即
\[
\begin{cases}
-7\omega^2+K^*=0 \\
-\omega^3+10\omega=0
\end{cases}
\]
由于\(\omega \neq 0\),故可解得
\[
\omega=\pm 3.16, \quad K^*=70
\]
则根轨迹与虚轴的交点为\(\pm \mathrm{j}3.16\)。
根据以上几点,可以画出概略根轨迹如图4-14所示。
(2) 系统的开环传递函数
\[
G(s)=\frac{K^*(s+5)}{s(s+2)(s+3)}
\]
① 实轴上的根轨迹:\([0,-2],[-3,-5]\)。
② 根轨迹的渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{-2-3+5}{2}=0\), \(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。
③ 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足
\[
\frac{1}{d}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+5}
\]
通过试凑可得\(d=-0.89\)。
根据以上几点,可以画出概略根轨迹如图4-15所示。
(3) 系统的开环传递函数
\[
G(s)=\frac{K^*(s+3)}{(s+1)(s+5)(s+10)}
\]
① 实轴上的根轨迹:\([-1,-3],[-10,-5]\)。
② 根轨迹的渐近线:\(\sigma_a=\dfrac{-1-5-10+3}{2}=-6.5\), \(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。
③ 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足
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