零、开讲前:前面几章的名词,一句话速记

这一讲会直接使用下面这些第2、3章的名词。零基础别硬撑,先把这张表扫一遍;要展开看,去上面 front-matter 里链的预备知识文档。

第10讲 频域分析法:从"给系统摇正弦"开始

这一讲是整个第五章的总入口 + 画图方法课。老师这一讲没有做题,是把第五章的地图铺开,然后重点讲了两张图怎么画:波德图(Bode图) 和 奈奎斯特曲线(Nyquist图)。

先说句实话:第五章是很多跨考生真正开始崩的一章。原因不是它比根轨迹难,而是它一上来抛出的名词密度极高——频率特性、幅频、相频、对数坐标、转折频率、渐近线、型别、最小相位、谐振峰值……每一个都不解释就往下滚,人就废了。所以这一讲我会走得很慢,名词一个一个拆。你第一遍看不懂很正常,卡点通常在"为什么可以把 \(s\) 换成 \(j\omega\)"和"对数坐标的横轴为什么没有0"这两处。

一、先回答:我们为什么还要再学第三种方法?

1.1 三块基石:同一个问题的三种语言

【补前置】经典控制理论的三大分析方法,你前面已经学了两个:

三种方法分析的目标完全一样:稳(会不会发散)、快(反应快不快)、准(最后准不准)。差别只在"用什么语言描述这个系统"。

【补前置】"稳、快、准"是自控里对系统性能的三字口诀: - 稳 = 系统受到扰动后会不会自己收敛下来,而不是越晃越大; - 快 = 从被输入指令到基本跟上,花多长时间; - 准 = 稳定下来以后,输出和你要的值差多少(稳态误差)。

1.2 频域法凭什么多存在一个?——它能对付"黑箱"

【难点·这是第五章存在的理由,很多人从来没搞懂】

时域法和根轨迹法有一个硬前提:你得先知道系统内部长什么样,才能列微分方程、写出传递函数。可现实中很多设备,你根本拆不开、也列不出方程(比如一台买来的伺服机构、一段化工管路)。

【补前置】黑箱系统:只能看到"输入进去什么、输出出来什么",内部结构不知道的系统。像一个封死的盒子。

频域法的做法是:不拆盒子,只对它做实验。给输入端加一个正弦信号(频率可调),记录输出端出来什么,把频率从低到高扫一遍,画成曲线——这条曲线本身就是这个系统的数学模型。

据PPT第5章开头列出的频率响应法三条优点(要点转述): 1. 频率特性物理意义明确,可以用实验方法确定,对难以列写微分方程的元部件/系统意义重大; 2. 主要通过开环频率特性的图形分析系统,形象直观、计算量小; 3. 不仅适用于线性定常系统,还适用于纯滞后系统和部分非线性系统的分析。

【补前置】纯滞后系统:输入变了以后,输出要过一段固定时间 \(\tau\) 才开始跟着变,像"传送带运货"——货从这头放上去,要走 \(\tau\) 秒才到那头。数学上写成 \(e^{-\tau s}\)。它不是有理分式(分子分母都是多项式的那种),所以时域法和根轨迹法处理起来很别扭;但在频域里它只是"幅值不变、相角随频率线性滞后"(\(e^{-j\tau\omega}\) 的模恒为 1,辐角为 \(-\tau\omega\)),特别好办。这也是频域法的一大优势。 【补前置】非线性系统:不满足"输入放大 2 倍、输出也正好放大 2 倍"的系统。常见的非线性有饱和(放大器推到头了再加输入也不涨)、死区(输入太小根本推不动)、间隙(齿轮咬合有旷量)。第8章专门讲,处理办法(描述函数法)本质上就是把非线性环节等效成一个"随幅值变化的增益",再用本章的 Nyquist 曲线去判。

【补前置】线性定常系统:"线性"= 满足叠加(输入放大2倍,输出也放大2倍);"定常"(也叫时不变)= 系统自己的参数不随时间变,今天做实验和明天做实验结果一样。本章默认讨论的都是这种。

【你可能会以为】既然频域法能对付黑箱,那它一定更高级、更万能。 但其实频域法在考研里绝大多数题目仍然是"给你传递函数,让你画图"——即结构已知。黑箱那条路解释的是"这套方法为什么合理",考试真正考的是画图和判稳。 因为教学上先讲清"频率特性是系统固有属性"这件事,后面所有图形才站得住脚。

二、频率特性:这一章唯一的地基

2.1 先看那个实验现象

对一个稳定的线性定常系统,输入一个正弦:

【这式子在说什么】给系统输入一个上下摆动的信号,像手推秋千一样匀速地推。 - \(r_m\):输入正弦的振幅(摆多大),常数; - \(\omega\):角频率,单位 rad/s,表示摆得多快。\(\omega\) 越大,摆动越急促; - \(t\):时间。

【怎么用】这就是频域法的"探针信号",相当于第3章用阶跃信号试探系统,这里改用正弦。

实验结果(这是全章的出发点):等过渡过程结束、系统进入稳态后,输出仍然是同一个频率 \(\omega\) 的正弦,只有两件事变了: 1. 幅值被放大或缩小了; 2. 相位被移动了(输出比输入"晚一点"或"早一点"到达峰值)。

【补前置】相位:正弦波在一个周期里"走到哪儿了"。两个同频正弦相比,峰值出现的时刻错开,就叫有相位差。输出峰值比输入峰值来得晚,叫相位滞后(记为负角度)——真实的物理系统因为有惯性,几乎总是滞后。

【补前置】稳态分量与瞬态分量——先用大白话说结论:给系统摇正弦,输出可以拆成两部分,一部分会自己消失,另一部分永远留下。会消失的那部分是系统"被惊动了一下"的余震,叫瞬态分量;永远留下的那部分是一个和输入同频率的正弦,叫稳态分量。频域分析法从头到尾只关心后者。

下面把 PPT 上那条式子拆开看(据PPT 幻灯片6),你不必会推,但要知道每个符号是谁: $\(C(s)=\Phi(s)R(s)\ \xrightarrow{\ \text{部分分式展开}\ }\ c(t)=\underbrace{A_1e^{s_1t}+\cdots+A_ne^{s_nt}}_{\text{瞬态分量:会消失}}+\underbrace{B_1e^{j\omega t}+B_2e^{-j\omega t}}_{\text{稳态分量:留下的正弦}}\)$ - \(\Phi(s)\):闭环传递函数(大写希腊字母 Phi,读"斐")。第2章学过:带反馈接好之后,整个闭环系统"输出的拉氏变换 ÷ 输入的拉氏变换"。这里用闭环是因为我们看的是整个系统的实际输出。 - \(R(s)\)、\(C(s)\):输入 \(r(t)\)、输出 \(c(t)\) 的拉氏变换。乘法 \(C=\Phi R\) 就是"输出 = 系统 × 输入",在 \(s\) 域里是一个简单乘法,这正是当初引入传递函数的好处。 - 部分分式展开:把一个分母能因式分解的分式,拆成好几个简单分式相加,例如 \(\dfrac{1}{s(s+1)}=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+1}\)。目的是拆完之后每一项都能直接查拉氏变换表反变换回时域。第3章求阶跃响应时已经用过这一招。 - \(s_1,\cdots,s_n\):系统自身的极点,即 \(\Phi(s)\) 分母等于零的那些 \(s\) 值。它们决定余震怎么衰减:实部为负 → \(e^{s_it}\) 随时间趋于 0(所以稳定系统的瞬态分量必然消失)。 - \(A_1,\cdots,A_n\) 和 \(B_1,B_2\):待定系数,部分分式展开时算出来的常数,决定每一项的"份额有多大"。考试里这一讲不需要你去算它们。 - \(\pm j\omega\):输入正弦自己带来的一对极点(正弦 \(\sin\omega t\) 的拉氏变换分母是 \(s^2+\omega^2\),根就是 \(\pm j\omega\))。它们在虚轴上,实部为 0,所以 \(e^{\pm j\omega t}\) 既不衰减也不发散,永远等幅摆着——这就是稳态正弦的来源。

【怎么用】记住一句话就够:输出 = 会消失的那部分 + 永远留下的那个同频正弦,而"频率响应""频率特性"讲的全是后者。

【难点】"系统稳定"这个前提不能丢。若系统不稳定,瞬态分量是发散的,根本没有"稳态正弦"可谈。教材讨论频率特性时默认已经稳定;而后面用 Nyquist 判据判稳,判的是闭环稳不稳,画图用的是开环特性,两者不矛盾。

2.2 频率特性的定义

把"幅值改变多少、相位改变多少"这两件事,写成频率 \(\omega\) 的函数,就叫频率特性:

【这式子在说什么】一句话:频率特性是一个复数,它的模长告诉你"放大几倍",它的辐角告诉你"相位挪了多少度";而这两件事都随频率 \(\omega\) 变。 - \(A(\omega)=|G(j\omega)| = \dfrac{C_m}{r_m}\):幅频特性,输出正弦幅值 \(C_m\) 与输入正弦幅值 \(r_m\) 之比。它是个纯数(倍数),没有单位; - \(\varphi(\omega) = \angle G(j\omega)\):相频特性,输出相位减去输入相位,单位是度或弧度,一般为负; - \(e^{j\varphi}\):把"转 \(\varphi\) 角"这件事写成复数的记号。

【怎么用】拿到 \(G(j\omega)\) 后,分别求模和辐角,就得到两条曲线:\(A(\omega)\) 对 \(\omega\)、\(\varphi(\omega)\) 对 \(\omega\)。第五章所有图都是这两条曲线的不同画法。

【补前置·复数够用版】(这一小块补齐,你就能算全章的题) - 复数 \(z=a+jb\),\(j\) 是虚数单位,\(j^2=-1\)。可以想象成平面上一个点/箭头:横坐标 \(a\)(实部),纵坐标 \(b\)(虚部); - 模(长度):\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\),对应"放大倍数"; - 辐角(箭头和正实轴的夹角):\(\angle z=\arctan(b/a)\),对应"相位"; - 两个复数相乘:模相乘、角相加。这条是本章画图能"逐环节叠加"的全部原因,一定要记牢; - 相除:模相除、角相减; - 常用值:\(\dfrac{1}{j}=-j\)(模为1,角为 \(-90^\circ\))。所以一个积分环节 \(\dfrac{1}{j\omega}\) 就是"角度固定 \(-90^\circ\)"。

【补前置】欧拉公式:\(e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta\)。它只是"长度为1、角度为 \(\theta\) 的箭头"的一种写法。看到 \(Ae^{j\varphi}\) 就读成"长度 \(A\)、方向 \(\varphi\)",不必怕。

2.3 为什么可以直接把 \(s\) 换成 \(j\omega\)?

【难点·这是本讲第一个真正的坎】

结论人人会背:把传递函数 \(G(s)\) 里的 \(s\) 换成 \(j\omega\),就得到频率特性 \(G(j\omega)\)。 但为什么?

先补两件前置:

【补前置】传递函数 \(G(s)\):第2章学的,零初始条件下输出的拉氏变换比输入的拉氏变换。它是"把微分方程翻译成代数式"的产物——微分方程里的求导符号 \(\dfrac{d}{dt}\) 换成 \(s\),方程就变成了乘法和加法。

【补前置】复变量 \(s\):\(s=\sigma+j\omega\),它同时描述"衰减/发散的快慢(\(\sigma\))"和"振荡的快慢(\(\omega\))"。

现在看:正弦输入是等幅振荡——它既不衰减也不发散,所以对应 \(\sigma=0\),也就是 \(s=j\omega\),即 \(s\) 平面上的整条虚轴。

所以"\(s\to j\omega\)"不是一个记忆技巧,它的含义是:我们只关心系统在虚轴上的表现,因为等幅正弦输入正对应虚轴上的点。 频率特性 = 传递函数在虚轴上的取值。

据PPT 幻灯片11 的另一种定义:在零初始条件下,线性系统在正弦信号作用下,输出与输入的傅氏变换之比 \(G(j\omega)=\dfrac{C(j\omega)}{R(j\omega)}\)。

【补前置】傅氏变换(傅里叶变换):把一个随时间变化的信号,拆成一堆不同频率的正弦波之和,然后告诉你"每个频率上占多少分量"。记号 \(C(j\omega)\) 就是输出信号 \(c(t)\) 里频率为 \(\omega\) 的那份成分有多大、相位是多少(它是个复数)。 它和拉氏变换的关系是:傅氏变换就是拉氏变换令 \(\sigma=0\) 的特例。拉氏变换用的是 \(s=\sigma+j\omega\)(既管衰减又管振荡),把 \(\sigma\) 取成 0 只留虚轴,\(s\) 就变成了纯粹的 \(j\omega\),拉氏变换就退化成傅氏变换。 【所以】"\(G(j\omega)\) 是两个傅氏变换之比"和"把 \(G(s)\) 里的 \(s\) 换成 \(j\omega\)",讲的是同一件事:前者是从信号角度说(只看正弦成分),后者是从模型角度说(只取虚轴上的值),而"只看正弦成分"="只取虚轴",因为 \(\sigma=0\) 正是等幅正弦。

【你可能会以为】\(G(j\omega)\) 是"另一个新模型",要重新推。 但其实它和微分方程、传递函数是同一个系统的三种语言,信息量完全一样,可以互相翻译: 微分方程 --(把 \(d/dt\) 换成 \(s\))--> 传递函数 --(把 \(s\) 换成 \(j\omega\))--> 频率特性。 因为它们描述的都是这个系统"固有的输入输出关系",与你拿什么信号去试无关。

【难点·最容易被忽略的一句话】\(A(\omega)\) 和 \(\varphi(\omega)\) 是系统的固有属性。你换个幅值更大的输入正弦,输出幅值也按同比例变大,比值 \(A(\omega)\) 不变。这就是为什么它有资格叫"数学模型"。

三、第五章的知识地图(先看全景再钻细节)

老师这一讲的前半段就是在铺这张图。我把它整理成一句话链条:

频率特性(模型) → 画三种曲线(手段) → 分析稳、准、快(目的)

3.1 三种开环频率特性曲线

另外老师提到闭环频率特性曲线、等M圆、等N圆:据转录原话,这类内容"在第五版教材中已经出现得很少,考试中几乎见不到",可以不掌握。(这里不是我替你删,是老师明确判定的低优先级;写出来是让你知道存在过什么,不是被我省略了。)

3.2 三个分析目的分别落在哪

• 稳(两层):① 绝对稳定——第5.4节 奈奎斯特稳定判据,用开环的 Bode 图或 Nyquist 曲线,看它对 0 dB 线(Bode)或负实轴上 \((-1, j0)\) 点(Nyquist)的穿越情况,判定闭环系统稳不稳(是与不是);② 相对稳定——用稳定裕度衡量"离不稳定还有多远",分两个:相角裕度 \(\gamma\) 和 幅值裕度 \(h\)。
• 准:看 Bode 低频段——由开环增益 \(K\) 和系统型别 \(\nu\) 决定,而这两个量在第3章就是决定稳态误差的量(见 3.3 低频段)。
• 快 / 平稳:时域的超调量 \(\sigma\%\) ↔ 频域的谐振峰值 \(M_r\);时域的调节时间 \(t_s\)、上升时间 \(t_r\) ↔ 频域的带宽频率 \(\omega_b\)、谐振频率 \(\omega_r\)、截止频率 \(\omega_c\)。

【补前置·这三个名词现在就定义清楚,后面到处用】 - 截止频率 \(\omega_c\)(也叫剪切频率、幅值穿越频率):开环幅值恰好等于 1 的那个频率,即 \(A(\omega_c)=1\),换成分贝就是 \(L(\omega_c)=0\) dB。在 Bode 幅频图上就是曲线和 0 dB 线相交的那一点的频率。它衡量"系统还能放大到多高的频率",\(\omega_c\) 越大系统响应越快。 - 带宽频率 \(\omega_b\):这是闭环指标。闭环幅频从低频值开始往下掉,掉到比低频值低 3 分贝(即幅值降到约 0.707 倍)时对应的频率就是 \(\omega_b\)。含义:频率低于 \(\omega_b\) 的指令系统基本跟得上,高于它就跟不动了。所以 \(\omega_b\) 越大 → 跟得上越快的变化 → 时域上 \(t_s\)、\(t_r\) 越小。 - 穿越:曲线跨过某条基准线/某段射线的动作。Bode 图里是幅频曲线跨过 0 dB 线;Nyquist 图里是曲线跨过 \((-1,j0)\) 点左边那段负实轴。跨的方向要分:相角由上往下减小地跨过叫负穿越,由下往上增大地跨过叫正穿越——第5.4节判稳时要数正负穿越的次数,这里先记住"穿越 = 跨过那条线,还要看方向"。

【你可能会以为】\(\gamma\) 在这一讲从头到尾是同一个量。 但其实这一讲里 \(\gamma\) 只表示相角裕度(单位是度);而"系统型别"(积分环节个数)我全讲统一写成 \(\nu\)。 因为很多教材(包括不少习题册)用 \(\gamma\) 同时表示这两个完全不同的东西,零基础极易张冠李戴——看到"\(\gamma=2\)"要先分清是"2 个积分环节"还是"相角裕度 2 度"。本讲约定:型别一律 \(\nu\)(有的书写 \(\gamma\)),相角裕度一律 \(\gamma\)。

【直觉】为什么时间和频率能对上?——跑得快 = 用时短 = 能跟得上高频的指令。所以时域"时间短"对应频域"频率高",这两套指标是同一件事的两种刻度。

老师明确了掌握边界:一、二阶系统的时域指标与频域指标之间有准确公式可用;三阶以上不要求记经验公式,只要求了解定性对应关系。

3.3 三频段概念(定性分析,必须掌握)

把 Bode 幅频曲线从左到右分成三段:

• 低频段(第一个转折频率以左):由 \(K\) 和系统型别 \(\nu\) 决定 → 这两个量在第3章就是决定稳态误差的量 → 所以低频段反映控制精度。低频段抬得越高、斜率越陡(型别越高),稳态精度越好。
• 中频段(跨过 0 dB 线的那一段):反映动态性能(快速性与平稳性)。老师说最佳形态是 "—2 —1 —2":与低频段衔接处斜率 \(-40\) dB/dec,穿越 0 dB 线时斜率 \(-20\) dB/dec,再接 \(-40\) dB/dec。这样响应较快且平稳性较好。 【补前置】这里"—1、—2"是工程简写:"—1"指 \(-20\) dB/dec,"—2"指 \(-40\) dB/dec。 【难点】为什么穿越 0 dB 必须是 \(-20\)?粗略理解:斜率越陡,相角滞后越大(最小相位系统里幅值和相角是绑定的),穿越处滞后太大就意味着相角裕度小、系统发飘发振。这条在第6章校正里是设计目标,一定会再遇到。
• 高频段(最大转折频率以右):斜率下降得越快,系统对高频噪声的抑制能力越强。 【补前置】噪声:混在信号里的、你不想要的高频干扰。高频段幅值压得越低,噪声传到输出的就越少。

据PPT 幻灯片74 对三频段的划法:"第一个转折频率为低频区,最大转折频率为高频区,跨接 0dB 轴的频段是中频段",与老师讲法一致。

四、Bode图(对数幅频特性)的画法——本讲的核心技能

考点分析里对这一块的原文是:"Bode图:很喜欢考……出过给图求参数的题,也出过给表达式画图的题,这两种正过来反过去求都需要掌握。\(G(s)\) 需要化成尾一型……求相角裕度和幅值裕度考察的也挺多"(据 26北方工业大学专业课考点分析_p006.md)。所以这一节是硬骨头,必须啃。

4.0 先搞懂坐标纸:对数坐标

【难点·零基础第一次看 Bode 图必懵的地方】

横轴:标的是频率 \(\omega\),但按 \(\lg\omega\) 均匀分度。也就是说,横轴上等距离的两点,频率是10倍关系,不是相差固定值。典型刻度:0.01、0.1、1、10、100……每一格叫一个十倍频程(dec, decade)。

【补前置】对数 \(\lg x\):问"10的几次方等于 \(x\)"。\(\lg 1=0\),\(\lg 10=1\),\(\lg 100=2\),\(\lg 0.1=-1\)。所以 \(\omega=1\) 这一点在横轴上对应 \(\lg\omega=0\),是坐标原点位置。

【你可能会以为】横轴上应该有 \(\omega=0\) 这个点。 但其实对数横轴上永远没有0,因为 \(\lg 0=-\infty\),零频要跑到无穷远的左边。 因为对数分度的本意就是"把低频拉开、把高频压缩",好让从 0.01 到 1000 这么宽的范围画在一张纸上。据PPT 幻灯片(讲对数坐标优点处)原话:"可以展宽低频率段,压缩高频率段"。

【难点·刻度不均匀】在同一格内,2、3、4……的位置不是均分的。例如 \(\omega=20\) 位于 10 与 100 之间约 \(\lg 2=0.301\) 处,即这一格约 30% 的位置——老师在讲例题时说的"20 在 10 和 100 的 30% 左右"就是这个意思。

纵轴(幅值):用分贝(dB): $\(L(\omega) = 20\lg A(\omega)\ \ (\text{dB})\)$ 【这式子在说什么】把"放大倍数"换算成分贝这把尺子。 - \(A(\omega)\):放大倍数(纯数);\(L(\omega)\):它的分贝值。 - 关键换算:\(A=1\Rightarrow L=0\) dB(不放大不缩小);\(A=10\Rightarrow 20\) dB;\(A=0.1\Rightarrow -20\) dB;\(A=2\Rightarrow 20\lg2\approx 6\) dB。 【怎么用】所有 Bode 幅频图的纵坐标都是它。0 dB 线就是"输出幅值 = 输入幅值"这条分界线,后面判稳、算截止频率全靠它。

为什么要取对数? 因为串联环节的幅值是相乘的,取对数后变成相加——曲线可以一段一段折线拼起来画。相角本来就是相加。这就是 Bode 图能"分段直线近似"的根本原因。

4.1 第一步:化成"尾一型"标准形式

【难点·这一步错了后面全错,考点分析专门点名】

【补前置】尾一型(也叫时间常数形式):把每个因式写成常数项为 1 的样子,例如 \((Ts+1)\)、\((\tau s+1)\)、\(\left(\dfrac{s^2}{\omega_n^2}+\dfrac{2\zeta}{\omega_n}s+1\right)\)。 首一型(零极点形式)是根轨迹用的:\((s+p)\) 这种最高次项系数为1的写法。

例:\(\dfrac{10}{s(s+2)}\) 是首一型;化尾一型要把 2 提出来:\(\dfrac{10}{2s(0.5s+1)}=\dfrac{5}{s(0.5s+1)}\)。注意开环增益 \(K\) 从 10 变成了 5——这就是不化尾一型最常见的丢分点:\(K\) 取错,\(20\lg K\) 就错,整条低频线位置全错。

考点分析原文强调:"不管是幅频还是相频都需要化成尾一型"(据 p006.md)。

化完后一般形式: $\(G(s)=\frac{K\prod(\tau_i s+1)}{s^{\nu}\prod(T_j s+1)\cdots}\)$ - \(K\):开环增益,决定低频段高度; - \(\nu\)(有的书写 \(\gamma\),但本讲 \(\gamma\) 专留给相角裕度,见 3.2):系统型别,就是分母中 \(s\) 的个数,即积分环节的个数; - \(T_j,\tau_i\):时间常数,单位秒,反映该环节反应的快慢。

【补前置】积分环节 \(1/s\):在时域里表示"对输入做累加"。给它一个恒定输入,它的输出会一直线性涨上去。这就是为什么有积分环节的系统能把某类稳态误差消掉——只要还有误差,积分就一直累加、一直推,直到误差为零才停。型别 \(\nu\) = 积分器个数,第3章算稳态误差时已经用过。

4.2 完整绘制步骤(据PPT 幻灯片73、74,结合老师讲解顺序整理)

1. 写出开环频率特性表达式,化成典型环节(尾一型)形式;
2. 计算 \(20\lg K\),找出点 \((\omega=1,\ 20\lg K)\),这是低频渐近线所过的点;低频渐近线斜率为 \(-20\nu\) dB/dec;
3. 把各环节的转折频率由小到大标到横轴上;
4. 每经过一个转折频率,斜率改变一次,改变量由该转折频率对应的环节类型决定:
5. 遇到惯性环节 \((Ts+1)^{-1}\):斜率变化 \(-20\) dB/dec;
6. 遇到一阶微分(比例微分)环节 \((\tau s+1)\):斜率变化 \(+20\) dB/dec;
7. 遇到振荡环节 \((T^2s^2+2T\zeta s+1)^{-1}\):斜率变化 \(-40\) dB/dec;
8. 遇到二阶微分环节:斜率变化 \(+40\) dB/dec;
9. 分段:第一个转折频率以左为低频区,最大转折频率以右为高频区,跨接 0 dB 轴的是中频段;
10. 对振荡环节及二阶微分环节,当 \(\zeta<0.707\) 时要进行修正(见 4.4)。

【补前置】转折频率(也叫交接频率、转角频率):某个环节"开始起作用"的频率。对惯性环节 \(\dfrac{1}{Ts+1}\),转折频率 \(\omega=\dfrac{1}{T}\);对 \((\tau s+1)\),是 \(\dfrac{1}{\tau}\);对振荡环节,是 \(\omega_n=\dfrac{1}{T}\)。 物理含义:频率低于它时该环节几乎不影响幅值(曲线是水平的 0 dB);高于它以后该环节开始"拖后腿",幅值往下掉。

【补前置】惯性环节:\(\dfrac{1}{Ts+1}\)。生活类比:一个装了温水的大锅,你猛地加大火(输入突变),锅温不会立刻跳上去,而是慢慢爬。\(T\) 越大越"迟钝"。它对慢变化(低频)跟得上,对快变化(高频)跟不上——这正是幅频曲线过转折频率后往下掉的物理原因。

4.3 低频渐近线为什么是那样?——把它推明白,不要背

低频时,所有 \((Ts+1)\approx 1\)(因为 \(\omega T\ll 1\)),于是 $\(G(j\omega)\approx \frac{K}{(j\omega)^{\nu}}\)$ 取分贝: $\(L(\omega)=20\lg K-20\nu\lg\omega\)$ 【这式子在说什么】在对数横轴上(\(\lg\omega\) 作自变量),这是一条直线:截距是 \(20\lg K\)(在 \(\omega=1\) 即 \(\lg\omega=0\) 处),斜率是 \(-20\nu\) dB/dec。 【怎么用】所以低频线的画法就是"过 \((1,\ 20\lg K)\)、按 \(-20\nu\) 斜率画"——不是记忆,是这条式子直接给的。

【难点·极易错】老师特别提醒:只有当最小的转折频率大于 1 时,\((1,20\lg K)\) 这一点才真正落在低频渐近线上;若最小转折频率小于 1,这一点落在低频渐近线的延长线上。 据PPT 幻灯片79 的对应表述:"1型及以上系统,低频渐近线或其延长线……"。做题时务必用"延长线"去定位,不要以为该点一定在实际折线上。

PPT 幻灯片79 还给了反求 \(K\) 的两条实用结论: - 0 型系统:低频段任一点 \(L(\omega)=20\lg K\)(低频段是水平线); - 1 型及以上系统:低频渐近线(或其延长线)与 0 dB 线交点的频率为 \(\omega = K^{1/\nu}\)。 【怎么用】给图求传函时,这是求 \(K\) 最快的通道:量出低频线延长线与 0 dB 的交点频率 \(\omega_0\),则 \(K=\omega_0^{\nu}\)。

4.4 二阶(振荡)环节的修正与谐振

渐近线是"折线近似",真实曲线是光滑的,误差最大处出现在转折频率附近。对惯性环节误差不大(转折频率处约 \(-3\) dB),但对振荡环节,当阻尼比很小时误差可以很大,必须修正。

【补前置】振荡环节:\(\dfrac{1}{\dfrac{s^2}{\omega_n^2}+\dfrac{2\zeta}{\omega_n}s+1}\)。\(\omega_n\) 是无阻尼自然振荡频率(系统"天生"想振的频率),\(\zeta\)(阻尼比)描述"阻尼大不大":\(\zeta\) 越小越容易晃、晃得越久。第3章二阶系统那套符号,这里原样搬过来。

(1) 转折频率处的幅值偏差。据PPT 幻灯片53,最大误差出现在 \(\omega=\omega_n=\dfrac{1}{T}\) 处: $\(L(\omega_n)= -20\lg(2\zeta)\)$ 【这式子在说什么】真实幅值(dB)与渐近线在 \(\omega_n\) 处的差值。 - \(\zeta<0.5\) 时 \(2\zeta<1\),该值为正,真实曲线在渐近线上方(鼓一个包); - \(\zeta>0.5\) 时在下方。 【怎么用】PPT 给的实操判据:\(\zeta<0.707\) 必须修正,\(\zeta>0.707\) 可不修正;\(\zeta\) 越小包越大。

【难点·两个环节方向相反,必须写死记住,别混】把两条结论并排放:

【为什么】二阶微分环节就是振荡环节取倒数。复数取倒数 → 模取倒数 → 分贝值变号。所以两者的修正量大小相同、符号相反:振荡环节鼓多高,二阶微分就凹多深。\(\zeta<0.5\) 时 \(2\zeta<1\),\(1/(2\zeta)>1\) 是放大(正 dB),\(2\zeta<1\) 是衰减(负 dB)。

【难点】"\(A(\omega_n)=\dfrac{1}{2\zeta}\)"(振荡环节)和"\(L=-20\lg 2\zeta\)"是同一件事:前者是倍数,后者是它的分贝值。别把两套单位混着用,更别把倍数 \(\dfrac{1}{2\zeta}\) 安到二阶微分头上。

【存疑·待核】本讲字幕在这一处的语音识别很糊(出现"高了二倍的可1c""小二倍的1CC"这类无法还原的串),无法确定老师原话把"高/低"分给了哪个环节。以 PPT 幻灯片53 为准:该页给的是振荡环节在 \(\omega=\omega_n\) 处的误差 \(L(\omega)=-20\lg(2\zeta)\),并明确"\(2\zeta<1\) 在 0dB 线上边,\(2\zeta>1\) 在 0dB 线下边";二阶微分作为其倒数取相反符号(这一步是按倒数关系推出的,PPT 未单列该页)。

(2) 谐振。据PPT 幻灯片49,令 \(\dfrac{dA(\omega)}{d\omega}=0\) 求得:

【补前置·导数,这一小块够用就行】\(\dfrac{dA(\omega)}{d\omega}\) 读作"\(A\) 对 \(\omega\) 的导数",意思是:当频率 \(\omega\) 稍微往右挪一点点时,幅值 \(A\) 是往上升还是往下降、升降得多快。导数为正=曲线在上升,为负=在下降,等于 0 = 既不升也不降,正是曲线爬到最高点(或最低点)的那一刻。 所以"令 \(\dfrac{dA}{d\omega}=0\) 解出 \(\omega\)"这句话的人话版本是:找出幅值曲线爬到顶的那个频率,它就是谐振频率 \(\omega_r\)。 【考试尺度】这个求导过程你不必自己推,考研只要求会用结论。下面两条式子直接记住并会代数就行。 $\(\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2},\qquad M_r=A(\omega_r)=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\)$ 适用范围:\(0<\zeta\le \dfrac{\sqrt2}{2}\approx0.707\)。

【这两式在说什么】 - \(\omega_r\) 谐振频率:幅值被放得最大的那个输入频率,单位 rad/s。老师明说这个公式要求记住。 - \(M_r\) 谐振峰值:那个最大放大倍数。式子告诉你 \(M_r\) 只与阻尼比 \(\zeta\) 有关,与 \(\omega_n\) 无关。 - \(\zeta\) 越小 → \(M_r\) 越大 → 振荡越剧烈 → 相对平稳性越差。这正是它对应时域超调量 \(\sigma\%\) 的原因。

【补前置】谐振的生活类比:推秋千。你推的节奏恰好和秋千固有节奏合拍时,幅度会被放到最大。\(\omega_r\) 就是那个"合拍频率"。

【难点·PPT 明确点出的易错点】"最大谐振峰值不是发生在交接频率处,比它小"。即 \(\omega_r<\omega_n\)——从 \(\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\) 也能直接看出根号里小于 1。很多人默认峰值就在 \(\omega_n\),错。

【难点】\(\zeta>\dfrac{\sqrt2}{2}\) 时 \(A(\omega)\) 单调下降,根本不出现谐振(据PPT 幻灯片50)。所以谐振公式不能无脑套,先看 \(\zeta\)。

4.5 相频曲线怎么画

相角是叠加的:整个系统的相角 = 各典型环节相角之和。 $\(\varphi(\omega)=\varphi_1(\omega)+\varphi_2(\omega)+\cdots+\varphi_n(\omega)\)$ 【这式子在说什么】因为串联环节的频率特性是相乘,而复数相乘角度相加(见 2.2 补前置)。 常用值:比例 \(K\) 贡献 \(0^\circ\);每个积分 \(1/s\) 贡献恒定 \(-90^\circ\);惯性环节从 \(0^\circ\) 变到 \(-90^\circ\)(在转折频率处正好 \(-45^\circ\));一阶微分从 \(0^\circ\) 到 \(+90^\circ\);振荡环节从 \(0^\circ\) 到 \(-180^\circ\)(\(\omega=\omega_n\) 处 \(-90^\circ\))。

应试尺度(老师原话的要点转述):幅频曲线必须能准确绘制;相频曲线只要能大致画出,在关键点(如转折点)加以修正即可。

4.6 最小相位系统

【补前置】最小相位环节/系统:据PPT 幻灯片(讲最小相位处)的定义,由最小相位环节构成的系统叫最小相位系统;只要含有一个非最小相位环节,就是非最小相位系统。判别落地说法是:开环传递函数的零点和极点全部位于 \(s\) 左半平面(不含右半平面的零、极点)。含右半平面零点的如 \((1-\tau s)\)、含右半平面极点的、以及纯滞后环节,都是非最小相位。

【补前置】零点/极点:传递函数分子等于零的 \(s\) 值叫零点,分母等于零的 \(s\) 值叫极点。左半平面=实部为负=对应衰减,右半平面=实部为正=对应发散。

关键性质(据PPT 幻灯片:"对于最小相位系统,其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况"): - 最小相位系统:幅频与相角一一对应,只看幅频曲线就能反推传递函数;两条曲线变化趋势相同(老师原话:同增同减、同快同慢)。 - 非最小相位系统:幅值和相位的变化趋势不一致,只看幅频不能唯一确定传递函数,必须结合相频。 - 幅值特性相同时,非最小相位环节(系统)的相角滞后绝对值更大(据PPT 幻灯片:"非最小相位环节相角的绝对值大于最小相位环节")。 - PPT 幻灯片还给出判别提示:"为了确定系统是不是最小相位的,既需要检查对数幅频曲线高频渐近线的斜率,又(需检查相角)"——即高频段斜率与总相角滞后要对得上(\(-20(n-m)\) dB/dec 对应 \(-90^\circ(n-m)\)),对不上就是非最小相位。

【难点·这个"对得上"是怎么来的?这是判非最小相位的核心手法,必须讲透】 先看为什么幅值斜率和相角会绑在一起。频率很高时,分母上每多一个极点(即每多一个惯性环节 \(\dfrac{1}{Ts+1}\)),幅值就多掉 \(-20\) dB/dec、相角就多滞后 \(-90^\circ\)——这两件事是同一个因式贡献的,天然成对。同理分子上每多一个左半平面零点 \((\tau s+1)\),幅值多抬 \(+20\) dB/dec、相角多超前 \(+90^\circ\),也成对。 把它们全加起来:\(n\) 个极点、\(m\) 个零点相互抵消后净剩 \(n-m\) 个"极点效应",于是 $\(\text{高频段斜率}=-20(n-m)\ \text{dB/dec},\qquad \varphi(\infty)=-90^\circ(n-m)\)$ 两者由同一个数 \(n-m\) 决定,所以必然对得上。这就是"最小相位系统幅频与相频一一对应"的具体表现。

非最小相位为什么会对不上:右半平面零点写成 \((1-\tau s)\),令 \(s=j\omega\) 得 \(1-j\tau\omega\)。它的模和左半平面零点 \(1+j\tau\omega\) 完全一样(\(\sqrt{1+\tau^2\omega^2}\)),所以幅值照样贡献 \(+20\) dB/dec;但它的辐角是 \(-\arctan(\tau\omega)\),是负的(滞后),而不是左半平面零点那个 \(+\arctan(\tau\omega)\)(超前)。 结果就是:幅值算出来"净剩 \(n-m\) 个极点效应",相角却比 \(-90^\circ(n-m)\) 多滞后了(每个右半平面零点多滞后 \(180^\circ\))。 【怎么用做题】拿到一张 Bode 图:量高频段斜率算出 \(n-m\),再看相频曲线最终停在哪个角度。若相频终值 \(=-90^\circ(n-m)\) → 最小相位;若相频明显比它更滞后 → 必有右半平面零点(或极点、纯滞后),是非最小相位。这正是近年考题"给 Bode 图反求非最小相位传递函数"的入口。

【难点·近年新趋势】老师提到:"近几年考研题中越来越多出现非最小相位系统,利用它的 Bode 图或 Nyquist 曲线求传递函数。" 关键仍在于比例系数 \(K\) 的确定——办法就是 4.3 里那条低频渐近线(或其延长线)过 \((1,20\lg K)\)。

4.7 由图反求传递函数的通用套路(考点原文:"给图求参数"很常见)

1. 看低频段斜率 → 定型别 \(\nu\)(\(0\) 为0型,\(-20\) 为I型,\(-40\) 为II型);
2. 看每个折点处斜率变化量 → 定该处是什么环节(\(-20\) 惯性、\(+20\) 一阶微分、\(-40\) 振荡、\(+40\) 二阶微分),折点频率的倒数就是时间常数;
3. 用定位点 + 折线方程求 \(K\)。

【难点·"折线方程"具体怎么算,这是很多人真正卡住的地方】 一段折线在对数坐标里是直线,满足 $\(\frac{L_2-L_1}{\lg\omega_2-\lg\omega_1}=\text{该段斜率}\)$ 【这式子在说什么】"纵坐标变化 ÷ 横坐标(取对数后)变化 = 斜率",就是初中的直线斜率公式,只不过横坐标换成了 \(\lg\omega\)。 【每个符号】\(L\) 是幅值(dB),\(\omega\) 是频率(rad/s),斜率单位 dB/dec。 【怎么用】图上至少会给你一个定位点(常见的是曲线穿过 0 dB 线的那一点,或某个折点的高度)。已知斜率、已知一个点、又已知另一点的一个坐标,就能解出另一点剩下的坐标。老师原话:这种"利用折线方程求坐标"的方法在 Bode 图考察中经常见到。

例:某段斜率 \(-20\) dB/dec,已知它过 \((\omega=4,\ L=0)\),求 \(\omega=1\) 处的 \(L\)。 \(\dfrac{0-L_1}{\lg 4-\lg 1}=-20 \Rightarrow L_1=20\lg 4\approx 12\) dB。

五、Nyquist 曲线(幅相频率特性曲线)的画法

考点分析原文:"奈奎斯特:也是考察的一个重点,最近出过绘制奈奎斯特的题,也出过根据奈奎斯特曲线求传函的题,很喜欢考……25年的奈奎斯特题用抽象的字母代替具体的数字,这就要求一定要掌握得很透彻"(据 p006.md)。而且第八章非线性系统的描述函数法判自振,本质上还是要先画 Nyquist 曲线(据 p007.md:"非线性:本质上还是奈奎斯特")。

【补前置】Nyquist 曲线是什么:把 \(G(j\omega)\) 这个复数当成复平面上的一个箭头,让 \(\omega\) 从 0 连续变到 \(+\infty\),箭头端点划出的轨迹。横轴是实部(实频特性 \(P(\omega)\)),纵轴是虚部(虚频特性 \(Q(\omega)\))。它把"幅值和相角"这两条信息合并画在一张图上——所以又叫幅相频率特性曲线、极坐标图。

老师给的绘制思路:分低频段(起点)、高频段(终点)、中频段(形状) 三块。

5.1 起点:由型别 \(\nu\) 决定(据PPT 幻灯片65)

• 0 型系统(\(\nu=0\)):起点是实轴上的点 \(K\)(有限点)。 因为 \(\omega\to0\) 时 \(G(j0)=K\),是实数。
• I 型及以上:起于无穷远处,方向为 \(\nu\cdot(-90^\circ)\)。
• I 型(\(\nu=1\)):沿 \(-90^\circ\) 方向,即负虚轴方向的无穷远;
• II 型(\(\nu=2\)):沿 \(-180^\circ\) 方向,即负实轴方向;
• III 型(\(\nu=3\)):沿 \(-270^\circ\) 方向,即正虚轴方向。

【为什么】低频时 \(G(j\omega)\approx \dfrac{K}{(j\omega)^\nu}\),\(\omega\to0\) 时模趋于 \(\infty\),而 \(\dfrac{1}{j^\nu}\) 的辐角就是 \(-90^\circ\nu\)。所以起点方向不是背的,是算出来的。

【补充·老师提到的特例】若开环含纯微分环节(\(s\) 出现在分子),可取 \(\nu\) 为负数处理——因为分子上的 \(s\) 相当于分母上 \(s^{-1}\)。老师同时说明:纯微分环节物理上难以实现,实际很少见,但题目里出现时按此处理。非最小相位系统的起点需具体分析。

5.2 终点:由 \(n-m\) 决定(据PPT 幻灯片65)

【补前置】\(n\) = 开环传递函数分母的阶次(极点个数),\(m\) = 分子的阶次(零点个数)。物理上真实系统总有 \(n\ge m\)(这就是"系统惯性/因果性":输出不可能比输入变化更超前)。

• 当 \(m=n\):\(\omega\to\infty\) 时 \(|G|\to K^*\)(某常数),相角 \(\to 0^\circ\),曲线终止于实轴上一个有限点;
• 当 \(m<n\):\(|G|\to 0\),曲线终止于坐标原点,进入方向为 \((n-m)\cdot(-90^\circ)\):
• \(n-m=1\):沿 \(-90^\circ\) 方向趋于原点;
• \(n-m=2\):沿 \(-180^\circ\) 方向;
• \(n-m=3\):沿 \(-270^\circ\) 方向。

5.3 中频段:拐点与和坐标轴的交点(最复杂的一段)

(1) 拐点(凹凸变化)。老师给的结论:曲线出现凹凸变化(拐点)完全是由于系统有零点造成的。若开环传递函数没有零点,Nyquist 曲线要么全凸、要么全凹;若既有极点又有零点,就会出现凹凸变化,变化次数等于零点个数。 【存疑·待核】这条"拐点数 = 零点个数"的说法在本讲字幕里是老师的口述结论,我在 PPT 第5章 h-1 里未找到对应文字。作为定性画图的经验规则可以用,严格考试作答建议以"求交点 + 起终点"为准。

(2) 与实轴的交点(最重要,后面判稳直接用): $\(\text{令虚部 } \operatorname{Im}[G(j\omega)]=0 \Rightarrow \text{解出 } \omega_x \Rightarrow \text{代回实部得交点 } \operatorname{Re}[G(j\omega_x)]\)$ 【这在说什么】一个复数落在实轴上,等价于它的虚部为零。所以先解虚部=0 求出频率,再把这个频率代进实部,就得到交点横坐标。 【怎么用】这个交点就是后面判断"曲线有没有包住 \((-1,j0)\) 点"的关键,也是算幅值裕度的依据,更是第八章描述函数法求自振点的依据。

(3) 与虚轴的交点:同理,令实部 = 0 解出频率,代回虚部。

【补前置·分离实虚部的两件基本功,先补齐再看算例】 ① 共轭:复数 \(a+jb\) 的共轭是把虚部变号,记作 \(\overline{a+jb}=a-jb\)。关键性质:一个复数乘它的共轭,虚部全消,得到一个实数 \((a+jb)(a-jb)=a^2+b^2\)。 ② 分母有 \(j\) 怎么办:分子分母同乘分母的共轭,分母就变实数,虚部立刻看得出来。最简例: $\(\frac{1}{a+jb}=\frac{1\cdot(a-jb)}{(a+jb)(a-jb)}=\frac{a-jb}{a^2+b^2}=\underbrace{\frac{a}{a^2+b^2}}_{\text{实部}}+j\underbrace{\frac{-b}{a^2+b^2}}_{\text{虚部}}\)$ 这是本章计算的基本功,不熟就练三题。

【难点·PPT 幻灯片62 的完整算例,建议照着算一遍】 $\(G(s)=\frac{k}{s(T_1s+1)(T_2s+1)}\ \Rightarrow\ G(j\omega)=\frac{k}{j\omega(1+jT_1\omega)(1+jT_2\omega)}\)$

中间步骤一步不省,这里最容易掉队:

第一步,把分母三项乘开。先乘后两项(用 \(j^2=-1\)): $\((1+jT_1\omega)(1+jT_2\omega)=1+j(T_1+T_2)\omega+j^2T_1T_2\omega^2=\big(1-T_1T_2\omega^2\big)+j(T_1+T_2)\omega\)$ 再乘上前面的 \(j\omega\): $\(j\omega\Big[(1-T_1T_2\omega^2)+j(T_1+T_2)\omega\Big]=\underbrace{-(T_1+T_2)\omega^2}_{\text{实部}}+j\underbrace{(\omega-T_1T_2\omega^3)}_{\text{虚部}}\)$ 第二步,把公因子 \(\omega^2\) 提出来(纯粹为了让式子长得和 PPT 一样,不提也行): $\(=\omega^2\left[-(T_1+T_2)+j\left(\frac{1}{\omega}-T_1T_2\omega\right)\right]\)$ 第三步,乘共轭(就是上面补前置里 \(\dfrac{1}{a+jb}\) 那一招,这里 \(a=-(T_1+T_2)\)、\(b=\dfrac{1}{\omega}-T_1T_2\omega\)),分子分母同乘 \(a-jb\): $\(G(j\omega)=\frac{k\left[-(T_1+T_2)-j\left(\dfrac{1}{\omega}-T_1T_2\omega\right)\right]}{\omega^2\left[(T_1+T_2)^2+\left(\dfrac{1}{\omega}-T_1T_2\omega\right)^2\right]}\)$ 第四步,把分母那一大坨展开化简(纯代数,展开后合并同类项): $\(\omega^2\left[(T_1+T_2)^2+\left(\frac{1}{\omega}-T_1T_2\omega\right)^2\right]=\omega^2(T_1+T_2)^2+(1-T_1T_2\omega^2)^2=1+T_1^2\omega^2+T_2^2\omega^2+T_1^2T_2^2\omega^4=(1+T_1^2\omega^2)(1+T_2^2\omega^2)\)$ 于是得到 PPT 上那个形式: $\(G(j\omega)=\frac{k\left[-(T_1+T_2)-j\left(\dfrac{1}{\omega}-T_1T_2\omega\right)\right]}{(1+T_1^2\omega^2)(1+T_2^2\omega^2)}\)$ 【注意】分母 \((1+T_1^2\omega^2)(1+T_2^2\omega^2)\) 是正实数,所以整个式子的虚部是不是零,只取决于中括号里 \(-\left(\dfrac{1}{\omega}-T_1T_2\omega\right)\) 这一项。

令虚部为 0(即 \(\dfrac{1}{\omega}=T_1T_2\omega\)),解得 $\(\omega_x=\frac{1}{\sqrt{T_1T_2}},\qquad G(j\omega_x)=-\frac{kT_1T_2}{T_1+T_2}\)$ 【怎么用】这是I型三阶系统与负实轴交点的标准结果。看它的意义:交点越靠左(绝对值越大),越容易越过 \(-1\) 点,系统越危险;而交点位置正比于 \(k\)——所以增益 \(k\) 调大会让系统趋于不稳定。这个结论第4章根轨迹里你已经从另一条路见过一次了。

(分离实虚部的手法——乘共轭——已在本节算例前的【补前置】里补过,忘了就翻回去看。)

六、这一讲的骨架(真正要带走的)

1. 频率特性 = 传递函数在虚轴上的值(\(s\to j\omega\)),它是复数:模 = 幅频 \(A(\omega)\) = 输出幅值/输入幅值;辐角 = 相频 \(\varphi(\omega)\) = 输出相位−输入相位。它是系统固有属性,与输入幅值无关。
2. 微分方程 / 传递函数 / 频率特性是同一系统的三种语言,可互相翻译。
3. 频域法的独特价值:能用实验对付黑箱;分析靠开环特性判闭环性能。
4. Bode 图能画成折线,根本原因是取对数把乘法变加法;横轴按 \(\lg\omega\) 分度(没有0点),纵轴 \(L=20\lg A\) dB。
5. Bode 幅频五步:化尾一型 → 标转折频率 → 过 \((1,20\lg K)\) 作斜率 \(-20\nu\) 的低频线 → 每过一个转折频率按环节类型改斜率(\(\mp20\)/\(\mp40\)) → \(\zeta<0.707\) 的二阶环节做修正。
6. 谐振:\(\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\)(\(<\omega_n\)),\(M_r=\dfrac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\),只与 \(\zeta\) 有关,\(\zeta>0.707\) 无谐振。\(M_r\) ↔ 时域超调量。
7. Nyquist 三段法:起点看型别(\(0\) 型起于实轴 \(K\);I 型及以上起于 \(\nu(-90^\circ)\) 方向无穷远),终点看 \(n-m\)(\(m=n\) 终于实轴有限点;\(m<n\) 沿 \((n-m)(-90^\circ)\) 进原点),中频段求与实轴交点(令虚部=0)。
8. 三频段:低频段 ↔ 精度(\(K\)、\(\nu\));中频段 ↔ 快与稳(理想 \(-2\,-1\,-2\));高频段 ↔ 抗噪。
9. 最小相位系统幅频与相频一一对应,可由幅频唯一反求传函;非最小相位不行,且相角滞后更大。

七、自测(戳穿假懂版)

Q1. 给系统 \(G(s)=\dfrac{20}{s(s+5)}\)。(a) 化成尾一型,写出 \(K\) 和型别 \(\nu\);(b) 低频渐近线过哪一点、斜率多少;(c) 转折频率是多少,过它以后斜率变成多少?

答案要点:(a) \(=\dfrac{20}{5s(0.2s+1)}=\dfrac{4}{s(0.2s+1)}\),\(K=4\),\(\nu=1\)。(b) 过 \((\omega=1,\ 20\lg4\approx12\ \text{dB})\),斜率 \(-20\) dB/dec。(c) 惯性环节转折频率 \(\omega=1/0.2=5\),过后斜率变为 \(-40\) dB/dec。 答错说明你卡在哪:\(K\) 答成 20 → 没真正掌握尾一型(考点分析点名的高频失分点);转折频率答成 0.2 → 把时间常数和转折频率搞反了(\(\omega=1/T\))。

Q2. 有人说:"输入正弦的幅值加倍,系统的幅频特性 \(A(\omega)\) 也会加倍。" 对不对?为什么?

答案要点:错。\(A(\omega)=C_m/r_m\) 是比值,输入加倍则输出也加倍(线性系统),比值不变。\(A(\omega)\) 是系统固有属性。 答错说明你卡在哪:没抓住"频率特性是模型、不是响应"这个本质,后面所有"用曲线代表系统"的逻辑都会跟着崩。

Q3. 某二阶环节 \(\omega_n=10\),\(\zeta=0.8\)。求谐振频率和谐振峰值。

答案要点:陷阱题。\(\zeta=0.8>0.707\),不存在谐振,幅频单调下降,不能套公式(硬套会得到 \(\sqrt{1-2(0.8)^2}<0\),根号里为负,本身就在报警)。 答错说明你卡在哪:公式当口诀背、不看适用条件。

Q4. 一条对数幅频折线:低频段斜率 \(-40\) dB/dec,其延长线与 0 dB 线交于 \(\omega=10\)。求 \(K\) 和型别。

答案要点:斜率 \(-40\) → \(\nu=2\)(II型)。由 \(\omega=K^{1/\nu}\) 得 \(K=\omega^{\nu}=10^2=100\)。也可用折线方程验:从 \((10,0)\) 按 \(-40\) 反推到 \(\omega=1\),\(L=40\) dB,而 \(20\lg K=40\Rightarrow K=100\),一致。 答错说明你卡在哪:两条路算不出同一个答案,说明折线方程还不会用——这是给图求传函的通用工具,必须练熟。

Q5. \(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s^2(Ts+1)}\),判断其 Nyquist 曲线的起点方向和终点方向。

答案要点:\(\nu=2\) → 起于 \(2\times(-90^\circ)=-180^\circ\) 方向(负实轴方向)的无穷远处;\(n=3,m=0\),\(n-m=3\) → 沿 \(3\times(-90^\circ)=-270^\circ\) 方向趋于原点。 答错说明你卡在哪:把起点规则和终点规则用混了。记死:起点看型别 \(\nu\),终点看 \(n-m\)。

Q6. 为什么最小相位系统只看对数幅频曲线就能反求传递函数,非最小相位系统却不行?

答案要点:最小相位系统的幅值与相角一一对应(幅频确定则相频确定);非最小相位环节可以有与最小相位环节完全相同的幅频曲线,但相角滞后更大,因此幅频不能唯一确定系统,必须同时看相频(或高频斜率与总相角是否匹配)。 答错说明你卡在哪:只会背"最小相位=零极点都在左半平面",没理解它带来的那个可用性质——而近年考题恰恰爱考非最小相位反求传函。

知识地图

向前串(这一讲踩着什么) - 第2章 传递函数、典型环节 → 令 \(s=j\omega\) 得频率特性;化尾一型就是典型环节形式; - 第2章 拉氏变换、复数运算 → 模相乘、角相加,是Bode能分段叠加的根; - 第3章 型别 \(\nu\) 与开环增益 \(K\) 决定稳态误差 → 直接对应本讲的低频段; - 第3章 二阶系统的 \(\omega_n\)、\(\zeta\)、超调量 \(\sigma\%\)、调节时间 \(t_s\) → 对应本讲 \(M_r\)、\(\omega_r\)、\(\omega_b\); - 第4章 根轨迹用首一型,本章用尾一型;两章都靠开环信息推闭环性能,思路同源。

横向串(第5章内部) 频率特性(5.1) → 典型环节的频率特性(5.2) → 拼装成开环Bode图/Nyquist图(5.3,本讲重点) → 奈奎斯特稳定判据判稳、算相角裕度与幅值裕度(5.4) → 闭环频域指标与时域指标互换(5.5)。

向后串(以后在哪儿用) - 第5.4节:Nyquist 与实轴交点 → 判稳、算幅值裕度;Bode 穿越 0 dB 点 → 截止频率 \(\omega_c\) → 算相角裕度; - 第6章 校正:全部建立在 Bode 图上——"—2 —1 —2"是设计目标,超前/滞后校正就是改中频段;考点分析显示校正常作大题第二问,且常与 Bode 反求传函连考; - 第8章 非线性:描述函数法判自振,要先画线性部分的 Nyquist 曲线,再求它与负倒描述函数曲线的交点。考点分析原文:"非线性:本质上还是奈奎斯特"。

下一讲:老师明确预告——画出曲线不是目的,下一讲讲如何利用这些曲线分析系统性能(奈奎斯特稳定判据、稳定裕度)。