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\[m_2\ddot{x}_2 = k(x_1-x_2) - f(\dot{x}_2-\dot{x}_3) - k_1(x_2-x_3)\]
承重,\(k_1\) 和 \(k_2\) 分别为缓振簧和充气轮胎的刚度,\(f\) 为缓振器黏性摩擦系数,\(x_3\) 为车厢位移,\(x_1\) 为路面函数。已知全部初始条件为零,试求系统的传递函数 \(X_3(s)/X_1(s)\)。
解 根据力平衡原则,可列出如下微分方程组:
\[m_2\ddot{x}_2 = k_2(x_1-x_2) - k_1(x_2-x_3) - f(\dot{x}_2-\dot{x}_3)\]
\[m_1\ddot{x}_3 = k_1(x_2-x_3) + f(\dot{x}_2-\dot{x}_3)\]
对上述微分方程组进行拉氏变换,计及全部初始条件为零可得
\[m_2s^2X_2(s) = -(k_2+k_1)X_2(s) + k_2X_1(s) + k_1X_3(s) - fs[X_2(s)-X_3(s)]\]
\[m_1s^2X_3(s) = (k_1+fs)X_2(s) - (k_1+fs)X_3(s)\]
整理化简,消去中间变量 \(X_2(s)\) 后,得汽车缓振系统的传递函数为
\[\frac{X_3(s)}{X_1(s)} = \frac{k_2(fs+k_1)}{(m_1s^2+fs+k_1)(m_2s^2+fs+k_1+k_2)-(fs+k_1)^2}\]
图 2-116 汽车缓振系统示意图
2-56 在图 2-117 所示的机电系统中,\(u(t)\) 为输入电压;\(x(t)\) 为输出位置;\(R\) 和 \(L\) 分别为铁心线圈的电阻与电感;\(m\) 为物体的质量;\(k\) 为弹簧的刚度;\(f\) 为阻尼器的阻尼系数;功率放大器为一理想放大器,其增益为 \(F\)。假定铁心线圈的反电动势为 \(E=k_2\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\),线圈电流 \(i(t)\) 在质量 \(m\) 上产生的电磁力为 \(k_2i(t)\),并设全部初始条件为零。(1) 求出该系统的传递函数 \(X(s)/U(s)\);(2) 画出该系统由基本单元构成的结构图。
图 2-117 机电系统原理图
解 (1) 求 \(X(s)/U(s)\)。
列出系统各环节的微分方程为
\[Fu(t) = Ri + L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + E,\quad E = k_2\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\]
\[k_2i(t) = kx + f\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\]
在零初始条件下,对上述微分方程组进行拉氏变换,可得
\[FU(s) = (R+Ls)I(s) + E(s),\quad E(s) = k_2sX(s)\]
$\(k_2I(s) = (k+fs+ms^2)X(s)\)$