求出根轨迹的起始角为\(\pm198.4°\)时,参数\(b=10\)。

仿真曲线如图4-12、图4-13所示。

MATLAB程序:exe407.m

b = [10 16];
for  i=1:length(b),   num=[1 6 b(i)];   den=[1 2 b(i)];   figure,   rlocus(num,den);
end

图4-12 b=10时系统根轨迹图(MATLAB)

图4-13 b=16时系统根轨迹图(MATLAB)

4-8 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下,试概略绘制闭环根轨迹图。

(1) \(G(s)=\dfrac{K}{s(0.2s+1)(0.5s+1)}\);　(2) \(G(s)=\dfrac{K^*(s+5)}{s(s+2)(s+3)}\);

(3) \(G(s)=\dfrac{K^*(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+10)}\);　(4) \(G(s)=\dfrac{K^*(s+1)^3}{(s+2)^3}\)。

解 (1) 系统的开环传递函数

令\(K^*=10K\),\(K^*\)为根轨迹增益。

① 实轴上的根轨迹:\([0,-2],[-5,-\infty)\)。

② 根轨迹的渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{0-2-5}{3}=-\dfrac{7}{3}\),　\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{3},\pi\)。

③ 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足

解得　\(d_1=-0.88\),　\(d_2=-3.79\)(舍去)

求得分离点的坐标为\(d=-0.88\)。

④ 根轨迹与虚轴的交点:由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程

令\(s=j\omega\),将其代入上式可得

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