所以,当开环增益 \(K>0\) 时,系统的开环幅相特性曲线的起始点位于正实轴;当开环增益 \(K<0\) 时,系统的开环幅相特性曲线的起始点位于负实轴。
5-29 某系统的结构图和开环幅相特性曲线如图 5-47 和图 5-48 所示,图中
\[G_0(s)=\frac{1}{s(s+1)^2}, \quad H(s)=\frac{s^3}{(s+1)^2}\]
图 5-47 系统结构图
图 5-48 开环幅相特性曲线
试判断闭环系统的稳定性,并确定闭环特征方程正实部根的个数。
解 由系统的结构图可知,系统由两个闭环回路组成。首先来看一下内回路,即由 \(G_0(s)\) 和 \(H(s)\) 组成的闭环回路,该回路的闭环极点即为系统的开环极点。
对于内回路,其开环传递函数为
\[G_0(s)H(s)=\frac{s^2}{(s+1)^4}\]
其频率特性为
\[G_0(j\omega)H(j\omega)=\frac{-\omega^2}{(1+j\omega)^4}=-\frac{\omega^2(1-\omega^2+2\omega)(1-\omega^2-2\omega)}{(1+\omega^2)^4}+\mathrm{j}\frac{4\omega^3(1-\omega^2)}{(1+\omega^2)^4}\]
幅相特性曲线的起点为 \(G_0(j0_+)H(j0_+)=0\);终点为 \(G_0(j\infty)H(j\infty)=0\)。
为了绘制内回路的开环幅相特性曲线,随着 \(\omega\) 的增大,分别讨论如下:
当 \(0<\omega<\sqrt{2}-1\) 时,
\[\mathrm{Re}[G_0(j\omega)H(j\omega)]<0, \quad \mathrm{Im}[G_0(j\omega)H(j\omega)]>0\]
幅相特性曲线位于第Ⅱ象限。
当 \(\omega=\sqrt{2}-1\) 时,
\[\mathrm{Re}[G_0(j\omega)H(j\omega)]=0, \quad \mathrm{Im}[G_0(j\omega)H(j\omega)]=0.125\]
幅相特性曲线位与虚轴交于点 \((0,\mathrm{j}0.125)\)。
当 \(\sqrt{2}-1<\omega<1\) 时,
\[\mathrm{Re}[G_0(j\omega)H(j\omega)]>0, \quad \mathrm{Im}[G_0(j\omega)H(j\omega)]>0\]
幅相特性曲线位于第Ⅰ象限。
当 \(\omega=1\) 时,
\[\mathrm{Re}[G_0(j\omega)H(j\omega)]=0.25, \quad \mathrm{Im}[G_0(j\omega)H(j\omega)]=0\]
幅相特性曲线位与实轴交于点 \((0.25,\mathrm{j}0)\)。
当 \(1<\omega<\sqrt{2}+1\) 时,
\[\mathrm{Re}[G_0(j\omega)H(j\omega)]>0, \quad \mathrm{Im}[G_0(j\omega)H(j\omega)]<0\]
幅相特性曲线位于第Ⅳ象限。
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