5-12 已知系统开环传递函数为 \(G(s)=\dfrac{10(s^{2}-2s+5)}{(s+2)(s-0.5)}\)，试绘制系统的概略开环幅相特性曲线。
解 (1) 传递函数按典型环节分解
\[G(s)=\dfrac{-50\left[\dfrac{s^{2}}{5}-2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{s}{\sqrt{5}}\right)+1\right]}{\left(\dfrac{s}{2}+1\right)\left(-\dfrac{s}{0.5}+1\right)}\]
(2) 计算起点和终点
\[G(j\omega)=\dfrac{-50\left[\left(1-\dfrac{\omega^{2}}{5}\right)-\dfrac{2}{5}j\omega\right]\left(1-\dfrac{j\omega}{2}\right)\left(1+\dfrac{j\omega}{0.5}\right)}{\left(1+\dfrac{\omega^{2}}{2^{2}}\right)\left(1+\dfrac{\omega^{2}}{0.5^{2}}\right)}\]
\[\lim_{\omega\to0}G(j\omega)=-50\]
\[\lim_{\omega\to+\infty}|G(j\omega)|=\lim_{\omega\to+\infty}\dfrac{-50\cdot\dfrac{-\omega^{2}}{5}}{\omega^{2}}=10\]
相角变化范围：
不稳定比例环节 \(-10\)： \(-180°\)
惯性环节 \(\dfrac{1}{\dfrac{s}{2}+1}\)： \(0°\to-90°\)
不稳定惯性环节 \(\dfrac{1}{-2s+1}\)： \(0°\to+90°\)
不稳定二阶微分环节 \(\left(\dfrac{s}{\sqrt{5}}\right)^{2}-2\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\dfrac{s}{\sqrt{5}}\right)+1\)： \(0°\to-180°\)
因此 \(\varphi(\omega)\) 变化范围为
\[-180°\to-360°\]
(3) 计算与实轴的交点
\[G(j\omega)=\dfrac{10(5-\omega^{2}-2j\omega)(-\omega^{2}-1-1.5j\omega)}{(\omega^{2}+1)^{2}+(1.5\omega)^{2}}\]
\[=\dfrac{10\left[-(5-\omega^{2})(\omega^{2}+1)-3\omega^{2}+j\omega(-7.5+1.5\omega^{2}+2\omega^{2}+2)\right]}{(\omega^{2}+1)^{2}+(1.5\omega)^{2}}\]
令 \(\mathrm{Im}[G(j\omega)]=0\)，得
\[\omega_{r}=\left(\dfrac{5.5}{3.5}\right)^{1/2}=1.254\]
\[G(j\omega_{r})=-13.3\]
(4) 确定变化趋势：根据 \(G(j\omega)\) 的表达式，当 \(\omega<\omega_{r}\) 时，\(\mathrm{Im}[G(j\omega)]<0\)；当 \(\omega>\omega_{r}\) 时，\(\mathrm{Im}[G(j\omega)]>0\)。
绘制系统开环幅相特性曲线如图 5-15 所示。
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