第三章 时域分析法

3-1

设系统特征方程式为 \(s^3+2s^2+s+2=0\)，试分析该系统是否渐近稳定？

解 利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下所示：

由上表可见，劳斯表中的第一列元素全部大于零，所以系统在\(s\)右半平面无根。由于辅助方程\(2s^2+2=0\)的解为\(s_{1,2}=\pm \mathrm{j}\)，所以系统有一对纯虚根\(s_{1,2}=\pm \mathrm{j}\)，该系统非渐近稳定。

MATLAB文本及仿真结果如下：

MATLAB程序：exe301.m

den=[1 2 1 2];                    p=roots(den);

系统的特征根为：\(p=-2,-\mathrm{j},+\mathrm{j}\)。

3-2

已知系统的特征方程式如下，试分别用劳斯判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。

(1) \(s^3+20s^2+9s+100=0\)；(2) \(s^3+20s^2+9s+200=0\)；(3) \(3s^4+10s^3+5s^2+s+2=0\)。

解 (1) 利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下所示：

显然，由于表中第一列元素的符号全部大于零，所以系统在\(s\)右半平面无根。因此，该系统稳定。

然后，用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。

由特征方程可知\(n=3\)，且\(a_0=1,a_1=20,a_2=9,a_3=100\)。若系统是稳定的，需要满足条件：① 特征方程的各项系数为正；② \(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3>0\)。

本系统\(a_i>0(i=0,1,2,3)\)，且\(\Delta_2=a_1a_2-a_0a_3=80>0\)，因此系统稳定。

(2) 利用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下所示：

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