第17讲　离散系统的稳态误差、暂态性能，和第七章的三道硬骨头例题

读法建议：这一讲是第七章的后半场 + 总结场。前半场（第16讲）解决的是"离散系统长什么样、怎么建模、稳不稳"；这一讲解决"稳了之后准不准（稳态误差）、过程好不好看（暂态）"，然后用三道例题把整章串起来。 这一讲我标了 11 处【难点】 和 9 处【你可能会以为】。 含金量最高的两块：第 2-4 节的稳态误差（《26北方工业大学专业课考点分析》p007 第 5 条原文说"经常考的一个重点"，p001 又把"离散稳态误差的因素"列为简答题五个常考点之一），和第 8 节那道四问综合大题（p008 的历年表显示 T8 连续三年考离散，且都是"判稳 + 稳态误差"的组合）。 第 0 节不许跳。 这一讲的每个新东西都是"连续系统里那个东西的离散版"。你如果对连续版本已经模糊，离散版本只会变成一堆记不住的符号。所以我先把连续版翻一遍。

0. 开讲前：把要用的旧词全部翻一遍

0.1 你必须还记着的（记不清就停在这一段，别硬撑往下看）

• 稳态误差 \(e(\infty)\)：时间足够长以后，"你要系统去哪"和"系统实际在哪"之间还剩下的那点差。它衡量的是准不准，不是快不快。
• 大白话：你让一辆车稳定停在 100 米处，它最后停在 99.5 米，稳态误差就是 0.5 米。
• 终值定理（连续版）：\(e(\infty)=\lim_{s\to 0}sE(s)\)。
• 【补前置】这式子在说什么：你不用把 \(E(s)\) 反变换回时间函数、再让 \(t\to\infty\)，直接在 \(s\) 域里做一个极限就能得到最终值。 这是拉氏变换最省事的一个技巧。符号含义：\(E(s)\) 是误差信号 \(e(t)\) 的拉氏变换（"误差"的频域身份证），\(s\) 是拉氏变换的复变量，\(s\to 0\) 对应"时间 \(t\to\infty\)"（低频 ↔ 长时间，这是拉氏变换里一条固定的对应关系）。怎么用：把 \(E(s)\) 的表达式写出来，乘个 \(s\)，令 \(s=0\) 代进去。
• 它有使用前提：系统必须稳定。不稳定的系统"最终值"根本不存在（要么发散到无穷，要么永远振荡），你硬套公式会算出一个看起来很正常但完全没意义的数。这个前提在离散系统里同样成立，而且是本讲第一号坑。
• 系统类型（型次）（连续版）：开环传递函数 \(G(s)H(s)\) 里含有多少个 \(\dfrac{1}{s}\) 因子，就是几型系统。
• 【补前置】这里的 \(H(s)\) 是什么：\(G(s)\) 是前向通道（从误差处出发、走向输出的那一路）的传递函数，\(H(s)\) 是反馈通道的传递函数——把输出信号取回来、送到比较点去和输入相减的那一路（典型的是一个传感器，比如测速发电机、热电偶）。两者相乘 \(G(s)H(s)\) 叫开环传递函数："开环"的意思是把反馈的连接断开，信号绕整整一圈所经过的全部环节的乘积。特别地，\(H(s)=1\) 表示输出原样拿回来比较，叫单位反馈，本讲的例题几乎都是这种。离散系统里的 \(H(z)\) 含义完全相同。0 个叫 0 型，1 个叫 Ⅰ 型，2 个叫 Ⅱ 型。
• 【补前置】\(\dfrac{1}{s}\) 在时间域里代表积分器——一个"把输入不停累加起来"的环节。为什么积分器能消灭稳态误差？因为只要还有一丁点误差没消掉，积分器就会持续累加、持续加大控制力，直到误差真正变成零它才停手。所以积分器越多，系统越"较真"，能跟踪的输入越复杂。这是"型次"这个概念的全部物理内涵，不是一个记忆口诀。
• 静态误差系数（连续版）：
• 位置误差系数 \(K_p=\lim_{s\to 0}G(s)H(s)\)，阶跃输入下 \(e(\infty)=\dfrac{1}{1+K_p}\)
• 速度误差系数 \(K_v=\lim_{s\to 0}sG(s)H(s)\)，斜坡输入下 \(e(\infty)=\dfrac{1}{K_v}\)
• 加速度误差系数 \(K_a=\lim_{s\to 0}s^2G(s)H(s)\)，加速度输入下 \(e(\infty)=\dfrac{1}{K_a}\)
• 【补前置】这三个公式共用一套符号，一次说清：\(G(s)H(s)\) 是开环传递函数（见上一条）；\(s\) 是拉氏变换的复变量，\(s\to0\) 对应 \(t\to\infty\)；\(K_p/K_v/K_a\) 三个字母下标分别取自 position（位置）、velocity（速度）、acceleration（加速度），对应的是"输入信号是哪一类"，不是"系统有什么性质"——\(K_v\) 不是"速度"，它是"这个系统跟踪匀速目标的本事有多大"的一个数，越大越准。
• 为什么要乘 \(s\)、乘 \(s^2\)？ 这三个系数不是三条互不相干的规定，而是同一个式子 \(e(\infty)=\lim_{s\to0}\dfrac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}\) 分别代入三种输入的 \(R(s)\)（阶跃 \(\frac1s\)、斜坡 \(\frac{1}{s^2}\)、加速度 \(\frac{1}{s^3}\)）之后化简出来的。输入分母上多一个 \(s\)，化简时就要多提一个 \(s\) 去和它对消，于是系数定义里就多乘一个 \(s\)。这三条不用背，会推。 本讲第 4.2 节的离散版是同一套逻辑的翻译。
• z 平面单位圆：离散系统稳定的分界线。第16讲讲过：\(s\) 平面的左半平面映射到 z 平面单位圆内部，\(s\) 平面的虚轴映射到单位圆本身，右半平面映射到单位圆外部。所有闭环极点都在单位圆内 = 稳定。
• 脉冲传递函数 \(G(z)\)：离散系统的"传递函数"。零初始条件下，输出采样序列的 z 变换除以输入采样序列的 z 变换。
• 根轨迹：开环增益 \(K\) 从 0 变到 \(\infty\) 时，闭环极点在复平面上画出的轨迹。

0.2 这一讲的新词（正文会逐个大白话讲，先扫一眼）

z 域终值定理、离散系统的型次（按 \(z=1\) 极点数）、静态位置/速度/加速度误差系数的离散版、暂态分量、长除法求输出序列、最少拍系统、z 平面根轨迹。

1. 第一号铁律：先判稳，再谈误差

老师这一讲开口第一件事就是强调这个，我把它单独立成一节，因为它是本章送分/送命的分水岭。

要讨论稳态误差，前提条件是系统一定要稳定。

【难点 1】为什么"不稳定就没有稳态误差"，而不是"稳态误差很大"？ - 难在哪：这不是一个"记住就行"的规定，学生容易把它当成老师的口头禅而忽略，考试时直接埋头套公式。 - 为什么难：因为公式本身照样能算出一个数。你把一个不稳定系统的 \(G(z)\) 代进 \(K_v=\lim_{z\to1}(z-1)G(z)\)，它可能给你一个漂漂亮亮的有限值。数学不会报错，只有你自己会错。 - 正确理解："稳态"这个词本身就预设了"系统最后会安定下来"。 不稳定的系统输出要么指数发散、要么振幅越来越大地振荡——它压根没有"最后停在哪儿"这回事。终值定理的成立条件就是终值存在；条件不满足，定理的结论就是垃圾。所以正确的答案不是"\(e(\infty)=\) 某个大数"，而是"系统不稳定，稳态误差不存在（或说无意义）"。

【你可能会以为】不稳定 = 误差无穷大，写 \(e(\infty)=\infty\) 总没错吧？ 但其实：\(e(\infty)=\infty\) 是一个有定义的极限行为（比如 0 型系统跟斜坡，误差确实是单调涨到无穷），而不稳定系统的误差可能是振荡着发散，连"趋于无穷"这个说法都不准确，更别说存在极限了。两者性质不同。考试写"不稳定，不讨论稳态误差"才是满分答案。

做题动作：拿到一道离散题问稳态误差，第一步永远是判稳（极点看是否在单位圆内 / 朱利判据 / 双线性变换 + 劳斯判据，这三招是第16讲的内容）。第 8 节那道综合大题就是活生生的例子——第二问算出不稳定，第四问却问稳态误差，这个"矛盾"本身就是命题人在试探你有没有这根弦。

2. 方法一：z 域终值定理

2.1 公式和它在说什么

据 PPT 幻灯片 57，离散系统的稳态误差可以直接用 z 域终值定理求：

①这式子在说什么：跟连续系统一模一样的套路——不用把 \(E(z)\) 反变换成序列再看它最后跑到哪，直接在 z 域里做个极限就得到最终值。

②每个符号是什么： - \(e^*(t)\)：采样后的误差信号。上标星号 \(^*\) 在这一章里专门表示"这是一串离散的、只在采样时刻 \(0,T,2T,\dots\) 上有值的序列"，不是连续函数。物理意义：数字控制器只在采样时刻"看见"误差，\(e^*(t)\) 就是它看见的那一串数。 - \(E(z)\)：误差序列的 z 变换。 - \(z\)：z 变换的复变量。\(z\to 1\) 对应"时间趋于无穷"。 - \((z-1)\) 这个因子：它是连续系统那个 \(s\) 的离散对应物。

③怎么用：先求出 \(E(z)\)（用误差传递函数乘输入的 z 变换），乘上 \((z-1)\)，令 \(z=1\) 代入。

【难点 2】为什么连续系统乘 \(s\)，离散系统乘 \((z-1)\)？ - 难在哪：这看起来像是硬记的替换规则。 - 正确理解：回到第16讲的映射关系 \(z=e^{sT}\)。连续系统里，"\(t\to\infty\)"对应的是"\(s\to0\)"，也就是 \(s\) 平面上的原点。而原点 \(s=0\) 经过 \(z=e^{sT}\) 映射过去是 \(z=e^0=1\)，也就是 z 平面上单位圆与正实轴的交点。所以 \(s\to0\) 就变成了 \(z\to1\)，而"乘 \(s\)"（即乘"\(s-0\)"）就变成了"乘 \((z-1)\)"。不是硬记，是映射逼出来的。

2.2 那个"\((1-z^{-1})\)"的写法是怎么回事

PPT 幻灯片 57 同时给了第二种写法：

老师在课上解释了这个"两种写法都对"的来由：\((1-z^{-1})=\dfrac{z-1}{z}\)，所以第二个式子比第一个多除了一个 \(z\)。但因为取的是 \(z\to1\) 的极限，\(z\) 本身趋近于 1，除以 1 不改变结果，所以两式等价。

【你可能会以为】\((z-1)\) 和 \((1-z^{-1})\) 差一个 \(z\)，结果肯定不一样。 但其实：在 \(z\to1\) 这个特定极限下它们完全等价。教材、PPT、各种参考书混用这两种写法，看到哪个都别慌，不是印错了。

2.3 \(E(z)\) 从哪来

对单位负反馈的离散系统（反馈通道传递函数为 1，也就是把输出原样拿回来跟输入比），误差传递函数是

于是

• \(R(z)\)：输入信号采样序列的 z 变换（阶跃、斜坡、加速度这三种典型输入的 z 变换要背下来，见 2.4）。
• \(G(z)\)：开环脉冲传递函数。
• \(\dfrac{1}{1+G(z)}\)：跟连续系统的 \(\dfrac{1}{1+G(s)H(s)}\) 是同一个东西的离散版，来由也一样——误差 \(E=R-C\)，而 \(C=G\cdot E\)，代入解出 \(E=\dfrac{R}{1+G}\)。

【难点 3】PPT 幻灯片 57 有一句非常关键但很容易被当成废话的原文："离散系统的误差传递函数要根据闭环系统的具体情况求解"。 - 难在哪：连续系统里 \(\Phi_e=\dfrac{1}{1+GH}\) 是万能公式，闭着眼睛写就行。离散系统里不是。 - 为什么难：第16讲讲过，离散系统的脉冲传递函数取决于采样开关长在哪儿。如果输入 \(r(t)\) 和第一个环节之间没有采样开关隔开，那么 \(R(z)\) 这个东西根本"提不出来"，你只能得到形如 \(RG(z)\) 的整体（读作"\(R\) 和 \(G\) 乘积的 z 变换"），此时闭环脉冲传递函数不存在，误差传递函数也就写不成 \(\dfrac{1}{1+G(z)}\) 的形式。 - 正确理解：先看图上采样开关的位置，再决定能不能用这个公式。《26北方工业大学专业课考点分析》p006 第 2 条明确说"这一块考察求脉冲传递函数，会结合求误差传函考察"——命题人正是在这里挖坑。

3. 离散系统的"型次"：数 \(z=1\) 的极点个数

据 PPT 幻灯片 59：开环脉冲传递函数 \(G(z)\) 含有的 \(z=1\) 极点数决定系统型次。

也就是说，\(G(z)\) 分母里有几个 \((z-1)\) 因子，就是几型系统。

【难点 4】为什么连续系统数 \(\frac{1}{s}\) 的个数，离散系统数 \(\frac{1}{z-1}\) 的个数？这两个是"同一个东西"吗？ - 难在哪：学生会怀疑这只是形式上的类比，心里不踏实。 - 正确理解：还是那个映射。\(s=0\) 是连续系统里积分器的极点位置；\(s=0\) 映射到 z 平面就是 \(z=1\)。所以离散系统里 \(\dfrac{1}{z-1}\) 就是积分器的离散化身。 - 更直观一点：离散的"积分"就是累加。差分方程 \(y(k)=y(k-1)+u(k)\)（这一步的输出 = 上一步的输出 + 这一步的输入，也就是不停往上加）取 z 变换后得到 \(Y(z)=z^{-1}Y(z)+U(z)\)，整理出 \(\dfrac{Y}{U}=\dfrac{1}{1-z^{-1}}=\dfrac{z}{z-1}\)。分母里赫然就是 \((z-1)\)。累加器 = 离散积分器 = \(z=1\) 处的极点，三个说法是一回事。 - 【补前置】"差分方程"是什么？就是微分方程的离散版。微分方程用导数（无限小时间间隔的变化率）描述系统，差分方程用"这一拍和上一拍的差"来描述。\(y(k)\) 表示第 \(k\) 个采样时刻的输出值，\(y(k-1)\) 表示上一个采样时刻的值。

【你可能会以为】数 \(z=1\) 极点时，要看闭环传递函数的分母。 但其实：跟连续系统完全一致，看的是开环 \(G(z)\)。原因也一致——稳态误差公式 \(e(\infty)=\lim(z-1)\dfrac{R(z)}{1+G(z)}\) 里出现的就是开环 \(G(z)\)，是 \(G(z)\) 分母里的 \((z-1)\) 因子跟前面那个 \((z-1)\) 或 \(R(z)\) 分母里的 \((z-1)\) 相消，才决定了极限是 0、有限值还是无穷。 （老师课上口述这句时说的是"闭环传递函数分母中 \(z-1\) 的个数"，与 PPT 幻灯片 59 的"开环脉冲传递函数 \(G(z)\) 含有的 \(z=1\) 极点数"不一致。以 PPT / 教材的"开环"为准，这一点在例题 2 第四问里老师自己也是按开环 \(G(z)\) 数的。）

4. 方法二：静态误差系数法（考试主力）

4.1 三种典型输入的 z 变换（必须背）

在写误差系数之前，先把三个 \(R(z)\) 摆出来，它们是所有推导的原料：

• 【补前置】"单位阶跃"就是"从 0 时刻起，输入突然跳到 1 并一直保持"——相当于你把空调突然设定到某个温度。"单位斜坡"是"输入随时间匀速增长"——相当于你要系统匀速跟踪一个移动目标。"单位加速度"是"输入按 \(t^2\) 增长"——目标还在加速。三者难度递增，所以能跟住的系统型次要求也递增。
• 注意斜坡和加速度的 z 变换里带着采样周期 \(T\)。这就是离散系统稳态误差公式里为什么会冒出 \(T\) 和 \(T^2\) 的根源——不是凭空多出来的。

4.2 三个静态误差系数（据 PPT 幻灯片 60-62）

静态位置误差系数 $\(K_p=\lim_{z\to1}\left[1+G(z)\right],\qquad e(\infty)=\frac{1}{K_p}\)$ - ①在说什么：衡量系统跟踪阶跃输入（"给我停到这个位置"）的本事。\(K_p\) 越大，跟得越准。 - ②符号：\(G(z)\) 是开环脉冲传递函数；极限取 \(z\to1\)，因为那是"时间无穷"对应的点。 - ③怎么用：把 \(G(z)\) 写出来，令 \(z=1\) 代入算 \(1+G(1)\)，再取倒数得稳态误差。

【难点 5】注意这里的 \(K_p\) 定义里带了那个 "\(1+\)"，跟连续系统不一样！ - 连续系统：\(K_p=\lim_{s\to0}G(s)H(s)\)（不含 \(1+\)），误差 \(e(\infty)=\dfrac{1}{1+K_p}\)（分母含 \(1+\)）。 - 离散系统（PPT 幻灯片 60 写法）：\(K_p=\lim_{z\to1}[1+G(z)]\)（含 \(1+\)），误差 \(e(\infty)=\dfrac{1}{K_p}\)（分母不含 \(1+\)）。 - 难在哪：这个 "\(1+\)" 在两套体系里换了个位置，学生极易张冠李戴，把两套公式的一半各取一半，算出错误答案。 - 为什么会这样：其实只是把 \(1+\) 打包进系数里还是留在外面的记法差异，最终 \(e(\infty)=\dfrac{1}{1+G(1)}\) 是唯一的、两套完全一致。老师课上专门说了这一点："如果我把 \(K_p\) 在这里定义为 \(\lim_{z\to1}G(z)\)，那么二者就没有差异了。" - 【应试建议】不要背两套 \(K_p\)。 记住最原始的那一个式子 \(e(\infty)=\lim_{z\to1}\dfrac{(z-1)R(z)}{1+G(z)}\)，把 \(R(z)\) 代进去现推，永远不会错。系数法只是这个式子的三个特例的速记。

静态速度误差系数 $\(K_v=\lim_{z\to1}(z-1)G(z),\qquad e(\infty)=\frac{T}{K_v}\)$ - ①在说什么：衡量系统跟踪斜坡输入（匀速移动目标）的本事。\(K_v\) 越大跟得越准；\(K_v\) 有限则误差有限，\(K_v=\infty\) 则误差为 0。 - ②符号：\(G(z)\) 是开环脉冲传递函数；\((z-1)\) 是"离散版的 \(s\)"（见难点 2）；\(T\) 是采样周期，单位是秒，它是从斜坡输入的 z 变换 \(\dfrac{Tz}{(z-1)^2}\) 分子上带下来的（见难点 6）；\(e(\infty)\) 的单位与输入信号相同。 - ③怎么用：\(G(z)\) 乘上 \((z-1)\)——这一步的作用是把 \(G(z)\) 分母里的一个 \((z-1)\) 消掉——然后令 \(z=1\)。

静态加速度误差系数 $\(K_a=\lim_{z\to1}(z-1)^2G(z),\qquad e(\infty)=\frac{T^2}{K_a}\)$ - ①在说什么：衡量系统跟踪加速度输入（还在加速的目标）的本事，这是三种典型输入里最难跟的一种。 - ②符号：符号含义与上面 \(K_v\) 处完全相同（\(G(z)\) 开环脉冲传递函数、\(T\) 采样周期），唯一的区别是乘的因子变成 \((z-1)^2\)、分子上的 \(T\) 变成 \(T^2\)。 - 为什么这里是 \((z-1)^2\) 而不是 \((z-1)\)？ 不是"因为加速度比速度高一阶"这种口诀，来由在 4.1 的表里：加速度输入的 z 变换是 \(R(z)=\dfrac{T^2z(z+1)}{2(z-1)^3}\)，分母上有三个 \((z-1)\)。把它代进原始式子 \(e(\infty)=\lim_{z\to1}\dfrac{(z-1)R(z)}{1+G(z)}\)，前面那个 \((z-1)\) 先消掉一个，还剩两个 \((z-1)\) 在分母上；要让极限有限，就必须靠 \(G(z)\) 分母里的 \((z-1)\) 去对消这两个——所以定义系数时乘 \((z-1)^2\) 才配得上。\(T^2\) 同样来自 \(R(z)\) 分子上的 \(T^2\)。斜坡那一档 \(R(z)\) 分母是 \((z-1)^2\)，消掉一个剩一个，所以只乘一次 \((z-1)\)、只带一个 \(T\)——完全同一个道理。 - ③怎么用：把 \(G(z)\) 乘 \((z-1)^2\) 后令 \(z=1\)；若 \(G(z)\) 分母里 \((z-1)\) 不够两个（比如本讲例题 2 只有一个），算出来 \(K_a=0\)，误差就是 \(\infty\)，即跟不上。

【难点 6】分子上的 \(T\) 和 \(T^2\) 是离散系统独有的，连续系统没有。 - 连续系统：\(e(\infty)=\dfrac{1}{K_v}\)、\(\dfrac{1}{K_a}\)，光溜溜的。 - 离散系统：\(e(\infty)=\dfrac{T}{K_v}\)、\(\dfrac{T^2}{K_a}\)，分子上多了采样周期。 - 它从哪来：就是 4.1 表里 \(R(z)\) 分子上那个 \(T\) 和 \(T^2\)，一路带下来的，不是人为加的。 - 老师给了一个非常好用的记忆钩子：当采样周期 \(T=1\) 时，离散公式和连续公式长得一模一样。 所以你只要记住连续那一套，再在斜坡上补一个 \(T\)、加速度上补一个 \(T^2\) 就行。 - 物理含义（这才是重点）：\(T\) 越大，稳态误差越大。据 PPT 幻灯片 63，影响离散系统稳态误差的因素恰恰是三个：输入信号的形式、\(G(z)\) 中 \(z=1\) 的极点数（型次）、采样周期 \(T\)（\(T\) 增大，\(e(\infty)\) 增大）。为什么？采样周期越长，系统"睁眼看世界"的次数越少，两次采样之间它是"闭着眼睛在跑"的，丢掉的信息越多，跟得越差。 - 【应试价值】《考点分析》p001 把"离散稳态误差的因素"列为简答题五个常考点之一。这道简答题的标准答案就是上面这三条（输入形式、型次即 \(z=1\) 极点数、采样周期 \(T\)），而且最好带上"\(T\) 增大误差增大"的机理解释。

4.3 汇总表（据 PPT 幻灯片 64）

这张表怎么读（不要死背，要能现场推）： - 对角线上是有限非零值，对角线左下方是 0，右上方是 \(\infty\)。 - 意思是：型次每高一级，就能"免费"多跟住一档更难的输入。Ⅰ 型跟阶跃是零误差，跟斜坡有固定误差，跟加速度彻底跟不上。 - 为什么？每多一个 \(z=1\) 的极点（多一个累加器），\(G(1)\) 就多一层无穷大，\(\dfrac{1}{1+G(1)}\) 就更接近 0。

PPT 幻灯片 60-62 还给了每一档的文字结论。这里必须先声明一处订正：这三页的结论句一律写作"位置误差"。幻灯片 60 讲阶跃输入，写"位置误差"是对的；但幻灯片 61 讲的是斜坡输入，原文仍写"Ⅰ型离散系统在采样瞬时存在位置误差"，幻灯片 62 讲的是加速度输入，原文也仍写"Ⅱ型离散系统在采样瞬时存在位置误差"。按含义，斜坡输入下该说速度误差、加速度输入下该说加速度误差，疑为 PPT 三处沿用同一模板造成的笔误。下面是按正确含义订正后的转述（非逐字）：

• 0 型系统在阶跃作用下的采样瞬时存在位置误差，Ⅰ 型及以上在采样瞬时没有位置误差；
• 0 型不能跟踪单位斜坡，Ⅰ 型在采样瞬时存在速度误差（PPT 原文作"位置误差"），Ⅱ 型及以上没有；
• 0 型和 Ⅰ 型都不能跟踪单位加速度，Ⅱ 型在采样瞬时存在加速度误差（PPT 原文作"位置误差"），Ⅲ 型及以上没有。

答题时按订正版写，不会被扣分；但如果老师批卷严格照 PPT，你心里要知道这个出入在哪。

【你可能会以为】"采样瞬时没有误差"= 系统输出跟输入完全重合。 但其实：只是在 \(0,T,2T,\dots\) 这些采样时刻上重合。两个采样时刻之间的输出长什么样，z 变换这套工具根本看不见。这是离散系统分析的一个固有盲区——所有 z 域结论都只对采样时刻负责。PPT 原文用的是"在采样瞬时没有位置误差"这个措辞，"采样瞬时"四个字不是废话。

5. 离散系统的暂态（动态）性能

【补前置】"暂态性能"（也叫动态性能）指的是系统从收到输入到最终安定下来这段过程好不好看：冲过头了没有（超调量）、多久安定（调节时间）、多久第一次到达峰值（峰值时间）、多久第一次到达终值（上升时间）。它跟稳态误差是两回事：稳态误差管终点准不准，暂态性能管路上跑得怎么样。

5.1 定量算法：求 z 反变换，看序列

思路极其朴素：既然闭环脉冲传递函数 \(\Phi(z)\) 知道了，输入 \(R(z)\) 也知道了，那么

对 \(C(z)\) 做 z 反变换，得到输出序列 \(c(0),c(T),c(2T),\dots\)。有了这一串数，什么调节时间、峰值时间、超调量，一个一个数出来就行。

• 【补前置】"z 反变换"是什么：z 变换是"把一串数 \(c(0),c(T),c(2T),\dots\) 打包成一个关于 \(z\) 的函数 \(C(z)=\sum_{k=0}^{\infty}c(kT)z^{-k}\)"；z 反变换就是反着来——已知打包好的 \(C(z)\)，把那一串数一个一个拆回来。记作 \(c(kT)=\mathcal{Z}^{-1}[C(z)]\)。常用手段有三种：长除法（把 \(C(z)\) 除成 \(z^{-1}\) 的幂级数，系数就是那串数，本节用的就是它）、部分分式法（拆成表上查得到的标准项再逐项反查）、留数法（考纲不要求，不展开）。注意：z 反变换给你的只有采样时刻上的那些点，采样点之间的波形它给不出来。

PPT 幻灯片 67-68 给了一个完整数值示例（这个系统正是后面例题 2、例题 3 用的同一个系统，\(r(t)=1(t)\)、\(T=1\text{s}\)、\(K=1\)）：

• 关于分子第二项 0.263：PPT 幻灯片 68 写的就是 0.263，本笔记照抄。但由 \(\Phi(z)R(z)\) 精确推导，这一项应该是 \(\Phi(z)\) 分子里那个 0.264（见 8.1 节 (4e) 的精确表达式 \(1-e^{-T}-Te^{-T}=1-2\times0.3679=0.2642\)）。PPT 此处的 0.263 是中间四舍五入造成的，精确值为 0.264。 你自己推导时算出 0.264 不是算错了，两者对后续结论没有影响。

用长除法（就是把分子除以分母，像小学做长除法那样，一项一项除下去）展开成 \(z^{-1}\) 的幂级数：

对应的输出序列直接读出来：\(c(0)=0,\ c(T)=0.368,\ c(2T)=1,\ c(3T)=1.4,\ c(4T)=1.4,\ c(5T)=1.147,\dots\)

• 【补前置】为什么长除法展开的系数就是输出序列？ 因为 z 变换的定义就是 \(C(z)=\sum_{k=0}^{\infty}c(kT)z^{-k}\)。也就是说 \(z^{-k}\) 前面的系数按定义就是第 \(k\) 个采样时刻的输出值。长除法只是把 \(C(z)\) 从"分式"形态还原成"级数"形态，系数自动就是序列。这不是巧合，是定义。
• 从这串数你能直接看出：终值大约是 1，最大值 1.4 出现在第 3、4 拍，所以超调量约 40%，峰值时间约 \(3T\sim4T\)。

为什么上面直接给了级数结果、不逐步演示除法？ 说明白，别让你以为除法过程"不存在"或"很轻松"：完整除到第 6 项要做 6 轮"试商—回乘—相减"，手写占大半页，而《考点分析》p007 明说这块从未考过（见下方【难点 7】的引文），逐轮演示的收益低于占用的篇幅。但机制必须让你看见，所以下面完整演示第一轮，第二轮起同理循环：

第一轮（除出 \(0.368z^{-1}\)） 1. 试商：拿被除式（分子）的最低次项 \(0.368z^{-1}\)，除以除式（分母）的首项 \(1\)，得商的第一项 \(=0.368z^{-1}\)。（长除法的规矩：每一轮都用当前余式的首项去除除式的首项。这里因为整个式子按 \(z^{-1}\) 升幂排列，"首项"就是次数最低的那项。） 2. 回乘：把这个商乘回整个除式： \(0.368z^{-1}\times(1-2z^{-1}+1.632z^{-2}-0.632z^{-3})=0.368z^{-1}-0.736z^{-2}+0.6006z^{-3}-0.2326z^{-4}\) 3. 相减得新余式： \((0.368z^{-1}+0.263z^{-2})-(0.368z^{-1}-0.736z^{-2}+0.6006z^{-3}-0.2326z^{-4})=0.999z^{-2}-0.6006z^{-3}+0.2326z^{-4}\) （\(z^{-1}\) 项被消掉了，这正是长除法每一轮的目的：消掉当前最低次项。） 4. 第二轮就拿这个余式的首项 \(0.999z^{-2}\) 再除以 \(1\)，得商的第二项 \(\approx z^{-2}\)——正好对应上面级数里的 \(z^{-2}\)、也就是 \(c(2T)=1\)。如此循环，商一项一项攒出来，就是那条级数。

【难点 7】长除法的实操。 - 难在哪：手算容易错，而且要先把 \(C(z)\) 统一写成 \(z^{-1}\) 的形式（分子分母同除以 \(z\) 的最高次幂），很多人卡在这一步；另外每一轮的减法有三四项要对齐，漏一项后面全歪。 - 【应试判断】《26北方工业大学专业课考点分析》p007 第 4 条原文说："离散系统的瞬态性能指标：这里不好算，需要用到长除法，公式不复杂，这块没有考察过，学有余力的同学可以学一学。" 老师在课上也说"关于暂态性能的分析，涉及到的是比较少的"。所以：知道方法、看得懂就行，不必刷题。你的时间应该压在稳定性和稳态误差上。

5.2 定性分析：闭环极点在 z 平面的位置 → 响应长什么样

这才是暂态这一节真正有考试价值的部分（可能出选择题、简答题）。

原理来自响应表达式（PPT 幻灯片 73）：输出序列可以拆成

• ①在说什么：每一个闭环极点，都在输出序列里贡献一项运动。 实数极点贡献 \(P^k\) 这种指数型的项，复数极点成对贡献带 \(\cos\) 的振荡项。全部加起来，再加上输入本身带来的那一项（稳态分量），就是完整的输出序列。
• ②符号（逐个交代，一个都别跳过）：
• \(M(z)\)、\(D(z)\)：闭环脉冲传递函数 \(\Phi(z)\) 的分子多项式和分母多项式。PPT 幻灯片 73 就是这么定义的：\(\Phi(z)=\dfrac{C(z)}{R(z)}=\dfrac{b_0z^m+b_1z^{m-1}+\cdots+b_m}{a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n}=\dfrac{M(z)}{D(z)}\)。所以 \(D(z)=0\) 的根就是闭环极点，这跟第 8 节判稳时写的 \(D(z)=z^2+\cdots\) 是同一个 \(D\)。
• \(\dfrac{M(1)}{D(1)}\)：稳态分量，也就是把 \(z=1\) 代进闭环传递函数得到的那个数。【补前置】它为什么是稳态值？因为这里默认输入是单位阶跃，\(R(z)=\dfrac{z}{z-1}\)，于是 \(C(z)=\dfrac{M(z)}{D(z)}\cdot\dfrac{z}{z-1}\)。把 \(C(z)\) 做部分分式展开时，\(R(z)\) 自带的那个 \(z=1\) 极点单独贡献一项，它对应的留数正是 \(\dfrac{M(1)}{D(1)}\)，而这一项在时域里是 \(\dfrac{M(1)}{D(1)}\cdot 1^k\)——不随 \(k\) 变化，永远是这个常数。其余各项都由闭环极点 \(P\) 贡献、形如 \(P^k\)，系统稳定时 \(|P|<1\) 会衰减掉。所以时间一长只剩它，它就是稳态值。（这和第 2 节 \(\lim_{z\to1}(z-1)C(z)\) 算出来的是同一个数，你可以自己代一遍验证。）
• \(P_r\)：实数闭环极点（下标 r = real）。\(A_r\) 是它对应的留数系数。
• \(P_o\)：复数闭环极点的模长（下标 o 表示振荡 oscillation），即 \(|P|\)。复极点总是共轭成对出现，一对合起来才凑出一个实数的 \(\cos\) 项，\(B_r\) 是它的幅值系数。
• \(\theta_0\)：复极点的相角（幅角），即把复极点写成 \(P=P_o e^{\pm j\theta_0}\) 时的那个角。物理意义非常实在：每过一拍，这一项的相位就转过 \(\theta_0\) 弧度——所以它就是"振荡角频率"的来源（PPT 幻灯片 76 说复极点"振荡角频率为 …"，指的正是它；换算成实际角频率是 \(\omega=\theta_0/T\)）。\(\theta_0\) 越大，转得越快，每个振荡周期占的拍数越少。这也解释了幻灯片 76 那句"复极点位于左半圆内所对应的振荡频率，要高于右半单位圆内的情况"——左半圆上的点相角接近 180°，一拍就转半圈，是最快的振荡。
• \(\varphi_0\)：初相角，只决定振荡从哪个位置起步，不影响形状好坏（考试基本不需要算它，\(A_r\)、\(B_r\) 也一样）。
• \(k\)：采样序号（第几拍），实际时刻是 \(t=kT\)。
• ③怎么用：你不用算这些常数，只看 \(P\) 落在哪儿，就能判断这一项是涨还是跌、振不振、变不变号。 因为决定形状的只有 \(P^k\) 这个因子。
• 【补前置】为什么是 \(P^k\) 而不是连续系统的 \(e^{pt}\)？老师这一讲特意提醒过：差分方程的基本解是指数序列 \(P^k\)，不是 \(e^{-at}\) 那样的指数信号。 道理很直白：离散世界里"过一拍"就是"再乘一次 \(P\)"，过 \(k\) 拍就是乘了 \(k\) 次，所以是 \(P^k\)。\(|P|>1\) 越乘越大（发散），\(|P|<1\) 越乘越小（衰减），\(|P|=1\) 不增不减。单位圆判稳的全部秘密就在这一句话里。

实数极点的六种情况（据 PPT 幻灯片 74-75，与老师课堂口述一致）：

复数极点的三种情况（据 PPT 幻灯片 76 并按教材补 \(|P|=1\) 一档）：

先说清出处，别被我糊弄过去：PPT 幻灯片 76 原文只写了两条——"当 \(|P_j|\ge 1\) 振荡发散""当 \(|P_j|<1\) 振荡衰减，振荡角频率为 …，极点越靠近原点，衰减越快"。也就是说 PPT 把 \(|P|=1\) 并进了"\(\ge1\) 发散"这一档。下表我按教材和物理事实把 \(|P|=1\) 单列成"等幅振荡"（\(P_o^k=1^k\) 恒为 1，幅值不增不减，谈不上发散），这是我的补充，与 PPT 写法直接冲突。考试按"等幅振荡 = 临界稳定、不算稳定系统"作答即可，两种写法在"不稳定"这个结论上是一致的。

• 【补前置】"包络线"是什么：把振荡波形一个个波峰用一条光滑曲线连起来，再把一个个波谷也连起来，这两条"包住"整个波形的曲线就叫包络线。它描述的是振幅随时间怎么变，与振荡快慢无关。包络线收敛 = 振幅越来越小（衰减振荡）；包络线发散 = 振幅越来越大。在本节的公式里，包络线就是 \(\pm B_r P_o^{\,k}\) 那部分，\(\cos\) 只管在包络线之间来回摆。

【难点 8】"负实轴上的极点会正负交替变号"——这是离散系统独有的现象，连续系统没有对应物。 - 难在哪：学生用连续系统的直觉去套，认为"实数极点 = 单调运动，不振荡"，于是完全想不到会变号。 - 为什么会这样：\(P^k\) 里 \(P\) 是负数时，\(k\) 为偶数得正、\(k\) 为奇数得负，序列自然一正一负跳。而连续系统的 \(e^{pt}\) 里 \(p\) 是实数时永远同号，不可能变号。 - 为什么重要：PPT 幻灯片 76 由此得出一条设计准则——离散系统设计时应把闭环极点安置在 z 平面的右半单位圆内，且尽量靠近原点。原因有两条：左半单位圆内虽然稳定，但输出衰减时交替变号，动态过程很难看；越靠近原点 \(|P|\) 越小，衰减越快。这条准则可以直接当简答题答案。

【你可能会以为】z 平面单位圆内的左半边和右半边，反正都稳定，没区别。 但其实：稳定性一样，但动态品质差很多。左半边对应的是"每拍都在正负之间跳"的响应，实际执行机构会被来回折腾。这跟连续系统里"极点都在左半平面就都稳定，但阻尼比不同品质差很远"是同一类道理。

5.3 顺带：采样器和零阶保持器对动态性能的影响

据 PPT 幻灯片 72（要点转述）： 1. 采样器使峰值时间和调节时间略有减小，超调量增大，稳定性降低；但在大滞后系统中反而会提高稳定程度。 2. 零阶保持器使峰值时间和调节时间加长，超调量和振荡次数增加。

• 【补前置】"零阶保持器"是什么（第16讲讲过，这里再点一句）：数字控制器算出来的是一串孤零零的数，执行机构需要的是连续信号。零阶保持器就是把每个采样值原样保持一整个周期不变，把一串点变成一个"阶梯形"的连续信号。"零阶"的意思是保持成常数（0 次多项式），而不是拿直线去连（那叫一阶保持器）。
• 为什么零阶保持器会让性能变差：因为"保持不变"意味着信息滞后——这一拍的值一直用到下一拍，平均而言把信号往后推了大约半个采样周期。滞后是稳定性的天敌（这一点在第五章频域分析里讲过：相角滞后吃掉相角裕度）。

6. 最少拍系统：知道它是什么就够了

据 PPT 幻灯片 77（要点转述）：最少拍系统指的是，在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。

设计原则（幻灯片 77）：选择恰当的闭环脉冲传递函数，使系统在典型输入下，经最少的采样周期后，输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而设计出所需的数字控制器脉冲传递函数 \(D(z)\)。

设 \(H(s)=1\)（单位反馈）时（幻灯片 78）：

• ①这组式子在说什么：反过来做设计。 常规做法是"给定控制器，求系统性能"；最少拍是"先规定我要的性能（\(\Phi(z)\) 或 \(\Phi_e(z)\) 长什么样），反解出控制器 \(D(z)\) 必须是什么"。
• ②符号：\(D(z)\) 是数字控制器的脉冲传递函数（就是你要写进计算机里的那段算法）；\(G(z)\) 是被控对象（含保持器）的脉冲传递函数；\(\Phi_e(z)\) 是误差传递函数。
• ③怎么用：先按输入类型构造 \(\Phi_e(z)\)（比如阶跃输入取 \(\Phi_e(z)=1-z^{-1}\)，让误差序列只有有限项非零），再代进公式解出 \(D(z)\)。

【为什么不展开】老师课上原话意思是"这种关于离散控制系统设计的问题，在考研过程中几乎是不涉及的，大家了解一下基本概念就可以了"。《26北方工业大学专业课考点分析》p003 的第七章考纲只写到"了解离散系统的校正方法"（"了解"是最低要求档），p006-p007 逐条列考点时也没有提最少拍。所以这一节我给到"看懂公式在干什么"为止，不展开针对阶跃/斜坡/加速度分别设计的完整算例——不是省略了内容，是投入产出比不划算。你需要能答的是一句话定义："在典型输入下经有限拍结束过渡过程、且各采样时刻稳态误差为零的系统。"

PPT 幻灯片 84 还给了一条对最少拍系统的重要评价，原文是："各种典型输入作用下系统进入稳态后，在非采样时刻一般均存在纹波，从而增加系统的机械磨损，故上述最少拍设计，只有理论上的意义，并不实用。"

• 【补前置】"纹波"是什么：最少拍系统保证的是采样时刻上误差为零，但两个采样时刻之间，输出并不老老实实待在目标值上，而是上下起伏波动——这种在非采样时刻残留的波动就叫纹波。它是第 4.3 节那个"z 变换只对采样时刻负责、看不见采样点之间"的盲区在设计上的报应：你在采样点上把误差按到零，代价是采样点之间乱晃。
• 为什么这就"不实用"：执行机构（电机、阀门）要跟着这个乱晃的信号来回动作，白白增加机械磨损。
• 这句话适合作简答题的补充，但请照 PPT 的因果链答：核心原因是"非采样时刻存在纹波"，磨损是纹波带来的后果。（本笔记此前把这条写成"控制量变化剧烈加剧磨损"、出处也标错了页码，属于我自己改写却栽给 PPT，现已按幻灯片 84 的原文逐字订正。）

7. 例题一：带采样开关的结构图，用梅森公式求闭环脉冲传递函数

7.1 题目和核心规则

题目给了一个采样控制系统结构图，求闭环脉冲传递函数。

老师先做了两个判断动作，这两个动作是所有离散结构图题的开场白： 1. 看输入 \(r(t)\) 和第一个前向通道环节之间有没有采样开关。 有 → \(R(z)\) 能提出来 → 闭环脉冲传递函数存在，能求。没有 → 提不出来 → 只能求 \(C(z)\) 的表达式，求不出 \(\Phi(z)\)。 2. 输出端如果没有采样开关，可以自己虚拟加一个，做离散化处理。这不改变系统本身，只是为了让我们能用 z 变换的语言描述输出。

然后是本题的核心规则，老师说得很明确：

梅森公式对线性连续系统能用，对线性离散系统一样能用，只不过用的时候要看环节之间是不是被采样开关隔开了。

• 【补前置】梅森公式是什么（第二章讲过，但零基础跨考生大概率已经忘了，这里从头补一遍，不许跳）：它是一个不用一步步化简结构图、直接从图上"数"出传递函数的公式。基本形态是 $\(\Phi=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta},\qquad \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots\)$ 逐个词解释：
• 前向通道 \(P_k\)：从输入端出发、沿信号箭头方向走到输出端，同一个节点不重复经过的一条路；\(P_k\) 就是这条路上所有环节传递函数的乘积（叫"通道增益"）。图上有几条这样的路，就有几个 \(P_k\)。
• 回路：从某个节点出发、沿箭头方向绕一圈又回到同一个节点的闭合路径。回路增益 \(L_i\) 就是这一圈上所有环节传递函数的乘积（包含反馈支路上的负号，所以典型的单回路负反馈系统 \(L=-GH\)，代进 \(\Delta=1-L\) 就得到 \(1+GH\)，这就是分母那个"\(1+\)"的真正来历，不是硬记的）。
• 不接触回路：两个回路没有任何公共节点、也没有任何公共支路，就叫互不接触。\(\Delta\) 里 \(\sum L_iL_j\) 那一项只把两两互不接触的回路增益相乘再求和；本题只有一个回路，压根不存在"两个回路"，所以这一项直接是 0，\(\Delta=1-L\)。
• 特征式 \(\Delta\)：就是上面那个 \(1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots\)，它是整张图共用的、写在分母上的那个东西。
• 余子式 \(\Delta_k\)（这个词最容易被当成天书，其实规则极简单）：把与第 \(k\) 条前向通道相接触（有公共节点或公共支路）的回路统统从图上删掉，用剩下的那些回路按同样规则再算一个 \(\Delta\)，就是 \(\Delta_k\)。特别地，如果这条通道和图上每一个回路都有公共部分，那就把所有回路都删光了，剩下的图里一个回路也没有，\(\Delta_k=1-0=\boxed{1}\)。
• 于是，对于"只有一个回路、且所有前向通道都与该回路接触"的简单系统，梅森公式退化成 \(\dfrac{\text{各前向通道增益之和}}{1+\text{回路开环增益}}\)（负反馈时分母是 \(1+\)）——分子之所以能直接是通道增益之和，正是因为每个 \(\Delta_k\) 都等于 1，乘上去等于没乘。
• 注意：ASR 把"梅森"打成了"梅形"，别被带偏。

离散版梅森公式的唯一新规矩（这是全章最容易丢分的地方）：

• 若一串环节之间没有采样开关隔开 → 它们要先在 \(s\) 域相乘，再整体做 z 变换，记作 \(G_1G_2(z)\)，读作"\(G_1G_2\) 乘积的 z 变换"。
• 若环节之间有采样开关隔开 → 各自单独做 z 变换再相乘，记作 \(G_1(z)G_2(z)\)。

【难点 9】\(G_1G_2(z)\ne G_1(z)G_2(z)\)，这是第七章最狠的一个坑。 - 难在哪：符号长得几乎一样，只差一对括号的位置，抄题都可能抄错。 - 为什么这样：z 变换是"先把连续信号采样、再变换"。如果两个环节中间没有采样开关，中间那个信号根本没被采样过，你无权单独对 \(G_1\) 做 z 变换——因为 z 变换的对象必须是采样序列。只有中间真的有采样开关，把连续信号切成了序列，才允许"断开"分别变换。 - 【应试价值】《26北方工业大学专业课考点分析》p006 第 2 条给了一个非常实用的做题策略（原文要点）：结构图化简"可以直接当做系统连续来做题，看每一个元件左右连接是否有采样器来做，但这种做法是用来检测自己做的对不对的，直接做的话会扣分的，还是当做一个后手，优先掌握正儿八经的做法"。翻译：先按连续系统的思路把结构写出来当草稿，然后逐段核对采样开关位置、决定哪些能拆哪些不能拆，最后按标准写法答题。

7.2 本题的解答

老师在课上口述的结构：从输入到输出有两条前向通道，系统里有一个回路。

• 第一条前向通道：\(H_1\to G_1 \to G_2 \to G_3\)，其中 \(H_1\) 与 \(G_1\) 之间没有采样开关，\(G_2\) 与 \(G_3\) 之间也没有，但 \(G_1\) 与 \(G_2\) 之间被采样开关隔开。所以这条通道的增益是 \(H_1G_1(z)\cdot G_2G_3(z)\)——两个"整体 z 变换"的乘积。
• 第二条前向通道：经过的三个环节 \(H_1,H_3,G_3\) 之间都没有采样开关，所以整条通道增益是 \(H_1H_3G_3(z)\)——一个整体 z 变换。
• 唯一的回路：老师特意驳斥了一个错误答案。有同学说"\(G_1\) 和 \(G_2\) 之间有采样开关，所以回路增益应该是 \(G_1(z)\cdot G_2G_3H_2(z)\)"。老师说不是的——判据是"按照信号流动的单向性，只要能找到一条这些环节之间没有被采样开关隔开的通道，就要按整体乘积的 z 变换算"。本题的回路增益是 \(G_1G_2G_3H_2(z)\)。

于是闭环脉冲传递函数为

分子为什么可以直接是两条通道增益之和？ 按 7.1 节补的余子式规则：本题图上只有一个回路，而两条前向通道都从这个回路上经过（有公共部分、即"接触"）。求 \(\Delta_1\) 时要删掉与第一条通道接触的所有回路——那个唯一的回路被删了，剩下零个回路，\(\Delta_1=1\)；求 \(\Delta_2\) 同理，\(\Delta_2=1\)。既然 \(\Delta_1=\Delta_2=1\)，\(\sum P_k\Delta_k\) 就退化成 \(P_1+P_2\)，也就是两条通道增益直接相加。分母 \(\Delta=1-L\)，本题回路是负反馈，\(L=-G_1G_2G_3H_2(z)\)，所以分母写成 \(1+G_1G_2G_3H_2(z)\)。

【存疑·待核】我们手上只有音频转录、没有这道题的结构图，采样开关的确切位置无法百分之百复原（老师口述"\(G_1\) 与 \(G_2\) 被采样开关隔开"，但回路增益却算成了整体乘积，这两句在纯文字下看着有张力——合理的解释是回路上存在另一条不经过那个采样开关的通路，但没有图无法确认）。上面的答案是老师给出的原始结果，规则本身（7.1 节）是准确无误的，请以规则为准；这个具体答案在你拿到原题图之前不要硬背。

老师对这道题的定位很值得注意：这种单独求脉冲传递函数的题型很少单独出现，但正确求出传递函数是后面一切分析的前提，所以必须熟练。

8. 例题二：四问综合大题（本讲最重要的一道）

这道题是《26北方工业大学专业课考点分析》p008 里 T8 那类题的原型：一道题里串起建模、判稳、求临界增益、求稳态误差四个考点。老师原话意思是"控制原理的考试，拿到一个题以后考察的点绝不仅限于一个，总是环环相扣"。

8.0 题目

一个单位负反馈离散系统，输入 \(r(t)\) 与第一个环节之间有采样开关（所以闭环脉冲传递函数可求），前向通道含一个零阶保持器和被控对象。据 PPT 幻灯片 67 上同一个系统的写法，被控对象加保持器为

四问： 1. 求闭环脉冲传递函数 \(\Phi(z)\)； 2. 当 \(K=10\)、\(T=1\text{s}\) 时，判断系统稳定性； 3. 当 \(T=1\text{s}\) 时，求使系统临界稳定的开环增益 \(K\)； 4. 求系统在三种典型输入下的稳态误差。

8.1 第一问：求 \(\Phi(z)\)

第一步：把零阶保持器那个 \((1-e^{-Ts})\) 拆出来。

• 【补前置】先认识一个新符号：花体的 \(\mathcal{Z}[\cdot]\)。 它不是一个变量，是一个算符（"对方括号里的东西做某种操作"的意思，跟拉氏变换写成 \(\mathcal{L}[\,f(t)\,]\) 是同一类写法）。\(\mathcal{Z}[F(s)]\) 读作"对 \(F(s)\) 所对应的时间函数先按周期 \(T\) 采样、再做 z 变换"，结果是一个关于 \(z\) 的函数。注意方括号里放的是 \(s\) 域的东西，出来的是 \(z\) 域的东西——它是一座桥。本讲此后反复出现这个符号，看见它就想"先采样再 z 变换"。

【难点 10】为什么 \((1-e^{-Ts})\) 可以直接变成 \((1-z^{-1})\) 提到 z 变换外面？ - 难在哪：这一步是所有"带零阶保持器"题目的标准第一动作，不懂原理就会记成玄学，而且容易忘记把 \(\frac{1}{s}\) 留在里面。 - 正确理解：两条依据合起来。 - 其一，\(z=e^{sT}\)，所以 \(e^{-Ts}=z^{-1}\)。这不是近似，是 z 变换的定义。 - 其二，\(e^{-Ts}\) 在时域里代表纯延时一个采样周期 \(T\)。【补前置】这里用到的是拉氏变换的延时（实域位移）定理，把它写出来，别只报名字： $\(\mathcal{L}\left[f(t-T)\cdot 1(t-T)\right]=e^{-Ts}F(s)\)$ 逐个说：\(F(s)=\mathcal{L}[f(t)]\) 是原信号的拉氏变换；\(f(t-T)\) 表示"把原来的波形整体往右挪 \(T\) 秒"（本来 \(t=0\) 发生的事，现在推迟到 \(t=T\) 才发生）；乘上 \(1(t-T)\) 是为了保证 \(t<T\) 时函数取 0，也就是"挪过去之前什么都没有"。一句话记住：在 \(s\) 域里乘一个 \(e^{-Ts}\)，等价于在时间轴上把整个波形右移 \(T\)。 指数上的负号对应"往后推"，\(T\) 就是推多久。这条定理在第 2 章讲过，本讲和第 16 讲的零阶保持器全靠它。 而"延时整整一个采样周期"这件事在离散序列上就是"整体往后挪一格"，这是可以从 z 变换里"提出来"的（因为它不破坏采样结构）。 - 所以 \(\mathcal{Z}[(1-e^{-Ts})F(s)]=(1-z^{-1})\mathcal{Z}[F(s)]\)。 - 必须记牢的配套动作：零阶保持器是 \(\dfrac{1-e^{-Ts}}{s}\)，那个分母上的 \(\frac{1}{s}\) 不能跟着提出去，要留下来跟被控对象合并。本题里 \(\dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{K}{s(s+1)}=\dfrac{K}{s^2(s+1)}\)，多出来的那个 \(s\) 就是从保持器来的。丢了它，后面全错。

第二步：用部分分式展开法求 \(\mathcal{Z}\left[\dfrac{1}{s^2(s+1)}\right]\)。

• 【补前置】"部分分式展开"是什么：把一个复杂分式拆成几个简单分式的和，好让每一项都能在 z 变换表上直接查到。就像把 \(\frac{5}{6}\) 拆成 \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)。

（老师课上口述的三个系数就是"1、-1、1"，与此一致。）

第三步：逐项查 z 变换表（这三个是必背的）：

所以

第四步：乘上 \((1-z^{-1})=\dfrac{z-1}{z}\) 并通分整理（这一步是本讲计算量最大、也最常考的一步，下面一项都不省）。

(4a) 先把 \(\dfrac{z-1}{z}\) 逐项乘进去，看三项各自变成什么（诀窍：每一项分子上都有一个 \(z\)，正好被 \(\dfrac{z-1}{z}\) 的分母约掉，所以三项都会掉一个 \(z\)、多一个 \((z-1)\)）：

• 第一项：\(\dfrac{z-1}{z}\cdot\dfrac{Tz}{(z-1)^2}=\dfrac{T(z-1)}{(z-1)^2}=\dfrac{T}{z-1}\)　（分子的 \(z\) 约掉，\((z-1)\) 与分母约掉一个）
• 第二项：\(\dfrac{z-1}{z}\cdot\left(-\dfrac{z}{z-1}\right)=-1\)　（\(z\) 和 \((z-1)\) 全约光，只剩 \(-1\)）
• 第三项：\(\dfrac{z-1}{z}\cdot\dfrac{z}{z-e^{-T}}=\dfrac{z-1}{z-e^{-T}}\)　（只约掉 \(z\)）

于是

(4b) 通分。 公分母取 \((z-1)(z-e^{-T})\)，三项分子分别要补乘什么：第一项补 \((z-e^{-T})\)，第二项（那个 \(-1\)）补整个 \((z-1)(z-e^{-T})\)，第三项补 \((z-1)\)。得到

(4c) 把方括号里三块各自展开：

• \(T(z-e^{-T})=Tz-Te^{-T}\)
• \(-(z-1)(z-e^{-T})=-\left[z^2-(1+e^{-T})z+e^{-T}\right]=-z^2+(1+e^{-T})z-e^{-T}\)
• \((z-1)^2=z^2-2z+1\)

(4d) 按 \(z\) 的次数合并同类项：

• \(z^2\) 项：\(-z^2+z^2=0\)　（\(z^2\) 恰好抵消掉了——这就是为什么最后分子只有一次式。这个抵消不是巧合：分子分母的次数差由零阶保持器和对象的结构定死了。）
• \(z\) 项：\(Tz+(1+e^{-T})z-2z=\left(T+e^{-T}-1\right)z\)
• 常数项：\(-Te^{-T}-e^{-T}+1=1-e^{-T}-Te^{-T}\)

(4e) 合起来就是最终结果：

• ①这个式子在说什么：这就是"零阶保持器 + \(\frac{K}{s(s+1)}\)"这一整套东西在离散世界里的身份证。
• ②符号：\(T\) 是采样周期，\(e^{-T}\) 是一个具体数（\(T=1\) 时约 \(0.368\)），\(K\) 是开环增益。
• ③怎么用：把题目给的 \(T\)、\(K\) 代进去得到具体的 \(G(z)\)，然后判稳、算误差都用它。

代入 \(T=1\) 验算（这一步一定要自己算一遍，考试就考这个）： - \(e^{-1}=0.368\) - 分子第一个系数：\(T-1+e^{-T}=1-1+0.368=0.368\) - 分子第二个系数：\(1-e^{-T}-Te^{-T}=1-0.368-0.368=0.264\) - 得 \(\boxed{G(z)=\dfrac{K(0.368z+0.264)}{(z-1)(z-0.368)}}\)

这与 PPT 幻灯片 67 的写法（\(K=1\) 时 \(G(z)=\dfrac{0.368z+0.264}{(z-1)(z-0.368)}\)）完全一致。这组数字 0.368 / 0.264 会在本讲后面反复出现，是这一系列题的"通用零件"。

闭环（单位负反馈）：

分母展开：\(z^2+(0.368K-1.368)z+(0.264K+0.368)\)。这个闭环特征多项式后面两问都要用，抄下来。

8.2 第二问：\(K=10\)、\(T=1\)，判稳

把 \(K=10\) 代入闭环特征方程： - 一次项系数：\(0.368\times10-1.368=3.68-1.368=2.312\) - 常数项：\(0.264\times10+0.368=2.64+0.368=3.008\)

（老师课上口述取整成 \(z^2+2.3z+3=0\)，结论一样。）

方法一（老师推荐）：二阶直接求根。

模长 \(|z|=\sqrt{1.156^2+1.293^2}=\sqrt{1.336+1.672}=\sqrt{3.008}\approx1.734>1\)。

两个闭环极点都在单位圆外 → 系统不稳定。

• 小技巧：二阶方程两根之积等于常数项，即 \(|z_1||z_2|=3.008\)，一对共轭根模相等，所以 \(|z|=\sqrt{3.008}\)。常数项超过 1 的二阶离散特征方程，一定不稳定（这就是下面朱利判据第三条的本质）。
• 老师的建议原话意思是：拿到二阶系统，直接求极点看在不在单位圆内最省事。因为二阶方程谁都会解，比排判据表快。

方法二：朱利判据。 对二阶系统 \(D(z)=a_2z^2+a_1z+a_0\)（\(a_2>0\)），稳定的充要条件是三条：

逐条验： - \(D(1)=1+2.312+3.008=6.32>0\) ✓ - \(D(-1)=1-2.312+3.008=1.696>0\) ✓ - \(|a_0|=3.008\)，\(a_2=1\)，\(3.008>1\) ✗ 第三条不满足

结论一致：不稳定。

【难点 11 + 一处更正】字幕里老师说"这是一个二阶的，\(D(-1)\) 算出来大于零……我们前面讲朱利判据时说了，如果是偶数，那么它必须小于零系统才能稳定，所以系统也是不稳定的"。 - 这句按标准朱利判据是有问题的。 朱利判据的前两条通式是：\(D(1)>0\) 且 \((-1)^nD(-1)>0\)。\(n=2\)（偶数）时 \((-1)^2=+1\)，要求的是 \(D(-1)>0\)——本题恰恰满足。真正失效的是第三条 \(|a_0|<a_2\)。 - 我怀疑这是 ASR 把"\(n\) 为奇数时 \(D(-1)<0\)"这一半听串了（"奇/偶"一字之差），也可能是老师口误。结论（不稳定）是对的，中间理由要按上面这一版记。 - 记忆钩子：\((-1)^nD(-1)>0\) 这个形式的来由是——它等价于要求"\(z=-1\) 这个点在稳定域这一侧"，\(n\) 的奇偶只是最高次项 \(z^n\) 在 \(z=-1\) 处的符号问题。你只要记通式 \((-1)^nD(-1)>0\)，就永远不会纠结奇偶。

【你可能会以为】\(K\) 大代表放大能力强，系统应该跟得更好。 但其实：据 PPT 幻灯片 56 明确写着，"\(T\) 一定时，加大 \(K\) 会使系统稳定性降低，乃至不稳定"。这和连续系统一致——增益越大，反馈作用越猛，越容易冲过头形成振荡发散。本题 \(K=10\) 就是被 \(K\) 顶爆的。同一页还有一条："\(K\) 一定时，采样周期 \(T\) 越长，丢失系统信息越多，对稳定性和动态特性均不利。"这两条是简答题素材。

8.3 第三问：\(T=1\) 时求临界稳定的 \(K\)

【补前置】"临界稳定"就是恰好卡在稳定与不稳定的分界线上——离散系统里就是有闭环极点恰好落在单位圆上（模等于 1），响应是等幅振荡，既不衰减也不发散。对应的那个 \(K\) 叫临界开环增益。

闭环特征方程（\(T=1\)，\(K\) 待定）：

用朱利判据三条，把 \(K\) 当未知数解不等式：

条件一：\(D(1)>0\) $\(1+(0.368K-1.368)+(0.264K+0.368)=0.632K>0\ \Rightarrow\ K>0\)$ 注意这里常数项 \(1-1.368+0.368=0\) 恰好抵消干净了（老师说"你看完全抵消掉了，只要 \(K\) 大于零就可以了"），所以这一条只给出 \(K>0\)——这本来就是物理上必然的（增益不会是负的）。

条件二：\(D(-1)>0\) $\(1-(0.368K-1.368)+(0.264K+0.368)=2.736-0.104K>0\ \Rightarrow\ K<26.3\)$

条件三：\(|a_0|<a_2=1\)，即 \(|0.264K+0.368|<1\) $\(-1<0.264K+0.368<1\)$ - 右边：\(0.264K<0.632\Rightarrow K<2.394\) - 左边：\(0.264K>-1.368\Rightarrow K>-5.18\)

三条取交集：\(0<K<2.394\)（条件三的上界 2.394 最紧，把条件二的 26.3 完全盖住）。

所以临界稳定时 \(K\approx2.39\)。

• 老师提醒可以反验：把 \(K=2.39\) 代回去，看是不是恰好有一对极点落在单位圆上。（代入得常数项 \(0.264\times2.394+0.368=1.0\)，两根之积模长为 1 —— 确实在单位圆上。这个自检两秒钟就能做，考场上值得做。）
• 老师还说：你要是想用双线性变换把方程转到 \(\omega\) 域、再列劳斯阵列找全零行来定临界值，也完全可以，只是麻烦一些。《26北方工业大学专业课考点分析》p007 第 3 条说北方工大"比较喜欢非线性加劳斯（指双线性变换加劳斯判据），但这种做法计算量较大，需要用到转化很容易因为步骤出错，就看个人喜欢哪种做法"。建议：主用朱利（快），用双线性+劳斯做验算（或反过来），两手都要会。

【你可能会以为】三个条件里，哪个先算出来就用哪个当答案。 但其实：必须三条全列、取交集。本题条件二给了 \(K<26.3\)，如果你只算这一条就交卷，答案会错一个数量级。这就是朱利判据最常见的丢分方式——漏条件。

8.4 第四问：三种典型输入下的稳态误差

先处理一个矛盾（这一段比计算本身重要）。

字幕里老师说第四问是"\(K=10\)、\(T=1\)"，但： 1. 第二问刚证明 \(K=10\) 时系统不稳定——按第 1 节的铁律，不稳定就不存在稳态误差，第四问根本没得做； 2. 老师板书算出的 \(K_v=\dfrac{0.368+0.264}{1-0.368}=1\)，这个数对应的是 \(K=1\)（若 \(K=10\)，分子应是 \(3.68+2.64=6.32\)，\(K_v=10\)）； 3. PPT 幻灯片 67 分析这个同一系统的动态性能时，用的正是 \(T=1\)、\(K=1\)。

所以第四问的实际条件是 \(K=1\)、\(T=1\)（此时 \(1<2.394\)，系统稳定，稳态误差才有意义）。【存疑·待核】：\(K\) 的确切取值以你手上的原题为准；但"必须先稳定才能谈稳态误差"这个逻辑一定要写进答题过程。

这道题的教学价值就在这里：命题人如果真的给你一个 \(K=10\) 然后问稳态误差，正确答案是"系统不稳定，稳态误差不存在"，硬算出来的数是零分。

计算（\(K=1\)、\(T=1\)）：

先定型次：分母里有 1 个 \((z-1)\) 因子 → Ⅰ 型系统。查 4.3 的表，我们已经能预判：阶跃 → 0，斜坡 → 有限值，加速度 → \(\infty\)。下面的计算应该验证这个预判，如果对不上，说明算错了。这是一个极好的自检习惯。

① 单位阶跃输入

\(z\to1\) 时分母的 \((z-1)\to0\)，分子 \(\to0.632\ne0\)，所以整个分式 \(\to\infty\)，故 \(K_p=\infty\)。

结论：这个系统对单位阶跃输入可以做到无差跟随（在采样时刻上）。

② 单位斜坡（单位速度）输入

（\((z-1)\) 上下相消——这一步就是"数型次"在计算上的体现：型次 = 有几个 \((z-1)\) 可以消。）

结论：Ⅰ 型离散系统对单位速度输入是有差跟随，跟随误差为 1。

③ 单位加速度输入

（开环里只有一个 \((z-1)\)，消掉一个之后还剩一个 \((z-1)\) 在分子上，\(z\to1\) 时它趋于 0。）

结论：这个 Ⅰ 型离散系统对单位加速度输入不能跟随。

三个结果 \(0\)、\(1\)、\(\infty\) 与 4.3 的表格 Ⅰ 型那一行完全对上，自检通过。

9. 例题三：z 平面上画根轨迹

9.1 题目和一条总规则

题目：同一个系统（\(T=1\text{s}\)），绘制开环增益 \(K\) 从 0 变到 \(\infty\) 时系统的根轨迹图，标出特征数据，并确定使系统临界稳定的 \(K\) 值。

总规则（老师反复强调）：绘制离散系统根轨迹的规则，和连续系统完全一致。 分离点、渐近线、实轴上的根轨迹段、幅值条件、相角条件……第四章那一整套照搬，唯一的区别是画布从 \(s\) 平面换成了 z 平面。

• 【补前置】上面这串词里的"渐近线"是什么：当有限零点不够用时，多出来的根轨迹分支要跑向无穷远。它们跑向无穷远时越来越贴近的那几条直线就叫渐近线（"渐近"= 越靠越近但不相交）。第四章给过它们的倾角和与实轴的交点公式。本题 2 个极点、1 个有限零点，只有一条分支去无穷远，它沿负实轴走，情况最简单，所以下文没有单独算渐近线。

但是判稳的标准换了： - 连续系统：根轨迹穿过虚轴的那一点对应临界稳定。 - 离散系统：根轨迹穿过单位圆的那一点对应临界稳定。

所以"求临界 \(K\)"这个动作，在离散系统里就是求根轨迹与单位圆的交点，再用幅值条件算该点对应的 \(K\)。

9.2 解题

第一步：写开环脉冲传递函数，找零极点。

（把分子的 0.368 提出来：\(0.264/0.368=0.717\)。）

• 开环零点：\(z=-0.717\)（1 个有限零点）
• 开环极点：\(z=1\) 和 \(z=0.368\)（2 个）
• 由于是 \(1+G(z)=0\) 的常规形式且增益为正，属于 180° 根轨迹（也叫常规根轨迹）。
• 【补前置】"180° 根轨迹"这个名字从哪来：闭环特征方程 \(1+G(z)=0\) 即 \(G(z)=-1\)。一个复数等于 \(-1\)，意味着它的模等于 1（幅值条件）、相角等于 \(180°\)（相角条件，加减 \(360°\) 的整数倍也算）。所以"根轨迹上的点"的判据是"相角凑够 180°"，这类轨迹就叫 180° 根轨迹，是最常见的一种，故又称常规根轨迹。
• 与之相对的是零度根轨迹（第 9 讲讲过）：当增益为负、或结构上出现 \(1-G=0\) 时，条件变成 \(G=+1\)，相角要凑 \(0°\)，画法规则里凡是带 180° 的地方都改成 0°。本题不是这种情况，照常规规则画即可。
• 【补前置】"零点"是使传递函数分子为零的那些 \(z\)，"极点"是使分母为零的那些 \(z\)。根轨迹的起点是开环极点（\(K=0\) 时），终点是开环零点（\(K\to\infty\) 时）；有限零点不够时，多出来的分支跑向无穷远（叫"无限零点"）。本题 2 个极点、1 个有限零点，所以有一条分支去无穷远。

第二步：实轴上的根轨迹段与分离点/会合点。

按第四章规则（实轴上某点右侧的开环零极点总数为奇数，则该点在根轨迹上）： - \([0.368,\ 1]\) 之间在根轨迹上（右侧有 1 个极点 \(z=1\)，奇数）→ 两个极点相向而行，中间必有分离点（两条实轴上的分支在此汇合后拐进复平面）。 - \((-\infty,\ -0.717]\) 在根轨迹上 → 一条来自无穷远、一条奔向零点 \(-0.717\)，中间必有会合点（两条复数分支在此回到实轴）。

分离点/会合点公式（第四章）：

• ①在说什么：在分离点处，"所有极点对该点的贡献之和"等于"所有零点对该点的贡献之和"。
• ②符号：\(d\) 是待求的分离点坐标（实数），\(p_i\) 是开环极点，\(z_j\) 是开环零点。
• ③怎么用：代入具体数值，解出 \(d\)，然后检查解出来的 \(d\) 是否落在实轴上根轨迹存在的区间内——不在的舍去。

代入本题：

下面把化简过程整个写出来——考场上卡死人的正是这一段，不许跳。

第一步，左边两个分式先自己通分（公分母 \((d-1)(d-0.368)\)，分子是 \((d-0.368)+(d-1)\)）：

第二步，交叉相乘（左边分子乘右边分母 = 右边分子乘左边分母）：

第三步，两边各自展开：

• 左边：\(2d^2+2\times0.717\,d-1.368d-1.368\times0.717=2d^2+1.434d-1.368d-0.9809=2d^2+0.066d-0.9809\)
• 右边：\(d^2-(1+0.368)d+0.368=d^2-1.368d+0.368\)

第四步，全部移到左边，合并同类项：

• \(d^2\) 项：\(2d^2-d^2=d^2\)
• \(d\) 项：\(0.066d-(-1.368d)=1.434d\)
• 常数项：\(-0.9809-0.368=-1.3489\)

第五步，用求根公式 \(d=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（这里 \(a=1,\ b=1.434,\ c=-1.3489\)）：

所以两个根是 \(d_1=0.648\)，\(d_2=-2.081\)。

检查：\(0.648\) 落在 \([0.368,1]\) 内 ✓（分离点）；\(-2.081\) 落在 \((-\infty,-0.717]\) 内 ✓（会合点）。两个都有效。

第三步：这段根轨迹是一个圆。

第四章证过一条结论：当开环有两个极点和一个有限零点时，复平面上的根轨迹是一个以该有限零点为圆心的圆（或圆弧）。

• 圆心：零点 \(z=-0.717\)
• 半径：从圆心到分离点的距离 \(=0.717+0.648=1.365\)
• 圆方程：\((\sigma+0.717)^2+\omega^2=1.365^2\)
• 【补前置】这里 \(\sigma\) 和 \(\omega\) 是 z 平面上一个复数点的实部和虚部，即 \(z=\sigma+j\omega\)。z 平面和 \(s\) 平面一样是个复平面，横轴实部、纵轴虚部。

第四步：求与单位圆的交点。

单位圆方程：\(\sigma^2+\omega^2=1\)

联立两方程（两式相减消去 \(\omega^2\)）：

交点 \(z=0.243\pm j0.969\)。

第五步：用幅值条件求该点的 \(K\)。

• 【补前置】幅值条件：根轨迹上任意一点必须满足 \(|G(z)|=1\)（因为它是 \(1+G(z)=0\) 的解，所以 \(G(z)=-1\)，模长为 1、相角为 180°）。相角条件（\(\angle G(z)=180°\)）用来判断某点在不在根轨迹上，幅值条件用来算该点对应的 \(K\)。ASR 把"幅值条件"打成了"扶植条件"，别被带跑。

代入 \(z=0.243+j0.969\)： - \(|z-1|=|{-0.757}+j0.969|=\sqrt{0.573+0.939}=1.230\) - \(|z-0.368|=|{-0.125}+j0.969|=\sqrt{0.0156+0.939}=0.978\) - \(|z+0.717|=|0.960+j0.969|=\sqrt{0.922+0.939}=1.365\)

（老师课上说"近似等于 2.4"。）

这里有一个必须自己看见的漂亮之处：例题 2 用朱利判据算出临界 \(K=2.394\)，例题 3 用根轨迹与单位圆的交点算出 \(K\approx2.39\)。同一个系统，两条完全不同的路，得到同一个数。 这不是巧合——两者判定的是同一件事："闭环极点恰好落在单位圆上"。如果你考场上两种方法算出的结果不一致，那一定是有一处算错了，这个交叉验证值得花两分钟。

【你可能会以为】z 平面的根轨迹既然规则一样，那画法直觉也可以照搬——比如"根轨迹往左跑就是变稳定"。 但其实：在 \(s\) 平面"往左走"= 更稳定，因为分界线是虚轴；在 z 平面"往原点走"才是更稳定（且动态品质更好），因为分界线是单位圆、\(|z|\) 才是判据。照搬的是作图规则，不是几何直觉。

10. 这一章的考试地图（有依据的部分）

老师课末把第七章归纳成三类问题：建模（求脉冲传递函数）、分析（重点是稳定性 + 稳态误差）、设计（最少拍，几乎不考）。他列出的复习要求（要点转述）： 1. 熟练计算开环 / 闭环脉冲传递函数，会解简单差分方程（注意差分方程的基本解是指数序列 \(P^k\)，不是 \(e^{-at}\) 那种连续指数）； 2. 能在 z 域和 \(\omega\) 域内分析稳定性（朱利判据 / 极点分布 / 双线性变换+劳斯判据）； 3. 掌握稳态误差的计算，以及动态响应的计算（动态响应本质上就是求 z 反变换）； 4. 了解最少拍系统的概念。

与之对照，《26北方工业大学专业课考点分析》相关原文（如实引用）： - p003 考纲："掌握离散系统稳定性概念和稳定判据；掌握离散系统动态性能分析方法；了解离散系统稳态误差计算方法；了解离散系统的校正方法。" - p006 第 1 条：Z 域对应关系要牢牢掌握，"像反变换、Z 变换求差分方程这些都是不考察的，这一块学习压力就没那么大"。 - p007 第 5 条："离散系统的稳态误差：经常考的一个重点，和连续系统的结合去理解，考察的比较基础，重点是能不能求对闭环传函，这里的闭环传函会比连续那块难一些。" - p008 历年 T8：2023 年"离散系统判稳和求稳态误差"、2024 年"离散系统求闭环误差传递函数和闭环脉冲传递函数"、2025 年"离散系统中根据稳态误差求 T，第二问求根的分布情况并求响应"。

注意 p003 考纲写"了解"稳态误差、p007 却说"经常考的一个重点"——以历年真题（p008）为准，稳态误差是必须练熟的。 另外 2025 年那道"根据稳态误差求 \(T\)"是把公式反过来用：已知 \(e(\infty)=T/K_v\) 求 \(T\)。这说明你不能只会正着代数，要能把 \(T\) 当未知数解出来——这也再次说明为什么第 4.2 节强调"记原始式子、现推"而不是背三个系数。

这一讲的骨架（真正要带走的）

1. 谈稳态误差之前先判稳。 不稳定 = 稳态误差不存在，不是"误差很大"。
2. z 域终值定理：\(e(\infty)=\lim_{z\to1}(z-1)E(z)\)。连续乘 \(s\)、离散乘 \((z-1)\)，来源是 \(s=0\) 映射到 \(z=1\)。
3. 离散系统型次 = 开环 \(G(z)\) 里 \(z=1\) 极点的个数，因为 \(\frac{1}{z-1}\) 就是离散积分器（累加器）。
4. 三个静态误差系数：\(K_p=\lim[1+G(z)]\)、\(K_v=\lim(z-1)G(z)\)、\(K_a=\lim(z-1)^2G(z)\)；对应误差 \(\frac{1}{K_p}\)、\(\frac{T}{K_v}\)、\(\frac{T^2}{K_a}\)。分子上的 \(T\)、\(T^2\) 来自输入信号 z 变换，\(T=1\) 时退化成连续系统那套。
5. 影响稳态误差的三因素（简答题答案）：输入形式、\(G(z)\) 中 \(z=1\) 的极点数、采样周期 \(T\)（\(T\) 增大误差增大）。
6. 暂态定性分析：闭环极点在 z 平面的位置决定响应形状。\(|P|\) 决定收敛/等幅/发散，\(P\) 的正负决定变不变号，复数极点决定振不振荡。设计上应把极点放在右半单位圆内、尽量靠近原点。
7. 离散结构图的命门：\(G_1G_2(z)\ne G_1(z)G_2(z)\)，取决于两环节之间有没有采样开关。输入端没有采样开关 → 闭环脉冲传递函数根本不存在。
8. 零阶保持器题的标准开场：\((1-e^{-Ts})\to(1-z^{-1})\) 提出来，分母那个 \(\frac{1}{s}\) 留下来跟对象合并。
9. 朱利判据（二阶）三条：\(D(1)>0\)、\((-1)^nD(-1)>0\)、\(|a_0|<a_n\)。必须三条全列取交集，漏一条就错。
10. z 平面根轨迹：作图规则与连续系统完全相同，判稳分界线换成单位圆；求临界 \(K\) = 求根轨迹与单位圆交点 + 幅值条件。
11. 本讲的通用零件：\(T=1\) 时 \(G(z)=\dfrac{K(0.368z+0.264)}{(z-1)(z-0.368)}\)，临界 \(K\approx2.39\)。

自测（戳穿假懂版）

第 1 题　某离散系统闭环特征方程为 \(z^2+0.5z+1.5=0\)。有人算出 \(K_v=2\)，于是写下 \(e(\infty)=T/2\)。这个答案错在哪？正确答案应该是什么？ - 答案要点：错在没判稳。常数项 \(|a_0|=1.5>a_2=1\)，违反朱利第三条，系统不稳定；也可直接看两根之积模长 \(=\sqrt{1.5}>1\)。正确答案：系统不稳定，稳态误差不存在（不讨论）。 - 答错说明你卡在：第 1 节那条铁律没内化，把"公式能算出数"当成了"答案有效"。这是本讲最高频的失分点。

第 2 题　某单位反馈离散系统 \(G(z)=\dfrac{0.2z}{(z-1)^2(z-0.5)}\)，\(T=0.5\text{s}\)（假设系统稳定）。求它在 \(r(t)=t\) 和 \(r(t)=\frac{1}{2}t^2\) 下的稳态误差。 - 答案要点：分母含 2 个 \((z-1)\) → Ⅱ 型系统。查表：斜坡 → \(e(\infty)=0\)；加速度 → \(e(\infty)=T^2/K_a\)。算 \(K_a=\lim_{z\to1}(z-1)^2G(z)=\lim_{z\to1}\dfrac{0.2z}{z-0.5}=\dfrac{0.2}{0.5}=0.4\)，故 \(e(\infty)=\dfrac{0.5^2}{0.4}=\dfrac{0.25}{0.4}=0.625\)。 - 答错说明你卡在：（a）不会数型次（去数分子或闭环分母了）；（b）忘了分子上的 \(T^2\)，写成 \(1/K_a=2.5\)；（c）代入 \(T\) 时忘了平方。

第 3 题　两个离散系统闭环极点分别是 \(P_1=0.6\) 和 \(P_2=-0.6\)。都稳定吗？两者的阶跃响应看起来有什么不同？哪个更适合做设计目标？ - 答案要点：\(|P|=0.6<1\)，两个都稳定。但 \(P_1=0.6\) 的暂态分量是 \(0.6^k\)，恒正、单调衰减；\(P_2=-0.6\) 的暂态分量是 \((-0.6)^k\)，正负交替、锯齿状衰减。衰减快慢一样（模相同），但品质不同。据 PPT 幻灯片 76，应把极点放在右半单位圆内，故 \(P_1\) 更好。 - 答错说明你卡在：用连续系统"实极点不振荡"的直觉硬套离散系统，没理解 \(P^k\) 在 \(P<0\) 时会变号。这是离散系统独有的现象。

第 4 题　某离散系统的结构图中，输入 \(r(t)\) 直接接到 \(G_1(s)\)，两者之间没有采样开关；\(G_1\) 之后有一个采样开关，再接 \(G_2(s)\)；输出端有采样。问：能不能写出闭环脉冲传递函数 \(\Phi(z)=C(z)/R(z)\)？为什么？ - 答案要点：不能。 因为输入与第一个环节之间没有采样开关，\(r(t)\) 从未被单独采样，\(R(z)\) 无法从表达式中"提出来"，最终只能得到形如 \(RG_1(z)\) 的整体项，除不掉。此时只能求 \(C(z)\) 的表达式，求不出 \(\Phi(z)\)。 - 答错说明你卡在：把连续系统"任何系统都有传递函数"的经验搬了过来。这是第七章最本质的一处差异，也是北方工大 T8 反复考的点。

第 5 题　二阶离散系统特征方程为 \(z^2+(0.5K-1)z+(0.1K+0.2)=0\)。求使系统稳定的 \(K\) 范围。 - 答案要点：三条全列。\(D(1)=1+0.5K-1+0.1K+0.2=0.6K+0.2>0\Rightarrow K>-1/3\)；\(D(-1)=1-0.5K+1+0.1K+0.2=2.2-0.4K>0\Rightarrow K<5.5\)；\(|0.1K+0.2|<1\Rightarrow -12<K<8\)。交集：\(-1/3<K<5.5\)（若题目限定 \(K>0\)，则 \(0<K<5.5\)）。 - 答错说明你卡在：（a）只列了一两条条件；（b）第三条忘了取绝对值只解了一边；（c）忘记最后取交集，把某一条的结果直接当答案。

第 6 题（概念题）　为什么"采样周期 \(T\) 越大，稳态误差越大"？用一句物理语言解释，不许只说"因为公式里 \(e(\infty)=T/K_v\) 分子有 \(T\)"。 - 答案要点：采样周期越长，控制器"睁眼看"系统的次数越少，两次采样之间控制量被零阶保持器冻结不变、系统实际上处于开环运行状态，丢失的信息越多，纠偏越滞后，所以跟踪精度越差。（公式里的 \(T\) 只是这件事的数学结果，不是原因。） - 答错说明你卡在：只会背公式不理解机理——而《考点分析》p001 把"离散稳态误差的因素"列为简答题常考点，简答题要的正是机理，背公式拿不到分。

知识地图

向前串（这一讲依赖什么） - 第 2 章：传递函数、结构图化简、梅森公式（例题 1 直接用，只是加了"采样开关"这一层新规矩）、部分分式展开（例题 2 第一问求 z 变换靠它）。 - 第 3 章：稳态误差、系统型次、静态误差系数 \(K_p/K_v/K_a\)、终值定理——本讲第 2-4 节整体就是这一套的"离散翻译版"，一一对应。三种典型输入（阶跃/斜坡/加速度）也来自第 3 章。 - 第 3 章：暂态性能指标（超调量、峰值时间、调节时间、上升时间）——第 5 节直接沿用同一套指标，只是改成从离散序列上"数"出来。 - 第 4 章：根轨迹的全套绘制规则（实轴上的段、分离点公式、幅值条件、相角条件、两极点一零点时轨迹为圆）——例题 3 原封不动照搬，只换了画布。 - 第 5 章：稳定裕度与滞后的关系——解释了 5.3 节"零阶保持器为什么让性能变差"。 - 第 16 讲（第七章前半）：z 变换、\(z=e^{sT}\) 映射、单位圆判稳、朱利判据、双线性变换、脉冲传递函数、\(G_1G_2(z)\ne G_1(z)G_2(z)\)。本讲全程都在用。

横向串（本章内部的关系）

建模（脉冲传递函数）
   │  ——— 必须先做对，否则后面全废
   ├──→ 稳定性（极点在单位圆内 / 朱利 / 双线性+劳斯）
   │        │  ——— 必须先稳定
   │        ├──→ 稳态误差（终值定理 / 静态误差系数）  ← 考试主力
   │        └──→ 暂态性能（z 反变换定量 / 极点位置定性）← 考得少
   └──→ 设计（最少拍 D(z)）← 几乎不考

另外一条横线：根轨迹（第 4 章工具） 可以同时服务于"稳定性"（找与单位圆的交点 = 临界 \(K\)）和"暂态"（看极点跑到哪 = 响应什么形状），它是把这几块粘起来的胶水。

向后串（这一讲通向哪） - 第 8 章非线性系统：与本章并列，是 851 大题的另一个常考板块（据《考点分析》p001，常考大题包括"时域分析、校正、根轨迹、离散、非线性、Bode 图"）。两章没有直接依赖关系，但都属于"跳出经典线性连续框架"的部分。 - 实际工程：本讲的全部内容就是"用计算机做控制器"的理论基础。你手机里的电机控制、无人机的姿态环，跑的都是差分方程、判的都是单位圆。第 5.3 节那两条（采样器和零阶保持器让性能变差）解释了为什么工程上要拼命提高采样率。

一句话定位：第 16 讲教你"怎么在离散世界里活下来（建模 + 判稳）"，第 17 讲教你"活下来之后活得好不好（准不准 + 过程漂不漂亮）"，两讲合起来就是完整的第七章。