第四章 根轨迹法

4-1

已知系统开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^{*}(s+2)}{s(s+0.5)}\),试用相角条件检查下述各点是否是闭环极点:

\((-1+\mathrm{j}\sqrt{2})\), \((-0.3+\mathrm{j}0)\), \((0.3+\mathrm{j}0)\), \((-4+\mathrm{j}0)\), \((-5+\mathrm{j}\sqrt{3})\)

解 根据系统的开环传递函数可知,系统的开环极点为:\(p_1=0\),\(p_2=-0.5\);系统的开环零点为:\(z_1=-2\)。

由闭环根轨迹的相角条件

可得,当 \(s=-1+\mathrm{j}\sqrt{2}\) 时,

当 \(s=-0.3+\mathrm{j}0\) 时,\(\varphi_{z_1}-\theta_{p_1}-\theta_{p_2}=-180°\)

当 \(s=0.3+\mathrm{j}0\) 时,\(\varphi_{z_1}-\theta_{p_1}-\theta_{p_2}=0°\)

当 \(s=-4+\mathrm{j}0\) 时,\(\varphi_{z_1}-\theta_{p_1}-\theta_{p_2}=-180°\)

当 \(s=-5+\mathrm{j}\sqrt{3}\) 时,

则 \((-1+\mathrm{j}\sqrt{2})\),\((-0.3+\mathrm{j}0)\),\((-4+\mathrm{j}0)\) 在根轨迹上;\((0.3+\mathrm{j}0)\),\((-5+\mathrm{j}\sqrt{3})\) 不在根轨迹上。

仿真曲线如图 4-1 所示。

MATLAB 程序:exe401.m

G=zpk([-2],[0 -0.5],1); figure, rlocus(G);

图 4-1 \(1+\dfrac{K^{*}(s+2)}{s(s+0.5)}=0\) 根轨迹图(MATLAB)

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4-2

系统的开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K^{*}}{(s+1)(s+2)(s+4)}\),试证明:\(s_1=-1+\mathrm{j}\sqrt{3}\) 点在根轨迹上,并求出相应的 \(K^{*}\) 和系统开环增益 \(K\)。

证明 根据系统的开环传递函数可知,系统的开环极点为 \(p_1=0\),\(p_2=-2\),\(p_3=-4\)。由闭环根轨迹的相角条件