题海 · 题解 · p.447
(j) 由于 \(\Gamma_G\) 曲线与 \(-1/N(A)\) 曲线没有交点,而且 \(-1/N(A)\) 位于稳定区域,因此系统稳定。
8-15
设非线性系统方程为 \(\ddot{x}+\varepsilon(x^2-1)\dot{x}+x=0\),试用描述函数法分析该系统是否存在周期运动解。若有,幅值和频率是多少?该解是否对应自激振荡(\(0<\varepsilon<1\))?
解
(1) 画典型结构图:用描述函数法分析非线性系统时,该系统必须具备典型结构。原方程可以写为
\[\ddot{x}-\varepsilon\dot{x}+x=-\varepsilon x^2\dot{x}\]
故该系统的等效结构图如图8-36所示。
图8-36 系统等效结构图
(2) 写出描述函数:由图8-36知
\[y=x_1^2\dot{x}_1\]
设 \(x_1=-x=A\sin\omega t\),则 \(y(t)=A^3\omega\sin^2\omega t\cos\omega t\),可以采用积分的办法求出 \(A_1\) 和 \(B_1\)。考虑到傅氏级数展开的唯一性,可将 \(y(t)\) 写成三角级数,其一次谐波的系数即为 \(A_1\) 和 \(B_1\)。
因为
\[\cos\omega t\sin^2\omega t=\cos\omega t\cdot\frac{1-\cos2\omega t}{2}=\frac{1}{2}\cos\omega t-\frac{1}{2}(\cos3\omega t-\sin\omega t\sin2\omega t)\]
\[=\frac{1}{2}\cos\omega t-\frac{1}{2}\cos3\omega t-\cos\omega t\sin^2\omega t\]
所以
\[\cos\omega t\sin^2\omega t=\frac{1}{4}\cos\omega t-\frac{1}{4}\cos3\omega t\]
故
\[y(t)=A^3\omega\cos\omega t\sin^2\omega t=\frac{A^3\omega}{4}\cos\omega t-\frac{A^3\omega}{4}\cos3\omega t\]
即 \(B_1=0,A_1=A^3\omega/4\)。于是
\[N(A)=\frac{B_1}{A}+\mathrm{j}\frac{A_1}{A}=\mathrm{j}\frac{A^2\omega}{4}\]
(3) 求周期解:由 \(N(A)G(\mathrm{j}\omega)=-1\) 得
\[1+\mathrm{j}\frac{A^2\omega}{4}\cdot\frac{\varepsilon}{(\mathrm{j}\omega)^2-\varepsilon\mathrm{j}\omega+1)}=0\]
令上式实部、虚部为零,可得
\[\begin{cases}\dfrac{A^2\omega\varepsilon(1-\omega^2)}{4[(1-\omega^2)^2+(\varepsilon\omega)^2]}=0\\[2mm]1-\dfrac{(\varepsilon A\omega)^2}{4[(1-\omega^2)^2+(\varepsilon\omega)^2]}=0\end{cases}\]
解出 \(A=2,\omega=1\)。故该系统存在周期运动解,振幅 \(A=2\),频率 \(\omega=1\)。
(4) 判断是否存在自振:\(G(s)=\dfrac{\varepsilon}{s^2-\varepsilon s+1}\) 为不稳定二阶振荡环节(\(P=2\)),其概略幅相特性曲线如图8-37所示。而 \(N(A)=\mathrm{j}\dfrac{A^2\omega}{4}\),因此 \(-1/N(A)=-\mathrm{j}4/A^2\omega\)。将 \(G(\mathrm{j}\omega)\) 曲线和 \(-1/N(A)\) 曲线画在相平面上,两曲线有一交点 \(M\)。在 \(-1/N(A)\) 曲线上,在交点 \(M\)