令虚部为零):把 $G(j\omega)$ 通分整理成"实部 + j 虚部",令虚部 = 0,解出 $\omega$,回代求实部。
算法乙(令相角为 $-180^\circ$):写出相角表达式,令其 $=-180^\circ$,解出 $\omega$,再算模值。官方答案用的就是乙。这个 $\omega$ 一般记作 $\omega_x$(穿越频率),交点坐标记作 $(\mathrm{Re},\,0)$。
第三步 · 判断有没有交点(即有没有等幅振荡)。 看第一步那条曲线的走向,会不会碰上第二步算出的那个点。若 $-1/N$ 在负实轴上、而它扫过的范围盖住了 $\mathrm{Re}$,就有交点;盖不住就无自振。
第四步 · 判交点稳不稳(用 3.5 的口诀)。 沿 $-1/N$ 曲线 $A$ 增大的方向走一小步:进的是稳定区(离原点更远那侧) → 稳定自振;进的是不稳定区(靠原点那侧) → 维持不住。
第五步 · 求振幅和频率,收工。 $\omega$ 就是第二步算出来的那个 $\omega_x$;$A$ 由方程 $-\dfrac{1}{N(A)}=\mathrm{Re}$ 解出来。

出法乙(题目直接给图)怎么办:第二步不用算了(交点图上就有),你只需要做第一、四步的判断动作:认出哪条是 $G$、哪条是 $-1/N$,看清 $-1/N$ 上 $A$ 增大的箭头方向,再对每个交点套第四步的口诀。所以说会甲就会乙。

5. 例题手把手:就用开场那道真题

已知非线性系统为单位负反馈,前向通路上非线性环节 NL 串联线性部分 $G(s)$。 $N(A)=1+\dfrac{4M}{\pi A}$,$M=5$,$A>0$;$G(s)=\dfrac{0.5}{s(s^{2}+s+1)}$。 (1) 画 Nyquist 曲线;(2) 有无自振、稳定性如何;(3) 求 $c(t)$ 的振荡频率和振幅。

第一步:写出 $-\dfrac{1}{N(A)}$,看清它是条什么曲线

先把 $M=5$ 代进去:

\[N(A)=1+\frac{4\times 5}{\pi A}=1+\frac{20}{\pi A}\]

取负倒数:

\[-\frac{1}{N(A)}=-\cfrac{1}{1+\cfrac{20}{\pi A}}\]

它是纯实数(整个式子里没有 $j$),所以这条曲线完全落在实轴上。再看它随 $A$ 怎么走(把两端代进去):

$A\to 0^{+}$ 时:$\dfrac{20}{\pi A}\to+\infty$,所以 $N(A)\to+\infty$,于是 $-\dfrac{1}{N(A)}\to 0^{-}$ ——从原点左边紧挨着原点的位置出发。
$A\to +\infty$ 时:$\dfrac{20}{\pi A}\to 0$,所以 $N(A)\to 1$,于是 $-\dfrac{1}{N(A)}\to -1$ ——走到 $-1$ 点。
中间是连续单调的(分母 $1+\frac{20}{\pi A}$ 随 $A$ 增大而单调减小,所以 $-1/N$ 单调向左)。

结论:$-\dfrac{1}{N(A)}$ 是负实轴上从 $0$ 到 $-1$ 的一条线段,$A$ 增大的方向是"从 0 往 $-1$ 走",即向左。

官方答案这一句写的是:「$A$ 从 0 到无穷时,$-\dfrac{1}{N(A)}: 0\to -1$」——和我们算的完全一致(来源见文件顶部答案文件)。

为什么先做这步:这条曲线的范围决定了"有没有可能自振"(第三步),它的方向决定了"自振稳不稳"(第四步)。两个关键判断都靠它,所以第一步必须先钉死它。

第二步:求 $G(j\omega)$ 与负实轴的交点

\[G(s)=\frac{0.5}{s(s^{2}+s+1)}\ \Longrightarrow\ G(j\omega)=\frac{0.5}{j\omega\left((j\omega)^{2}+j\omega+1\right)}\]

【补课】怎么从 $G(s)$ 得到 $G(j\omega)$:把 $s$ 换成 $j\omega$ 就行。这是第 5 章频域分析的基本动作:$s=j\omega$ 代表"只看系统对频率为 $\omega$ 的正弦信号的反应"。其中 $j$ 是虚数单位,$j^{2}=-1$。

算法甲(令虚部为零)——我推荐你用这个,不用背相角公式:

先化简分母。用 $(j\omega)^{2}=-\omega^{2}$:

\[(j\omega)^{2}+j\omega+1=1-\omega^{2}+j\omega\]

再乘上前面的 $j\omega$:

\[j\omega\left(1-\omega^{2}+j\omega\right)=j\omega(1-\omega^{2})+j^{2}\omega^{2}=-\omega^{2}+j\,\omega(1-\omega^{2})\]

所以

\[G(j\omega)=\frac{0.5}{-\omega^{2}+j\,\omega(1-\omega^{2})}\]

要让 $G(j\omega)$ 落在负实轴上,就要它没有虚部。 分子是实数 0.5,所以只要分母是纯实数即可,也就是分母的虚部为零:

\[\omega(1-\omega^{2})=0\]

解得 $\omega=0$ 或 $\omega=1$($\omega=-1$ 舍去,频率取正)。$\omega=0$ 对应曲线起点(那里 $G$ 是无穷大,不是我们要的交点),所以穿越负实轴的频率是:

\[\omega_x=1\ \text{rad/s}\]

回代求交点坐标:此时分母 $=-\omega^{2}=-1$,于是

\[G(j1)=\frac{0.5}{-1}=-0.5\]

交点在 $(-0.5,\ j0)$。

算法乙(官方答案的写法,给你对照):官方答案写的是 $$-90^{\circ}-\arctan\frac{\omega_x}{1-\omega_x^{2}}=-180^{\circ}\ \Rightarrow\ \omega_x=1\ \Rightarrow\ \mathrm{Re}=-0.5$$ (前面的 $-90^\circ$ 来自分母里那个 $s$,即积分环节固定贡献 $-90^\circ$;后面那项是二阶环节 $s^2+s+1$ 贡献的相角。)

【存疑·待核】 我们手上这份 OCR 的官方答案里这一项印成了 $\arctan\dfrac{\omega_x^{2}}{1-\omega_x^{2}}$(分子是 $\omega_x^2$)。按二阶环节 $1-\omega^2+j\omega$ 的相角定义,分子应为 $\omega_x$,分母为 $1-\omega_x^{2}$,疑为扫描/识别误差。好在两种写法在 $\omega_x=1$ 处都给出同样的解($1-\omega_x^2=0$ 时反正切为 $90^\circ$),最终结果 $\omega_x=1$、$\mathrm{Re}=-0.5$ 不受影响。建议你考试用算法甲,不涉及这个争议,也不用背相角公式。

(1) 问要求的 Nyquist 曲线,画出来是这样的(关键信息是起点、终点、和负实轴的交点):

                  Im
                   ↑
                   |
  ─────●───────────┼─────────→ Re
    -1   -0.5      0
         (ω=1 处穿越负实轴)

  · ω→0⁺ :幅值 → ∞,曲线从第三象限无穷远处下来(相角 -90°)
  · ω=1  :穿过负实轴于 -0.5  ← 唯一要算的关键点
  · ω→∞  :幅值 → 0,曲线收进原点(相角 -270°)

官方答案在这一问只写了「相角范围:$-90^{\circ}\to-270^{\circ}$」加上穿越点计算,再配一张手绘图。考试时你画个示意图、标清楚 $-0.5$ 这个穿越点和箭头方向($\omega$ 增大方向),就足够拿分——阅卷看的是关键点对不对,不是画得美不美。

【补课】相角从 $-90^\circ$ 到 $-270^\circ$ 怎么来的:$G$ 的分母有三个因子。$s$ 这一个(叫积分环节)在任何频率都贡献 $-90^\circ$;二阶因子 $s^{2}+s+1$ 的相角从 $0^\circ$($\omega=0$)变到 $-180^\circ$($\omega\to\infty$)。加起来就是 $-90^\circ \to -270^\circ$。这解释了曲线为什么会横穿负实轴($-180^\circ$ 方向)一次。

第三步:判断有没有交点(有没有等幅振荡)

$-\dfrac{1}{N(A)}$ 覆盖的范围:负实轴上的 $(-1,\ 0)$ 这一段(第一步得到)。
$G(j\omega)$ 与负实轴的交点:$-0.5$(第二步得到)。

$-0.5$ 落在 $(-1,\,0)$ 这段区间里 → 两条曲线有交点 → 系统存在等幅振荡(周期运动)。

为什么这步不能省:如果题目里的 $G$ 穿越点是 $-2$(在 $-1$ 左边),两条曲线就碰不上,答案就是"不存在自振"。真题里 20 分那道大题(99-05 卷第六题)问的就是「为使系统不产生自振,试用描述函数法确定继电器特性参数 $a$、$b$ 的值」——本质就是反过来要求两条曲线不相交。所以"有没有交点"这一步是真会被单独考的。

第四步:判交点稳不稳

沿 $-\dfrac{1}{N(A)}$ 曲线 $A$ 增大的方向(第一步已确定:从 0 向 $-1$,即向左)走一小步:

交点在 $-0.5$。向左走 → 到达 $-0.6$、$-0.7$……这些点离原点更远,按 3.5 的口诀属于 $G$ 曲线没围住的稳定区域 → 振荡衰减 → 振幅降回来 → 工作点退回 $-0.5$。
反过来,扰动让 $A$ 变小 → 工作点向右挪到 $-0.4$、$-0.3$……这些点靠原点更近,属于被围住的不稳定区域 → 振荡增长 → 振幅涨回来 → 工作点又回到 $-0.5$。

两边都往回收 → 这是稳定的自激振荡。

官方答案这一问的原话就四个字:「稳定自振」。(考试要拿满分,建议把上面这段"扰动变大→进稳定区→收回来"的推理写一两句,阅卷老师看的就是你懂不懂判据,光写结论有风险。)

第五步:求振幅和频率

频率:就是第二步的穿越频率

\[\omega=1\ \text{rad/s}\]

振幅:令 $-\dfrac{1}{N(A)}$ 等于交点坐标 $-0.5$:

\[-\frac{1}{N(A)}=-0.5\ \Longrightarrow\ N(A)=2\]

代入 $N(A)=1+\dfrac{20}{\pi A}$:

\[1+\frac{20}{\pi A}=2\ \Longrightarrow\ \frac{20}{\pi A}=1\ \Longrightarrow\ A=\frac{20}{\pi}\approx 6.37\]

最终答案:系统存在稳定的自激振荡,振荡频率 $\omega=1\ \text{rad/s}$,振幅 $A=\dfrac{20}{\pi}\approx 6.37$。

官方答案写的是:「$\mathrm{Re}=-0.5=-\dfrac{1}{N(A)}\Rightarrow A=6.37,\ \omega=1$」——完全对上。

【难点·这个 $A$ 到底是谁的振幅?一个真会扣分的坑】 题目第 (3) 问问的是「输出点 $c(t)$ 的振荡频率和振幅」。而我们算出来的 $A$,严格说是非线性环节输入端(也就是误差 $e(t)$)的正弦幅值——因为描述函数的定义里,$A$ 是"输入非线性环节的那个正弦波的幅值"。本题按官方答案直接以 $A=6.37$ 作答。但你要知道这两者原则上不是一回事:若要严格求 $c(t)$ 的幅值,需再乘上从该点到输出的幅值增益。考试怎么办:按官方答案的口径写 $A=6.37$(这是本校的评分口径),同时心里清楚 $A$ 的定义是"非线性环节输入幅值"。有些年份题目就直接问"自振的振幅",那就更没有歧义了。标一句 【存疑·待核】:此处口径差异我依据的是本校官方答案的写法,不是我自己推的规矩。

停一下,回头看第 1 节那道题。 15 分的大题,你刚刚做完了。真正的计算只有:通分令虚部为零(解出 $\omega=1$)、代回求 $-0.5$、解一个一元一次方程(得 $A=20/\pi$)。难的从来不是算,是知道要算什么。

6. 你来做:一道变式题(带详细答案)

练习题(自编,仿真题难度——特此说明:这道题是我按 851 真题同等难度和同一结构自己编的,不是任何一年的真题原题,别当真题记。)

某非线性系统为单位负反馈,前向通路上非线性环节串联线性部分(结构与第 1 节那张图完全相同)。非线性环节为理想继电器,输出幅值 $M=1$,其描述函数为 $$N(A)=\frac{4M}{\pi A}=\frac{4}{\pi A}$$ 线性部分 $G(s)=\dfrac{10}{s(s+1)(s+2)}$。

(1) 求 $G(j\omega)$ 与负实轴的交点; (2) 判断系统是否存在自激振荡,若存在,判断其稳定性; (3) 若存在稳定自振,求振荡频率 $\omega$ 和振幅 $A$。

先自己拿笔做,再看答案。卡住了对照下面回看:

不知道 $-1/N$ 怎么写、往哪走? → 回看 3.4 节 + 第 5 节第一步。
不会求与负实轴交点? → 回看 第 5 节第二步的"算法甲"(通分、令虚部为零)。
不知道怎么判稳? → 回看 3.5 节的口诀 + 第 5 节第四步。
复数乘法算不动? → 只用两条:$j^{2}=-1$;实部虚部各自归堆。

详细答案:

第一步(写 $-1/N$ 并定方向):

\[-\frac{1}{N(A)}=-\frac{1}{\dfrac{4}{\pi A}}=-\frac{\pi A}{4}\]

纯实数,在负实轴上。$A$ 从 $0\to\infty$ 时,它从 $0$ 一路向左跑到 $-\infty$。所以:它是负实轴上从原点向左的整条射线,$A$ 增大方向 = 向左。

第二步(求交点): 把 $s$ 换成 $j\omega$,先化简分母:

\[(j\omega+1)(j\omega+2)=(j\omega)^{2}+3j\omega+2=-\omega^{2}+2+3j\omega=(2-\omega^{2})+3j\omega\]

再乘 $j\omega$:

\[j\omega\left[(2-\omega^{2})+3j\omega\right]=j\omega(2-\omega^{2})+3j^{2}\omega^{2}=-3\omega^{2}+j\,\omega(2-\omega^{2})\]

于是

\[G(j\omega)=\frac{10}{-3\omega^{2}+j\,\omega(2-\omega^{2})}\]

令分母虚部为零:$\omega(2-\omega^{2})=0\Rightarrow \omega=0$ 或 $\omega=\sqrt{2}$。取

\[\omega_x=\sqrt{2}\approx 1.414\ \text{rad/s}\]

回代:分母 $=-3\omega^{2}=-3\times 2=-6$,所以

\[G(j\sqrt{2})=\frac{10}{-6}=-\frac{5}{3}\approx-1.667\]

交点在 $\left(-\dfrac{5}{3},\ j0\right)$。

第三步(有无交点): $-\dfrac{\pi A}{4}$ 扫过整条负实轴(从 0 到 $-\infty$),必然经过 $-\dfrac{5}{3}$ → 有交点 → 存在等幅振荡。 (理想继电器的 $-1/N$ 覆盖整条负实轴,所以只要 $G$ 穿越负实轴就一定有交点。这就是 PPT 幻灯片 9 说的「继电器特性往往会造成系统自激振荡」的道理。)

第四步(判稳): 沿 $A$ 增大方向(向左)从交点 $-\dfrac{5}{3}$ 走一小步 → 到 $-1.8$、$-2$……离原点更远 → 属于 $G$ 曲线没围住的稳定区域 → 振荡衰减 → 振幅退回来。反过来 $A$ 变小 → 向右到 $-1.5$、$-1.2$…… → 靠原点、被围住的不稳定区域 → 振荡增长 → 振幅涨回来。 两边都往回收 → 稳定的自激振荡。

第五步(求 $\omega$ 和 $A$): 频率:$\omega=\sqrt{2}\approx 1.41\ \text{rad/s}$。振幅:令 $-\dfrac{\pi A}{4}=-\dfrac{5}{3}$,得

\[\frac{\pi A}{4}=\frac{5}{3}\ \Longrightarrow\ A=\frac{20}{3\pi}\approx 2.12\]

最终答案:存在稳定自激振荡,$\omega=\sqrt{2}\approx1.41\ \text{rad/s}$,$A=\dfrac{20}{3\pi}\approx 2.12$。

做对了吗? 只要你写出了 $\omega=\sqrt{2}$、$A=\dfrac{20}{3\pi}$ 并判出"稳定自振",你就独立做出这类题了。做错的话,90% 的错在三处:(a) 通分时 $j^{2}=-1$ 漏了负号,分母实部虚部串了;(b) $-1/N$ 忘了取"负"或忘了取"倒",方向就反了,后面判稳全错;(c) 判稳时把箭头方向搞成 $\omega$ 增大方向了($-1/N$ 上的箭头是 $A$ 增大方向)。

想再练一道真的?(进阶,难一档)

北方工业大学 851 真题第六大题(20分)(来源:文件见顶部;纯文字题干,无图,可放心做) 某单位反馈系统,其前向通路中有一描述函数 $N(A)=\dfrac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{A}$ 的非线性元件,线性部分传递函数 $G(s)=\dfrac{15}{s(0.5s+1)}$。试用描述函数法确定系统是否存在自振,若有,求出振幅和频率。

这道难在哪(先给你打预防针):它的 $N(A)$ 是复数($e^{-j\pi/4}$ 表示"大小为 1、相角为 $-45^{\circ}$"),所以 $-1/N(A)$ 不在实轴上,而是复平面里的一条斜射线。你不能再用"求负实轴交点"那招,得改成"让两条曲线的模相等、相角也相等"。做不出来很正常,先做上面那道自编的。

【补课】$e^{-j\pi/4}$ 怎么读:这是复数的指数形式,$e^{j\theta}$ 表示"模为 1、相角为 $\theta$ 的复数"。$-\dfrac{\pi}{4}$ 弧度 $=-45^{\circ}$。所以 $N(A)=\dfrac{1}{A}\angle-45^{\circ}$:模是 $\dfrac{1}{A}$,相角是 $-45^{\circ}$。

解答提要(我的推算,不是官方答案,请自行复核):

\[-\frac{1}{N(A)}=-\frac{A}{e^{-j\pi/4}}=-A\,e^{j\pi/4}=A\angle(180^{\circ}+45^{\circ})=A\angle 225^{\circ}=A\angle-135^{\circ}\]

即:模 $=A$、相角固定为 $-135^{\circ}$ 的一条射线($A$ 增大 = 沿射线往外跑)。

要相交,就要 $G(j\omega)$ 的相角也等于 $-135^{\circ}$: $$\angle G(j\omega)=-90^{\circ}-\arctan(0.5\omega)=-135^{\circ}\ \Rightarrow\ \arctan(0.5\omega)=45^{\circ}\ \Rightarrow\ 0.5\omega=1\ \Rightarrow\ \omega=2\ \text{rad/s}$$

再让模相等: $$|G(j2)|=\frac{15}{2\sqrt{1+(0.5\times2)^{2}}}=\frac{15}{2\sqrt{2}}\approx 5.30=A$$

答案:存在自振,$\omega=2\ \text{rad/s}$,$A=\dfrac{15}{2\sqrt2}\approx5.30$。(这一小题未找到配套官方答案,以上是我按标准方法推的,数值请你自己复核一遍——不是官方答案,别当标准答案背。)

7. 收尾:你刚做出了 851 里"年年考"的那一类大题

认真说一句:你刚才做出来的,是一道 15 分的真题(而且结论和官方答案逐项对上),外加一道同难度练习、一道 20 分进阶题的提要。考点材料原话是「自振基本上年年考,求幅值和频率」——你现在有这个动作了。

而且回头看,这类题的实际计算量:通分一次、解一个二次方程、解一个一元一次方程。比根轨迹画图小,比校正设计小。"非线性"这三个字的恐吓值,远大于它的实际难度——这是本模块最想让你带走的一句。

这类题在真题里还怎么考(常见变形)

变形一:直接给图(考点分析 p009 T9 明确写了 23、25 年是这种)。不用算交点,考你看图判断:哪个交点是自振点、哪块是稳定区、指定交点稳不稳、以及读出该点的 $A$ 和 $\omega$。动作 = 本模块第四步。
变形二:反着问"如何不产生自振"。如 99-05 真题第六大题(20分):「为使系统不产生自振,试用描述函数法确定继电器特性参数 $a$、$b$ 的值,简略画出 $-1/N(X)$ 和 $G(j\omega)$ 曲线」。思路:让两条曲线不相交,由此反解参数范围。
变形三:给定指标反求参数。如 19-21 真题第四题:要求自振频率 $\omega\ge 20$ rad/s、振幅 $\le 0.7$,问继电器滞环参数 $h$ 该怎么取。思路:先按本模块五步把 $\omega$、$A$ 表示成 $h$ 的函数,再解不等式。
变形四:选择/判断/简答小题。高频考点(以下每条都能在真题文件里找到原句):
「描述函数法提供了一种精确、定量分析非线性系统响应和特性的方法」→ 错,它是近似方法。
「描述函数法可以分析非线性系统的稳定性、快速性和准确性」→ 错,它只管稳定性和自振,不管快速性/准确性(动态性能)。
「$G(j\omega)$ 图上的箭头方向表示 $\omega$ 增加的方向;$-\dfrac{1}{N(A)}$ 的箭头表示相角增加的方向」→ 错,后者是 $A$(振幅)增加的方向。(原卷旁批写着「A↑」)
「任何一个非线性均可用描述函数表示」→ 错,要满足 3.3 节那四个前提。
「描述函数是非线性环节的近似等效频率特性,主要用来分析在无外作用下非线性系统等幅振荡的稳定性问题」→ 对。
「串联非线性特性的描述函数等于两个描述函数的乘积」→ 错(PPT 幻灯片 38 明确否定);而并联的确实等于两者之和。

最容易丢分的四个坑

$-1/N$ 忘了取负或忘了取倒。写成 $1/N$ 或 $-N$,曲线方向全反,判稳必错。动作:先写 $N$,再翻过来,再添负号,分两步做。
两条曲线的箭头含义搞混。$G$ 上的箭头 = $\omega$ 增大方向;$-1/N$ 上的箭头 = $A$ 增大方向。判自振稳定性用的是后者。这是真题判断题的原题考点。
判稳方向记反。口诀再说一遍:沿 $A$ 增大方向,"从不稳定区进入稳定区"= 稳定自振;反之维持不住。原理锚点:靠原点一侧 = 等效增益大 = 不稳定区。
复数通分时把 $j^{2}=-1$ 漏了。这是本类题唯一的计算陷阱,分母算错则 $\omega$、$A$ 全错。算完可以拿 $\omega$ 代回去验一下虚部是不是真的为零。

关于相平面法(大纲要求,但不是本模块的套路)

诚实交代:大纲(考点分析 p003 第八章)明确要求「掌握利用相平面法分析非线性系统的基本思想及其应用」,所以它不是可以完全无视的东西。但从我看到的真题看,非线性大题的主流出法是描述函数(考点分析 p007、p009 描述的都是描述函数/自振/看图),所以这里只给你"是什么"和"考到什么程度",不展开成解题套路——这是取舍,不是遗漏。

相平面法是什么(据 PPT 第8章幻灯片 51-52,原文要点转述):

它是求解一阶、二阶常微分方程的图解法,是时域分析法在非线性系统里的推广。适用对象是一、二阶系统(高阶就画不了了,这是它最大的局限)。
相平面:横坐标取 $x(t)$(比如位置),纵坐标取 $\dot{x}(t)$(它的变化率,比如速度)的一个平面。
相点:平面上的一个点 $[x(t),\dot{x}(t)]$,代表系统在某一时刻的状态。
相轨迹:沿时间增加方向把相点连起来的曲线。平面上时间是隐含的(图上看不到 $t$,靠轨迹上的箭头表示时间往哪走)——这是初学最容易懵的一点。
会用它看什么:系统的运动形式、平衡位置、初始条件对运动的影响。轨迹收敛到原点 = 运动衰减到零;轨迹形成一个孤立的封闭圈(叫极限环)= 存在等幅振荡——极限环就是相平面语言里的"自振",和描述函数法里那个交点说的是同一件事,只是换了张图看。
常用画法叫等倾线法(等倾线 = 相平面内相轨迹斜率相同的点的连线)。本模块不展开画法,要练就去第 8 章讲解笔记。

建议的投入:先把描述函数这条线练熟(它是大题分数所在),相平面保证能答简答/概念题(什么是相平面、相轨迹、极限环、时间为什么是隐含的、适用于几阶系统)。

知识地图

第1讲: "线性"是分水岭 ─┐
                       │
第2章: 传递函数 ────────┤ 全都建立在【叠加性】上
第3章: 时域/劳斯 ───────┤        │
第4章: 根轨迹 ──────────┤        │ 非线性一来 → 全部失效
第5章: Nyquist/Bode ────┘        ↓
                          第8章: 非线性系统
                                 │
              ┌──────────────────┴──────────────────┐
              │                                      │
      描述函数法(本模块主攻)                  相平面法(一、二阶)
              │                                      │
   把非线性 ≈ 变增益 N(A)                    在 [x, ẋ] 平面画相轨迹
              │                                      │
   借用第5章 Nyquist 判据                      收敛到原点 / 极限环
              │                                      │
   G(jω) 与 -1/N(A) 求交点 ←── 交点=等幅振荡 ──→ 极限环
              │                                （同一件事的两种画法）
      ┌───────┴────────┐
   有无交点          交点稳不稳
   (有无自振)   (沿A增大方向 乱→稳 = 稳定自振)
      └───────┬────────┘
              ↓
        求出 ω 和 A(年年考)

向前串:本章的 $-1/N(A)$ 就是第 5 章那个临界点 $-1$ 的推广("会走路的 $-1$ 点");求 $G(j\omega)$ 与负实轴交点这个动作,和第 5 章算相角裕度/幅值裕度用的是同一套计算。第 5 章练得越熟,这一章越省力。

向后串:851 里第 8 章通常是最后一道大题,不再往后串;但"非线性"这个视角会在你以后学现代控制、鲁棒控制时继续出现。

横向串:第 2 章的"小偏差线性化"是应付非线性的另一条路(小范围近似成直线),本章的描述函数是大范围近似成变增益——两者都是"用线性的办法对付非线性",只是近似的方式和适用范围不同。想清楚这一点,第 2 章那个当时觉得莫名其妙的知识点,现在就有位置了。

自测(戳穿假懂版)

某系统 $-\dfrac{1}{N(A)}$ 是负实轴上从 $0$ 到 $-0.3$ 的线段($A$ 增大方向向左),而 $G(j\omega)$ 与负实轴交于 $-0.8$。系统有没有自振? 答案要点:没有。$-0.8$ 不在 $[-0.3,\,0]$ 这段范围内,两条曲线没有交点,方程无解。 答错说明:你把"求出穿越点"当成了"一定有自振",跳过了套路第三步。
交点处,沿 $-1/N$ 曲线 $A$ 增大的方向走,进入了靠近原点的那一侧。这个交点是稳定自振吗? 答案要点:不是。靠原点一侧是被 $G$ 围住的不稳定区域,振幅会继续增大、一去不回,这个周期运动维持不住。 答错说明:口诀记反了。锚点:靠原点 = 等效增益大 = 不稳定。
理想继电器 $N(A)=\dfrac{4M}{\pi A}$。为什么"只要 $G(j\omega)$ 穿越负实轴,这类系统就一定存在等幅振荡"? 答案要点:$-\dfrac{1}{N(A)}=-\dfrac{\pi A}{4M}$ 在 $A$ 从 0 到 $\infty$ 时扫过整条负实轴,所以任何一个负实轴上的穿越点都必被它经过,必有交点。 答错说明:你没有养成"先看 $-1/N$ 覆盖什么范围"的习惯,而这正是套路第一步的意义。
判断:「用描述函数法可以分析非线性系统的稳定性、快速性和准确性。」 答案要点:错。它只用于分析稳定性和自振(有无、稳不稳、$A$ 与 $\omega$),不能分析快速性和准确性这类动态/稳态性能。 答错说明:把它当成万能工具了。它是"近似地判振荡",不是完整的性能分析法。
为什么描述函数法要求线性部分具有良好的低通滤波特性? 答案要点:因为 $N(A)$ 的定义扔掉了输出里的高次谐波,只留基波。只有当线性部分能把这些高频谐波滤掉、使它们传不下去,这个"扔掉"才不影响结果,近似才成立。低通性越好,分析越准。 答错说明:只背了四个前提条件却不知道理由——这正是 2025 年那道选择题("分析准确度高的系统是")要考的东西。
$G(j\omega)$ 曲线上的箭头和 $-\dfrac{1}{N(A)}$ 曲线上的箭头,分别表示什么增大的方向?判自振稳定性时用哪一个? 答案要点:$G$ 上的箭头是 $\omega$(频率)增大方向;$-1/N$ 上的箭头是 $A$(振幅)增大方向。判自振稳定性用后者。 答错说明:这是真题原题级的坑,答错等于第四步整个做不了。

这一模块的骨架(真正要带走的)

非线性让前七章的工具全部失效,因为它们全建立在叠加性上;非线性的稳定性还跟初始条件、输入大小有关。
描述函数 $N(A)$ = 把非线性环节近似成"随输入幅值 $A$ 变化的等效增益"(扔掉高次谐波,所以是近似,不是精确)。
闭环特征方程 $1+N(A)G(j\omega)=0$ 变形为 $G(j\omega)=-\dfrac{1}{N(A)}$;$-1/N(A)$ 就是"会走路的 $-1$ 点"。
两条曲线的交点 = 等幅振荡点;交点处 $G$ 的 $\omega$ = 振荡频率,$-1/N$ 的 $A$ = 振幅。
被 $G$ 围住 = 不稳定区(靠原点侧);沿 $A$ 增大方向"从乱进稳"= 稳定自振。
解题五步:写 $-1/N$ 定方向 → 求 $G$ 与负实轴交点 → 判有无交点 → 判稳 → 解出 $\omega$ 与 $A$。

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自振（自激振荡）描述函数法负倒描述函数曲线相平面法与相轨迹奈奎斯特图（幅相曲线）非线性特性（死区/饱和/间隙/继电）传递函数反馈与闭环控制奈奎斯特稳定判据根轨迹（概念与方程）