第19讲 第8章例题:描述函数法求自振参数 + 相平面法判奇点画相轨迹
0. 这一讲在干什么(先给个总的方位)
上一讲(第18讲)把第8章的两把工具讲了一遍;这一讲全是例题,把这两把工具真正用一遍。
两把工具分别是:
- 描述函数法:把非线性环节近似当成一个"增益随输入幅值变化的放大器"(【补前置】增益就是"放大倍数"——输出比输入,一个线性放大器的增益是固定不变的常数,而非线性环节的"等效增益"会随输入信号的大小而变),然后套用第5章的奈奎斯特那一套去判稳、去求"系统会不会自己抖起来、抖多大多快"。
- 相平面法:不解微分方程,直接在一张以"位置"和"速度"为两根轴的平面图上,把系统的运动画成一条曲线,看这条曲线是往里收(稳)、往外发散(不稳)、还是绕成一个闭圈(等幅振荡)。
老师在开头把考法说清楚了(要点转述):描述函数法用于能化成典型结构、且满足近似条件的非线性系统,不论阶次高低,考的是判稳 + 求自振的振幅和频率;还会考多个非线性环节的结构化简。相平面法考的是求奇点、判奇点类型、画相轨迹、由相轨迹说明运动特性。老师说从趋势看描述函数法越来越占主导,并且建议刻意背下常见非线性(继电、死区、饱和)的负倒描述函数——因为有的学校不给。
1. 【补前置】开讲前必须先补的一堆词
学生零基础,下面这些词后面会反复用,先在这儿一次性讲白话。这一节不用背,看懂即可,后面用到会再提醒。
非线性环节:输入和输出不成正比的环节。线性环节是"输入翻倍输出就翻倍"(比如放大10倍就永远10倍);非线性环节不是——比如放大器输入太大就"饱和"了,再加输入输出也不涨了。现实里几乎所有元件都非线性,只是有时可以忽略。
理想继电特性(relay):一个"开关式"元件。输入 \(x>0\) 输出就跳到 \(+M\),输入 \(x<0\) 输出就跳到 \(-M\),中间没有过渡。据PPT幻灯片9,继电器、接触器、可控硅都是这类,并且明确写着"继电器特性往往会造成系统自激振荡,不稳定"。
死区(不灵敏区):输入太小时,输出干脆为0,元件"感觉不到"。比如电机,电压太小它根本不转。本讲第四题的非线性就是死区。
自激振荡(自振):没有人给它输入正弦,系统自己持续地等幅抖动。据PPT幻灯片46:"非线性系统稳定的周期运动就称为自激振荡",交点处频率就是自振频率,交点处幅值就是自振幅值。注意ASR字幕里到处把"自激振荡"念成"自激诊断",别被带偏。
【补前置】谐波、基波是什么(不懂这个就看不懂描述函数):一个数学事实(傅里叶级数)——任何周期波,不管它长得多难看(方波、三角波、削平的波),都可以写成一堆正弦波之和:一个和它同频率的正弦,加上频率是它 2 倍、3 倍、4 倍……的一串正弦。频率最低的那一项(和原波同频)叫基波,也叫一次谐波;频率是 2 倍、3 倍的分别叫二次谐波、三次谐波,统称各次谐波。 直觉:把方波想成"用一堆纯音去合成一个粗糙的声音"——先用一个同音高的纯音搭个大轮廓(基波),再往上叠一堆高音把方角磨出来(高次谐波)。所以"只取其中的一次谐波"的意思就是:把输出那个畸变波里同频率的那个正弦成分挑出来,其余高频成分全部扔掉。
描述函数 \(N(A)\):非线性环节的"等效复增益"(等效=不是真的,是拿它冒充;复增益=这个放大倍数是个复数,既管幅值放大多少,又管相位挪了多少)。做法是:给非线性环节输入一个正弦 \(A\sin\omega t\),它的输出一般是个歪七扭八的周期波(含各次谐波),我们只取其中的一次谐波(基波),然后定义 $\(N(A)=\frac{\text{输出基波的复振幅}}{\text{输入正弦的振幅}A}\)$ - 这式子在说什么:把非线性环节冒充成一个放大器,这个放大器的"放大倍数"不是常数,而是随输入幅值 \(A\) 变。 - 符号:\(A\) 是输入正弦的振幅(不是时间函数,就是"波峰有多高"这一个数)。 - 【补前置】"复振幅"是什么(这个核心定义式的分子,不解释就没法懂):输出基波是一条正弦 \(A_1\sin(\omega t+\varphi_1)\),要完整描述它得同时说两件事——幅值 \(A_1\) 有多大、相位 \(\varphi_1\) 比输入超前/滞后多少。一个复数天生就能一次装下这两件事:写成 \(A_1 e^{j\varphi_1}\),它的模就是基波幅值 \(A_1\),它的辐角就是基波相对输入正弦的相位差(负值=滞后)。这个复数就叫复振幅。 - 所以 \(N(A)\) 一般是复数——分子是复振幅,分母是实数 \(A\),商自然带相位信息。对理想继电这类无记忆、无滞环的特性,输出跳变和输入过零同时发生,基波和输入同相(\(\varphi_1=0\)),复振幅退化成实数,\(N(A)\) 就是实数。 - 怎么用:用它替代非线性环节,系统就"变成线性的"了,可以直接套频域判据。 - 【难点】为什么只留基波就敢扔掉高次谐波? 因为线性部分 \(G(s)\) 通常是低通的。【补前置】低通="低频让过、高频挡住"的意思(像一堵墙,隔壁说话的低沉声音传得过来、尖锐的高音被吸掉)。控制系统里只要分母次数高于分子,频率越高幅值衰减越厉害,就是低通。所以高频谐波被它压得很小,传一圈回来可以忽略。这就是"描述函数法是近似方法"的来由,也是"必须满足一定近似条件"的意思。它不是精确解,考试也只要求会用。
负倒描述函数 \(-1/N(A)\):就是把 \(N(A)\) 取倒数再取负号。为什么要这么个古怪的东西?见下面第2节推导,这是描述函数法的心脏。
【补前置】从第5章借来的六个词(本讲从头到尾在用,这里一次讲白话,不要求你回去重学第5章)
- 奈奎斯特曲线(奈氏曲线):把 \(G(s)\) 里的 \(s\) 换成 \(j\omega\),让频率 \(\omega\) 从 \(0\) 一直变到 \(\infty\),每一个 \(\omega\) 都算出一个复数 \(G(j\omega)\),把这些复数当成复平面上的点连起来的那条曲线。一句话:"这个系统对各种频率的正弦分别放大多少、移相多少"的一张图。
- 奈奎斯特判据(奈氏判据):用这条曲线和复平面上 \((-1,j0)\) 那个点的位置关系来判断闭环系统稳不稳的规则。本讲只用到它最简单的形式(见下一条和第2节)。
- "包围":就是字面意思——曲线把某个点圈在里面(点落在曲线围出来的圈内)叫包围;点在圈外叫不包围。判"包不包围"就是看那个点在曲线的哪一侧。
- 极点:\(G(s)\) 分母等于零的根(让 \(G\) 变成无穷大的那些 \(s\) 值)。例如 \(G(s)=\frac{12}{(s+1)(s^2+6s+13)}\) 的极点就是 \(s=-1\) 和 \(s^2+6s+13=0\) 的两个根。
- 左半平面 / 极点全在 \(s\) 左半平面:\(s\) 是复数,画在复平面上,实部为负的那一半叫左半平面。第3章讲过:极点实部为负 ⇒ 对应的运动分量按 \(e^{-at}\) 衰减;实部为正 ⇒ 发散。所以"极点全在左半平面"= 开环本身是稳定的(不加反馈自己也不会跑飞),这是第2节那条判稳结论的前提。
- 零点:\(G(s)\) 分子等于零的根。本讲例题一分子是常数 12,解不出根,所以说"没有零点"。
- 型别(0型/1型系统):看 \(G(s)\) 分母里含有几个 \(s\) 因子(即几个积分环节)。一个都没有叫 0型,有一个 \(s\) 叫 1型,两个叫2型。为什么要分:型别直接决定奈氏曲线的起点(\(\omega\to0\) 处)——0型起点是有限实数,1型起点跑到无穷远且相角 \(-90^\circ\)。第9节自测第1题考的就是这个。
- 滞环(回环):一种"输出取决于输入是在变大还是在变小"的非线性,即元件有记忆。生活例子:空调温控,升到26度才停机、降到24度才开机——同一个24~26度之间的温度,机器是开是关取决于你是从热来的还是从冷来的。画成输入-输出图就是一个绕圈的环(所以叫滞环)。有滞环 ⇒ 输出相对输入有时间上的落后 ⇒ 基波带相位滞后 ⇒ \(N(A)\) 带虚部。
- 静特性:不管时间、不管快慢,只问"输入取某个值时输出是多少"的那条输入-输出曲线(通常是一条折线)。死区、饱和、理想继电这类无记忆非线性,全部信息就在这条折线里。第7节两个非线性串联的正确解法,整个建立在这个词上——"合成静特性"就是把两条折线接力合成一条新折线。(有滞环的特性没有单值静特性,因为同一输入对应两个输出。)
相平面 / 相轨迹 / 奇点:据PPT幻灯片52,相平面的横坐标是 \(x(t)\)、纵坐标是 \(\dot x(t)\);平面上一个点 \([x,\dot x]\) 叫相点,代表系统某一瞬间的状态;按时间增加的方向把相点连起来就是相轨迹。PPT原话:"在相平面上,时间是隐含的",即图上看不到 \(t\),只看得到"位置-速度"怎么走。奇点据幻灯片57:当 \(f(x,\dot x)\) 和 \(\dot x\) 同时为零时该点斜率不定,相轨迹在该点相交,这点叫奇点;并且"奇点就是平衡点,它只能在 \(x\) 轴上"。ASR把"奇点"念成"起点"、"相平面"念成"橡皮面/向平面"、"鞍点"念成"安点",全部是同一批错字。
【补前置】导数记号:\(\dot x\) 是 \(x\) 对时间的一阶导数,物理上就是速度(位置变化的快慢);\(\ddot x\) 是二阶导数,就是加速度。所以相平面的两根轴其实是"位置"和"速度",这是它最直观的读法。
【补前置】偏导数 \(\partial f/\partial x\):一个函数如果依赖两个变量(\(x\) 和 \(\dot x\)),对其中一个求导、把另一个当常数不动,就叫对它的偏导。第2、3题的线性化全靠它。
2. 描述函数法的判据从哪来(不推这一步,后面的题就是背)
第5章学过:线性系统闭环特征方程是 \(1+G(j\omega)=0\)。把"可变增益 \(K\)"显式写出来就是 $\(1+K\,G(j\omega)=0\quad\Longrightarrow\quad G(j\omega)=-\frac{1}{K}\)$ 据PPT幻灯片42:当 \(G(j\omega)\) 曲线不包围点 \((-1/K,\;j0)\) 时系统稳定,反之不稳定;幻灯片43进一步说,若 \(K\) 在区间 \([K_1,K_2]\) 内可变,则 \(G(j\omega)\) 不包围线段 \([-1/K_1,\,-1/K_2]\) 时稳定。
现在把非线性环节换成 \(N(A)\),闭环特征方程变成(PPT幻灯片43原式) $\(1+N(A)G(j\omega)=0\quad\Longrightarrow\quad G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}\)$
- 这式子在说什么:非线性系统能不能"自己抖起来",就看线性部分的奈氏曲线 \(G(j\omega)\) 和负倒描述函数曲线 \(-1/N(A)\) 有没有交点。
- 符号:\(G(j\omega)\) 随 \(\omega\) 从0到 \(\infty\) 画出一条曲线(奈氏曲线);\(-1/N(A)\) 随振幅 \(A\) 从0到 \(\infty\) 画出另一条曲线,PPT幻灯片44明确说这条曲线上的箭头方向是振幅 \(A\) 增大的方向。
- 怎么用:两条曲线交点处,同时满足"频率 \(\omega\) 使 \(G\) 落在那儿"和"振幅 \(A\) 使 \(-1/N\) 落在那儿"——于是交点的 \(\omega\) 就是自振频率,交点的 \(A\) 就是自振振幅。
判稳(PPT幻灯片44):若 \(G(s)\) 的极点全在 \(s\) 左半平面,则 \(G(j\omega)\) 不包围 \(-1/N(A)\) 曲线时闭环稳定,否则不稳定。
交点是不是能维持的自振(PPT幻灯片47、48):把被 \(G(j\omega)\) 包围的区域看成不稳定区域,不包围的看成稳定区域。当交点位于 \(-1/N(A)\) 曲线沿振幅增大方向、由不稳定区域进入稳定区域时,该交点是自激振荡点;反之该点的振荡不能维持。
【你可能会以为】只要两条线一相交就一定有自激振荡。但其实不是——交点分两种:一种受扰后能自己回来(稳定的周期运动 = 自振),一种受扰后就跑掉(不能维持)。因为在交点两侧,振幅增大时工作点会移进"稳定区"还是"不稳定区"决定了它会继续衰减回来还是继续发散。PPT幻灯片47就是用 \(M_1\) 点举这个例子:扰动使振幅增大,工作点移到 \(B\) 点,\(B\) 点处衰减,振幅又减小移回 \(M_1\)——所以 \(M_1\) 能维持。判自振必须看穿越方向,不能只看有没有交点。
【难点】这一步是第8章最容易假懂的地方。难在"\(G\) 的自变量是 \(\omega\)、\(-1/N\) 的自变量是 \(A\),两条曲线画在同一张复平面上但参数根本不是同一个"。正确理解:复平面在这里只是一块"公共布告栏",两条曲线各自按各自的参数爬,交点意味着"存在某个 \(\omega\) 和某个 \(A\),让闭环特征方程真有解",这两个数就是振荡的频率和幅值。第一遍绕不过来很正常,卡点通常就在这儿。
3. 例题一:理想继电 + 三阶线性部分,求自振参数(\(\omega=4.36\);\(M=10\) 时 \(A=1.273\))
题目条件(据转录复原):单位负反馈非线性系统,非线性环节为理想继电特性,线性部分 $\(G(s)=\frac{12}{(s+1)(s^{2}+6s+13)}\)$ 理想继电的描述函数(据PPT幻灯片37): $\(N(A)=\frac{4M}{\pi A}\)$ - 这式子在说什么:继电器输出只有 \(\pm M\) 两个值,输入正弦越大(\(A\) 越大),输出那个方波相对就"显得越小",所以等效增益随 \(A\) 反比下降。 - 符号:\(M\) 是继电器输出的幅值(常数),\(A\) 是输入正弦振幅,\(\pi\approx3.1416\)。 - 【难点·这个 \(4M/\pi\) 是从哪冒出来的(PPT 直接给结论,不讲来历,这里补上,因为第7节要求你自己求 \(N(A)\),不知道来历就求不出)】:给理想继电输入 \(A\sin\omega t\),输入为正的半个周期输出恒为 \(+M\)、为负的半个周期输出恒为 \(-M\)——输出是一个幅值为 \(M\)、和输入同频同相的方波。按上面讲的傅里叶级数把这个方波拆开,它的基波幅值是 \(\dfrac{4M}{\pi}\)(这是幅值为 \(M\) 的对称方波的标准结论:方波 \(=\dfrac{4M}{\pi}\left(\sin\omega t+\frac13\sin3\omega t+\frac15\sin5\omega t+\cdots\right)\),括号里第一项前的系数就是基波幅值;注意方波只含奇次谐波)。因为同相,复振幅的辐角为 0,即复振幅 \(=\dfrac{4M}{\pi}\)(实数)。再按定义除以输入振幅 \(A\): $\(N(A)=\frac{\text{输出基波复振幅}}{A}=\frac{4M/\pi}{A}=\frac{4M}{\pi A}\)$ 这就是全部来历。求任何一个无滞环非线性的 \(N(A)\) 都是这三步:①画出输入正弦时的输出波形 ②取它的基波幅值 ③除以 \(A\)。 - 用法:代入 \(-1/N(A)\) 得 $\(-\frac{1}{N(A)}=-\frac{\pi A}{4M}\)$
第一步:画 \(-1/N(A)\) 曲线。 \(-\pi A/(4M)\) 是个负实数。\(A=0\) 时它是 \(0\);\(A\to\infty\) 时它是 \(-\infty\)。所以这条曲线就是整条负实轴,箭头(振幅增大方向)从原点指向 \(-\infty\)。
【你可能会以为】\(-1/N(A)\) 总是一条一维的线,画起来无所谓。但其实只有像理想继电这种 \(N(A)\) 为实数的非线性才落在负实轴上;有滞环的继电特性 \(N(A)\) 带虚部(见PPT幻灯片37的 \(m=-1\) 情形),它的负倒描述函数就跑到复平面上去了,不再是负实轴。别把"负实轴"当成普遍结论。
第二步:画 \(G(j\omega)\) 的奈氏曲线。 - 起点(\(\omega=0\)):\(G(0)=\dfrac{12}{1\times13}=\dfrac{12}{13}\approx0.923\),在正实轴上。这是0型系统(分母里没有 \(s\) 的因子,即没有积分环节),所以起点是有限实数 \(K\),不跑到无穷远。ASR把"0型系统"念成"菱形系统"。 - 终点(\(\omega\to\infty\)):【补前置】\(n\) 和 \(m\) 是什么:\(n\) = 分母多项式的最高次数(本例分母 \((s+1)(s^2+6s+13)\) 乘开是 3 次,\(n=3\)),\(m\) = 分子多项式的最高次数(本例分子是常数 12,\(m=0\))。所以 \(n-m=3\)。为什么每高一阶就多 \(-90^{\circ}\):分母每多一个一阶因子(即多一个惯性环节 \(\frac{1}{Ts+1}\)),它在 \(\omega\to\infty\) 时相角趋于 \(-90^{\circ}\)(因为 \(\frac{1}{jT\omega+1}\) 在 \(\omega\) 很大时约等于 \(\frac{1}{jT\omega}\),而 \(\frac1j=-j\) 对应 \(-90^{\circ}\)),总相角是各环节相角相加,本例相当于 3 个这样的环节,合计 \(3\times(-90^{\circ})=-270^{\circ}\);同时幅值趋于 0。所以曲线沿 \(-270^{\circ}\) 方向趋于原点。 - 中频段:曲线中间段只需定性画出。转录里老师给的说法是"分子没有零点,所以曲线不会出现凹凸交替(要么全凸要么全凹)"——这是一条经验性的定性判断(所谓"凹凸"指奈氏曲线弯曲的方向是始终朝一侧、还是中途改变弯向),PPT 与教材中查不到这条作为定理的表述,故不当结论用。考试只要求把曲线定性画出来(起点、终点方向、与实轴虚轴的交点连成一条光滑曲线),真正要精确算的只有下面这个交点。
求交点——分母有理化。【补前置】 复数分式 \(\frac{1}{a+jb}\) 不好看实虚部,把分子分母同乘共轭 \(a-jb\),分母变成实数 \(a^2+b^2\),实虚部就分离出来了。这就是"分母有理化"。
先把分母乘开: $\((1+j\omega)(13-\omega^{2}+j6\omega)=(13-\omega^{2}-6\omega^{2})+j\big(6\omega+13\omega-\omega^{3}\big)=(13-7\omega^{2})+j\,\omega(19-\omega^{2})\)$ 于是 $\(G(j\omega)=\frac{12\big[(13-7\omega^{2})-j\,\omega(19-\omega^{2})\big]}{(13-7\omega^{2})^{2}+\omega^{2}(19-\omega^{2})^{2}}\)$
与负实轴的交点(这才是本题要的):虚部为零 \(\Rightarrow \omega(19-\omega^{2})=0 \Rightarrow \omega^{2}=19 \Rightarrow \omega=\sqrt{19}\approx4.36\)。 代回实部: $\(G(j\sqrt{19})=\frac{12}{13-7\times19}=\frac{12}{13-133}=\frac{12}{-120}=-0.1\)$ 所以奈氏曲线在 \(\omega=\sqrt{19}\approx4.36\) 处穿过负实轴的 \(-0.1\) 点。
第三步:联立求自振参数。 $\(-\frac{\pi A}{4M}=-0.1\;\Longrightarrow\;A=\frac{0.4M}{\pi}\)$ 【存疑·待核】继电器幅值 \(M\):转录里的题面条件缺失,没有明确给出 \(M\)。转录末尾有一句 ASR 糊音"\(M\) 也知道了,等于十",据此推测 \(M=10\);但这句本身不可靠,而且如果拿"答案是 1.273"去反推 \(M\)、再用这个 \(M\) 算回 1.273,那是拿结论推条件再推结论(循环论证),不能算证明。所以这里如实写成:\(M\) 取 10(存疑,按转录口播,题面未见),结论按条件式陈述——
在 \(M=10\) 的条件下: $\(A=\frac{0.4\times10}{\pi}=\frac{4}{\pi}\approx1.273,\qquad \omega=\sqrt{19}=4.3589\approx4.36\)$ 即自振振幅约 \(1.273\)、自振频率约 \(4.36\) rad/s。若考卷给的是别的 \(M\),频率不变、振幅按 \(A=0.4M/\pi\) 重算(见自测第5题)。转录里老师口播的 \(\omega=4.39\) 是口误或字幕误听,\(\sqrt{19}=4.3589\)。
【存疑·待核】 转录中老师还讨论了曲线与虚轴的交点,口播结果是 \(\omega=\sqrt{7}\approx2.36\)。但按上面分母的实部 \(13-7\omega^{2}=0\) 解得 \(\omega=\sqrt{13/7}\approx1.36\),与口播不一致(字幕在这一段数字明显混乱,老师本人也说"算的时候有点问题,但思路没问题")。与虚轴的交点不影响本题答案——因为 \(-1/N(A)\) 落在负实轴上,决定自振的只有与负实轴的交点。这一处按转录无法确认,按PPT也查不到本例,故标存疑;考试答题只需算负实轴交点。
【难点】本题真正的难点不是算数,是知道该算什么。零基础同学最容易的错误是老老实实把整条奈氏曲线精确描点画出来。正确姿势是:先看 \(-1/N(A)\) 落在哪(这里是负实轴),再只去求 \(G(j\omega)\) 与那条线的交点,其余的走向定性画出来即可。老师最后总结的原话意思也是:关键在"负倒描述函数曲线和线性部分奈奎斯特曲线的绘制"上。
4. 例题二:非线性微分方程求奇点、判类型、画相轨迹
题目:非线性系统的微分方程(据转录复原) $\(\ddot x=f(x,\dot x)=-3\dot x^{2}+0.5\dot x-x-x^{2}\)$
这式子在说什么:加速度由当前位置和当前速度共同决定,而且依赖方式是非线性的(出现了 \(x^{2}\) 和 \(\dot x^{2}\))。
4.1 第一步:求奇点
奇点 = 平衡点 = 系统"停得住"的状态,即速度为零、加速度也为零: $\(\dot x=0,\quad \ddot x=0\)$ 代入方程,含 \(\dot x\) 的项全没了,剩 $\(-x-x^{2}=0\;\Longrightarrow\;x(x+1)=0\;\Longrightarrow\;x=0\ \text{或}\ x=-1\)$ 所以有两个奇点:\((0,0)\) 和 \((-1,0)\)。注意它们的纵坐标都是0——这正对应PPT幻灯片57那句"奇点只能在 \(x\) 轴上"。
【你可能会以为】非线性系统跟线性系统一样只有一个平衡点。但其实非线性系统可以有多个平衡点,而且不同平衡点的性质可以完全不同(本题一个是不稳定焦点、一个是鞍点)。这正是非线性系统的特有现象之一,也是PPT幻灯片49说的"运动的稳定性与初始条件有关"的根源:初值落在哪一边,结局就不一样。
4.2 第二步:在每个奇点附近做线性化
【补前置】线性化在干什么:曲线在某一点附近,可以用过该点的直线近似(这就是导数的几何意义)。两个变量时就是用两个偏导数做"多元一阶泰勒展开": $\(\ddot x\approx\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\text{奇点}}\!\Delta x+\left.\frac{\partial f}{\partial \dot x}\right|_{\text{奇点}}\!\Delta \dot x\)$ - 符号:\(\Delta x\) 是相对奇点的位置偏差,\(\Delta\dot x\) 是速度偏差;\(|_{\text{奇点}}\) 表示把奇点坐标代进偏导数里,得到一个数。 - 为什么没有常数项:奇点处 \(f=0\),常数项本来就是0。 - 怎么用:得到一个常系数线性微分方程,再用第3章那套"看特征根"的办法判断附近的运动形态。
先把两个偏导数求出来: $\(\frac{\partial f}{\partial x}=-1-2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial \dot x}=-6\dot x+0.5\)$
奇点一 \((0,0)\):代入得 \(\partial f/\partial x=-1\),\(\partial f/\partial\dot x=0.5\),线性化方程 $\(\ddot x=-x+0.5\dot x\quad\Longleftrightarrow\quad \ddot x-0.5\dot x+x=0\)$ 【补前置】特征方程:对常系数线性微分方程,把 \(\ddot x\) 换成 \(\lambda^{2}\)、\(\dot x\) 换成 \(\lambda\)、\(x\) 换成 \(1\),得到的代数方程就是特征方程,它的根决定解的形态(第3章学过:根在左半平面则衰减,右半平面则发散,复根带来振荡)。 $\(\lambda^{2}-0.5\lambda+1=0\;\Rightarrow\;\lambda_{1,2}=\frac{0.5\pm\sqrt{0.25-4}}{2}=\frac{0.5\pm j\sqrt{3.75}}{2}=0.25\pm j\,0.968\)$ 【补前置】根号下是负数怎么办:\(\sqrt{-3.75}=j\sqrt{3.75}\),\(j\) 是虚数单位(\(j^{2}=-1\))。这里 \(\sqrt{3.75}=1.9365\),除以 2 得 \(0.968\),所以虚部是 \(\pm0.968\)。(转录 ASR 里老师口播的是 \(0.984\),那是听写糊掉的数;按题给方程精确算是 \(0.968\),以此为准。不影响结论:实部同为 \(+0.25\)。)一对共轭复根意味着运动带振荡;实部的正负决定这个振荡是发散还是衰减。
这里实部 \(=+0.25>0\),是一对实部为正的共轭复根 ⇒ 振荡且发散 ⇒ 该奇点是不稳定焦点。 - 【补前置】焦点是什么:相轨迹在该点附近呈螺旋线。往里旋(收敛)是稳定焦点,往外旋(发散)是不稳定焦点。 相轨迹画法:在坐标原点附近画一圈圈向外旋出的螺旋,箭头朝外。
奇点二 \((-1,0)\):代入 \(x=-1,\dot x=0\):\(\partial f/\partial x=-1-2(-1)=+1\),\(\partial f/\partial\dot x=0.5\),线性化方程 $\(\ddot x=x+0.5\dot x\quad\Longleftrightarrow\quad \ddot x-0.5\dot x-x=0\)$ $\(\lambda^{2}-0.5\lambda-1=0\;\Rightarrow\;\lambda_{1,2}=\frac{0.5\pm\sqrt{0.25+4}}{2}=\frac{0.5\pm2.0616}{2}=1.281,\;-0.781\)$ 两个实根、一正一负 ⇒ 该奇点是鞍点(ASR写成"安点")。 - 【补前置】鞍点是什么:形状像马鞍。沿一个方向(对应负根)轨迹被吸进来,沿另一个方向(对应正根)被推出去。图上表现为两条穿过奇点的分界线(一条箭头指向奇点、一条背离奇点),其余轨迹先靠近再拐弯离开,像双曲线。鞍点永远是不稳定的(只要有一个正根就发散)。 - 画法:在 \((-1,0)\) 处画两条交叉的分界线 + 四条像双曲线一样先近后远的轨迹。
【存疑·待核】 转录里老师口播这两个根是 \(1.218\) 与 \(-0.718\)。按题给方程精确解应为 \(1.281\) 与 \(-0.781\)(数字被字幕颠倒了)。不影响结论:一正一负 ⇒ 鞍点。
【难点】鞍点是本讲老师专门点名"相对较为少见"的类型,也是最容易画错的。难在:它的相轨迹不是一堆随便发散的线,而是被两条分界线切成四块,每块里的轨迹走向不同。判据要背牢:两个实根异号 = 鞍点;两个实根同号 = 节点(同负稳定、同正不稳定);共轭复根实部非零 = 焦点;纯虚根 = 中心点。 这张对应表可归纳为 PPT 幻灯片63 标题"奇点附近相轨迹形状和根位置的关系"之下的图表内容(该页正文只有这一行标题,具体对应关系是图片,上面五条判据为本讲按第3章特征根规律自行归纳,非PPT逐字原文)。
5. 例题三:\(\ddot x+\dot x^{2}+x=0\) —— 中心点
方程:\(\ddot x+\dot x^{2}+x=0\),即 \(f(x,\dot x)=-x-\dot x^{2}\)。
求奇点:令 \(\dot x=0,\ \ddot x=0\) ⇒ \(-x=0\) ⇒ \(x=0\)。唯一奇点在相平面原点 \((0,0)\)。
线性化: $\(\frac{\partial f}{\partial x}=-1,\qquad \frac{\partial f}{\partial \dot x}=-2\dot x\ \Big|_{\dot x=0}=0\)$ 所以 $\(\ddot x=-x\quad\Longleftrightarrow\quad \ddot x+x=0,\qquad \lambda^{2}+1=0\;\Rightarrow\;\lambda_{1,2}=\pm j\)$ 一对共轭纯虚根(实部为0) ⇒ 该奇点是中心点。
【补前置】中心点是什么:相轨迹是围绕该点的一圈圈闭合曲线(不往里收也不往外发散)。
说话的分寸(这里容易被讲滑过去):上面得到的 \(\ddot x+x=0\)、\(\lambda=\pm j\)、圆形闭轨迹、\(x=A\sin(t+\varphi)\) 的简谐运动,全都是线性化之后的结论——\(\ddot x+x=0\) 正是弹簧振子无阻尼时的方程,"简谐"一词来自它。而原非线性系统 \(\ddot x+\dot x^2+x=0\) 的真实相轨迹并不是圆,时域波形也不是标准正弦(那个 \(\dot x^2\) 项在速度大的地方会明显起作用),只有在原点很小的邻域内、\(|\dot x|\) 很小使 \(\dot x^2\) 可忽略时,真实轨迹才近似闭合、近似简谐。所以正确的表述次序是:先说"线性化后该奇点为中心点",再说"故原系统在原点附近近似做等幅振荡",不要一步跳到"原系统做简谐运动"。(同样的分寸问题在第6节还会出现一次,那里是带死区的周期运动,同样不是严格简谐。)
【你可能会以为】既然是闭合曲线、等幅振荡,那中心点和第2节说的"自激振荡"是一回事。但其实不是。 自激振荡对应的是极限环——据PPT幻灯片64,极限环是相平面上孤立的闭曲线,附近其他相轨迹都趋向它或离开它,"稳定的极限环对应自激振荡";而中心点周围是一族闭曲线(无穷多个,一层套一层),换个初值就换一条,它们不孤立,也不互相吸引。区别在于:极限环的振幅由系统本身决定(扰动后能回来),中心点的振幅由初始条件决定(扰动后就换一条曲线,回不去了)。
【难点】"线性化后是纯虚根 ⇒ 原非线性系统就一定是中心点"这个推论其实不严格——纯虚根是临界情形,高阶项可能把它推成微弱的螺旋。考研按教材做法直接判为中心点即可,但要知道这是近似结论,别当成数学定理。
6. 例题四:带死区的系统,开关线分区画相轨迹
这是相平面法的第二类考法:给结构图,不是直接给微分方程。
题目条件(据转录复原):单位负反馈系统,前向通道 = 一个死区非线性 + 线性部分 \(G(s)=\dfrac{1}{s^{2}}\)。系统初始静止,输入 \(r(t)\) 是阶跃信号。要求写出开关线方程并画相轨迹、判断运动性质。
【补前置】几个词: - 单位负反馈:输出直接减回输入端,误差 \(e(t)=r(t)-c(t)\)。 - 阶跃信号:\(t<0\) 时为0,\(t\ge0\) 突然跳到某个常数并保持(比如开关一合电压就上来了)。ASR念成"节约信号"。它的关键性质:\(t>0\) 之后它是常数,所以 \(\dot r=\ddot r=0\)。 - 开关线:据PPT幻灯片66,分段线性的非线性特性,其折线的各个折点在相平面上构成区域分界线,称为开关线。这里死区的折点在 \(e=\pm2\),所以开关线就是 \(e=2\) 和 \(e=-2\) 这两条竖直线。
6.1 建立三个方程
设非线性环节的输出为 \(m(t)\)。
方程一(线性部分):\(\dfrac{C(s)}{M(s)}=\dfrac{1}{s^{2}}\),交叉相乘得 \(s^{2}C(s)=M(s)\),回到时域: $\(\ddot c(t)=m(t)\)$ 意思:非线性环节的输出直接就是输出量的加速度(两个积分环节)。【补前置】\(1/s\) 是积分器:传递函数 \(1/s\) 对应"把输入对时间积分一次",两个串起来就是积一次再积一次,所以输出的二阶导 = 输入。
方程二(非线性环节,即死区特性): $\(m=\begin{cases}0, & |e|\le 2\\ e-2, & e>2\\ e+2, & e<-2\end{cases}\)$ 意思:误差在 \(\pm2\) 以内元件不动作(死区);超出后按斜率1线性输出,但要扣掉那段死区宽度。
方程三(比较点):\(e=r-c\)。
6.2 化成以误差为变量的相平面方程
把三式合并。由 \(e=r-c\) 求两次导:\(\ddot e=\ddot r-\ddot c\)。阶跃输入在 \(t>0\) 时 \(\ddot r=0\),所以 $\(\ddot e=-\ddot c=-m\)$ 分区代入方程二:
- 区域一 \(|e|\le2\):\(m=0\Rightarrow \ddot e=0\)。
- 区域二 \(e>2\):\(m=e-2\Rightarrow \ddot e=-(e-2)\),即 \(\ddot e+e-2=0\)。
- 区域三 \(e<-2\):\(m=e+2\Rightarrow \ddot e=-(e+2)\),即 \(\ddot e+e+2=0\)。
为什么选 \(e\) 当相平面变量而不是 \(c\):因为非线性环节的输入是 \(e\),死区的分界条件是写在 \(e\) 上的。只有以 \(e\) 为横轴,开关线才是两条干净的竖直线。这一步是本题的关键取舍,老师在转录里也强调"讨论有开关线的非线性时,一定找非线性的输入输出之间的关系"。
6.3 逐区分析
区域一(\(-2\le e\le2\)):\(\ddot e=0\) ⇒ \(\dot e=\) 常数。相平面上 \(\dot e\) 不变、\(e\) 在变 ⇒ 相轨迹是平行于横轴的水平直线。 - 【难点】这一区没有奇点(因为 \(\ddot e\equiv0\) 但 \(\dot e\) 不必为0),别硬找。轨迹方向由 \(\dot e\) 的正负定:\(\dot e>0\)(上半平面)向右走,\(\dot e<0\)(下半平面)向左走——这正是PPT幻灯片57那两句"上半平面相轨迹从左向右,下半平面从右向左"。
区域二(\(e>2\)):\(\ddot e+e-2=0\)。令 \(\ddot e=0,\dot e=0\) ⇒ 奇点在 \((e,\dot e)=(2,0)\)。特征方程 \(\lambda^{2}+1=0\) ⇒ \(\lambda=\pm j\) ⇒ 中心点,即轨迹在它周围闭合。
【补前置·这一步是相平面法的通用解析法,必须会,光知道"中心点"画不出图】怎么由二阶微分方程真正算出相轨迹的方程: 相轨迹是 \(\dot e\) 关于 \(e\) 的曲线,可方程里是对时间求导。桥梁是换元(链式法则): $\(\ddot e=\frac{d\dot e}{dt}=\frac{d\dot e}{de}\cdot\frac{de}{dt}=\dot e\,\frac{d\dot e}{de}\)$ - 这式子在说什么:把"速度对时间的变化率"改写成"速度对位置的变化率乘以速度",这样式子里就只剩 \(e\) 和 \(\dot e\)、时间 \(t\) 被消掉了——这正对应 PPT 那句"相平面上时间是隐含的"。 代进 \(\ddot e+e-2=0\): $\(\dot e\,\frac{d\dot e}{de}=-(e-2)\;\Longrightarrow\;\dot e\,d\dot e=-(e-2)\,de\)$ 两边分别积分(左边对 \(\dot e\) 积、右边对 \(e\) 积,都是最基本的 \(\int u\,du=\tfrac12u^2\)): $\(\frac{\dot e^{2}}{2}=-\frac{(e-2)^{2}}{2}+C\;\Longrightarrow\;(e-2)^{2}+\dot e^{2}=R^{2}\quad(R^2=2C)\)$ - 这就是相轨迹方程:在 \((e,\dot e)\) 平面上,它是以 \((2,0)\) 为圆心、半径 \(R\) 的圆。\(C\) 是积分常数,由进入本区域那一刻的相点坐标定 —— 即半径 \(R\) 由"轨迹从哪儿进入这个区域"决定,不是随便画的。同理区域三得 \((e+2)^2+\dot e^2=R'^2\),圆心 \((-2,0)\)。 - 这套换元是通法:任何 \(\ddot e=f(e,\dot e)\) 都可以试着这么消掉时间,能分离变量就能积出相轨迹的解析式。区域一同样成立:\(\ddot e=0\Rightarrow \dot e\frac{d\dot e}{de}=0\Rightarrow \dot e=\) 常数,正是水平直线。 - 【难点】这个中心点恰好落在开关线 \(e=2\) 上,而它的闭合轨迹只有落在 \(e>2\) 这一侧的那半段是有效的,越过开关线就不归这个方程管了。老师原话意思也是"这个中心点对应的相轨迹只能出现在第二个区域内"。学生最常犯的错就是把整个圆画完。
区域三(\(e<-2\)):同理 \(\ddot e+e+2=0\),奇点 \((-2,0)\),\(\lambda^{2}+1=0\),也是中心点,只取 \(e<-2\) 那半段圆弧。
6.4 初始相点在哪(不落实这个,第一笔就无从下手)
题目说"系统初始静止、输入阶跃 \(r(t)=R\cdot 1(t)\)"。翻译成相平面上的坐标:
- 初始静止 ⇒ 输出及其变化率都为零:\(c(0)=0,\ \dot c(0)=0\)。
- 由 \(e=r-c\):\(t=0^{+}\) 时 \(r\) 已跳到 \(R\),而 \(c\) 还来不及动,所以 $\(e(0)=R-0=R,\qquad \dot e(0)=\dot r-\dot c=0-0=0\)$
- 结论:初始相点是 \((e,\dot e)=(R,\,0)\),落在横轴上 \(e=R\) 处。 描图就从这一点下笔。
从这一点怎么走(以 \(R>2\) 为例,即阶跃幅度大于死区半宽,这是最常考的情形):初始点 \((R,0)\) 在区域二(\(e>2\)),所以第一段轨迹是圆 \((e-2)^2+\dot e^2=R'^2\),半径由初始点定:\(R'=|R-2|\),即以 \((2,0)\) 为心、过 \((R,0)\) 的那个圆。相点沿它向下半平面走(因为 \(\ddot e=-(e-2)<0\),\(\dot e\) 从 0 开始变负),转半圈到 \(e=2\) 附近越过开关线,进入中间带变成水平线,再到左边绕另一个圆……
【难点】\(R\) 与死区宽度的大小关系会改变图形: - 若 \(R>2\):如上,相点起于区域二,会依次经过右圆弧、中间水平段、左圆弧,形成闭合的周期运动。 - 若 \(R\le2\):初始点 \((R,0)\) 就落在中间死区带内,该区 \(\ddot e=0\) 且初始 \(\dot e=0\) ⇒ 相点原地不动,系统根本不动作,误差恒为 \(R\)——即死区造成的稳态误差,不是振荡。 这一条转录里没展开,但它是"死区非线性"最典型的物理后果,考试若问"运动性质"要能分情况说。
6.5 拼图与结论
把三块拼起来:中间是一条条水平线,左右两侧各是绕 \((\pm2,0)\) 的半圆弧。相点从 \((R,0)\) 出发(\(R>2\) 时),先绕右侧半圆弧 → 水平走过中间带 → 到左侧绕半个圆弧 → 再水平走回来……首尾相接,形成闭合曲线。
结论:系统做周期运动(等幅振荡)。转录里老师称之为"简谐振荡/周期性振荡"——注意措辞的分寸:严格说带死区中间那段是匀速直线运动,整个周期波形不是纯正弦,只是周期性的等幅振荡,不是严格意义的简谐波。这一点老师口播偏松,按考试答"系统存在周期运动(等幅振荡)"最稳。
7. 例题五:两个非线性环节串联的等效化简(老师只简讲)
题目:结构图里有两个非线性环节相互串联。要用描述函数法,必须先把它们等效成一个非线性。
关键结论(据PPT幻灯片38原文):"串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非线性描述函数的乘积。" 作为对照,幻灯片40给出并联的结论:"并联的非线性特性的描述函数相当于两个非线性环节的描述函数之和。"
【你可能会以为】线性环节串联传递函数相乘,那非线性串联描述函数也相乘。但其实绝对不行。 原因:描述函数是"输入是正弦时取输出基波"算出来的。第一个非线性的输出已经不是正弦了(是畸变波),把它当第二个非线性的输入,第二个的描述函数定义前提就不成立。正确做法是先在"静特性"层面把两条折线合成一条——即直接问:第一级输入取某个值时,经两级后最终输出是多少?把这个输入-输出关系画成一条新折线,再对这条合成后的单一非线性求描述函数。
("静特性"一词见第1节【补前置】:不看时间、只看"输入取某个值 → 输出是多少"的那条折线。合成的做法就是:取一个输入值 \(x\),先查第一条折线得到中间量,再拿这个中间量去查第二条折线得到最终输出,把所有 \(x\) 的结果连起来就是新折线。)
老师对本题的处理(要点转述):两个环节串联后,等效出的仍是一个奇对称的分段特性——【补前置】奇对称指这条折线关于原点中心对称,即输入取相反数时输出也恰好取相反数(\(f(-x)=-f(x)\);死区、饱和、理想继电都满足)。它的好处是:输出波形中不含直流分量和偶次谐波,基波成分好算,描述函数 \(N(A)\) 的标准公式正是在这个前提下用的。本题转折点出现在 \(0.5\) 和 \(2\) 处;化简完就可以按标准的"非线性 + 线性"典型结构,用第3节的方法算 \(N(A)\)(求法见第3节那三步:画输出波形 → 取基波幅值 → 除以 \(A\))。
本题老师明说"只简单讲一下",转录里没有给出等效折线的具体斜率和幅值,也未给出该题线性部分。因此此处不展开——不是省略了要点,而是原始素材确实只到这一步。 需要完整做法时,按上面"合成静特性再求描述函数"的思路自己推即可。
8. 这一讲的骨架(真正要带走的)
- 描述函数法三步走:①写出 \(-1/N(A)\) 并画出来(理想继电 ⇒ 整条负实轴,箭头朝 \(-\infty\));②画 \(G(j\omega)\) 奈氏曲线,重点是求它与 \(-1/N(A)\) 所在那条线的交点;③交点的 \(\omega\) = 自振频率,交点的 \(A\) = 自振振幅,再按穿越方向判断这个振荡能不能维持。
- 求交点的技术动作:分母乘开、有理化、分虚实部;要与负实轴交 ⇒ 虚部置零解 \(\omega\),再代回实部求交点坐标。
- 相平面法两类考法:给微分方程 ⇒ 求奇点(令 \(\dot x=\ddot x=0\))、偏导线性化、解特征根、按根的位置判奇点类型、画相轨迹;给结构图 ⇒ 以误差 \(e\) 为变量、找开关线、分区列方程、逐区求奇点、拼图。
- 奇点类型对照表(必须背死):异号实根 = 鞍点;同为负实根 = 稳定节点;同为正实根 = 不稳定节点;共轭复根实部为负 = 稳定焦点,实部为正 = 不稳定焦点;纯虚根 = 中心点。
- 串联非线性的描述函数 ≠ 两者相乘,必须先合成静特性。
- 诚实的难度提示:第一遍看不懂很正常。最常见的三个卡点是——(a) 为什么要用 \(-1/N(A)\) 而不是别的;(b) 鞍点的相轨迹长什么样;(c) 例题四为什么以 \(e\) 而不是 \(c\) 作横轴。这三处卡住就回来重读第2、4.2、6.2节。
9. 自测(戳穿假懂版)
第1题:某系统非线性为理想继电(\(M=5\)),线性部分为 \(G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)(s+2)}\)。有同学说"\(-1/N(A)\) 是负实轴,而 \(G(j\omega)\) 起点在正实轴上,所以两条线一定相交"。他错在哪?
答案要点:错在"起点在正实轴"。这个 \(G(s)\) 分母有一个 \(s\) 因子(含积分环节),是1型系统,\(\omega\to0\) 时幅值趋于无穷、相角为 \(-90^{\circ}\),起点在负虚轴无穷远处,根本不在正实轴。是否相交要另算(令虚部为零求 \(\omega\),再看实部交点绝对值和 \(-\pi A/(4M)\) 能否相等)。 答错说明:你把"0型系统起点在实轴 \(K\) 处"当成万能结论背了,第5章的奈氏曲线起点/终点规则没真掌握——回去补第10讲。
第2题:\(\ddot x+\dot x-2x=0\)(这是已经线性化好的方程),判断原点是什么奇点,并说出相轨迹形状。
答案要点:\(\lambda^{2}+\lambda-2=0\Rightarrow(\lambda+2)(\lambda-1)=0\Rightarrow\lambda=-2,\,1\)。两个实根异号 ⇒ 鞍点,不稳定。相轨迹被两条分界线切成四块,呈双曲线状先靠近再离开。 答错说明:如果你答"有一个负根所以部分稳定",说明你没抓住核心——只要有一个根在右半平面就发散,鞍点无条件不稳定。
第3题:例题四中,如果把死区宽度从 \(\pm2\) 改成 \(\pm4\),系统的相轨迹会怎么变?还是周期运动吗?
答案要点:开关线移到 \(e=\pm4\),两个中心点移到 \((\pm4,0)\),中间水平段变长。结构不变,仍是闭合曲线 ⇒ 仍是周期运动,但振荡的幅度更大、周期更长。 答错说明:如果你答"死区变大系统就稳定了",说明你把"死区让系统不动作"误当成"系统收敛"了。死区不提供阻尼,能量没有耗散途径,只是把振荡摊得更大更慢。(【补前置】阻尼=像空气阻力、摩擦那样和速度反向、随速度增大而增大的作用,它把运动的能量变成热"吃掉",所以有阻尼的振荡会越振越小;能量耗散就是"能量被吃掉、变不回运动"。数学上表现为方程里有 \(\dot e\) 这一项——本题三个区域的方程分别是 \(\ddot e=0\)、\(\ddot e+e\mp2=0\),一个 \(\dot e\) 项都没有,所以没有阻尼、能量不耗散,轨迹才闭合。)
第4题:两个非线性环节串联,第一个是死区,第二个是饱和。某同学写 \(N(A)=N_1(A)\cdot N_2(A)\)。为什么这是错的?正确做法是什么?
答案要点:错,因为描述函数的定义前提是"输入为正弦",而第一级的输出已经畸变,不再是正弦,第二级的 \(N_2\) 无从定义。据PPT幻灯片38,"串联非线性特性的描述函数绝不等于两个非线性描述函数的乘积"。正确做法:先把两条静特性折线合成一条等效折线,再对这条等效非线性求描述函数。 答错说明:说明你把描述函数当成了普通传递函数——这是第8章最典型的思维惯性错误。
第5题:例题一中,如果把继电器幅值 \(M\) 从10改成20,自振的振幅和频率各自怎么变?
答案要点:频率不变,仍是 \(\omega=\sqrt{19}\approx4.36\)——因为频率只由 \(G(j\omega)\) 与负实轴的交点位置决定,与 \(M\) 无关。振幅 \(A=0.4M/\pi\) 翻倍为 \(2.546\)。 答错说明:如果你答"两个都变",说明你没看清:\(-1/N(A)\) 是整条负实轴,\(M\) 只改变"\(A\) 取多少才能落到那个交点",不改变交点位置本身。这题是检验你有没有真懂第2节那个"两条曲线各爬各的参数"的机制。
知识地图
向前串(这一讲吃的是哪些老本) - 第2章:传递函数、结构图化简、比较点——例题四写 \(C(s)/M(s)=1/s^2\) 和 \(e=r-c\) 全靠它。 - 第3章:特征方程与特征根、根的位置决定运动形态(衰减/发散/振荡)——第4、5、6题判奇点类型直接就是第3章那套判据换了个说法;二阶系统 \(\ddot c+2\zeta\omega_n\dot c+\omega_n^2c=0\) 的相轨迹就是PPT幻灯片59的内容。 - 第5章:奈奎斯特曲线的绘制(起点由系统型别定、终点由 \(n-m\) 定、与实虚轴交点用有理化求)、奈氏判据 \(1+G(j\omega)=0\)——例题一就是把第5章原封不动搬过来,只把 \(-1\) 换成 \(-1/N(A)\)。第5章没学扎实,第8章的描述函数法必然做不出来,老师在转录里也专门提醒了这一点。(不过本讲用到的第5章那几个词——奈氏曲线、包围、极点/左半平面、零点、型别——已在第1节【补前置】里就地补到够用,先往下读没问题,不必先回去啃完整个第5章。) - 数学:偏导数、一阶泰勒展开、复数与共轭复根、一元二次方程求根公式。
横向串(第8章内部) - 描述函数法 ↔ 相平面法:同一个"会不会振荡"的问题,两种语言。描述函数法在频域复平面上看两条曲线交不交;相平面法在状态平面上看轨迹闭不闭合。两者对"等幅振荡"的表述分别是"稳定的交点(自振点)"和"稳定的极限环"——PPT幻灯片64一句话把它们焊在一起:"稳定的极限环对应自激振荡"。 - 中心点 ↔ 极限环:都画闭曲线,但一族 vs 孤立,见第5节的【你可能会以为】。 - 单非线性 ↔ 多非线性:多非线性要先化简(串联合成静特性、并联描述函数相加),化简完回到单非线性的标准流程。
向后串(用在哪) - 第8章是全书最后一章,不再往后串,但它是综合题的常客:一道题往往要求先画奈氏曲线(第5章)、再判自振(第8章),或先化简结构图(第2章)、再分区画相轨迹。 - 从考试角度看:据老师这一讲的说法,描述函数法的比重在上升;相平面法主要考"给非线性微分方程求奇点判类型"和"给结构图找开关线分区"两种固定套路,题型变化很小,属于性价比高、值得刷熟的题型。