\[\frac{E(s)}{R(s)} = (1-G_2G_3H_1) \cdot \frac{1}{1+G_1G_2H_1} = \frac{1-G_2G_3H_1}{1+G_1G_2H_1}\]
又解 可用信号流图方法对结果进行验证。
图2-100系统的信号流图如图2-103所示,可用梅森增益公式求传递函数\(E(s)/R(s)\)。
图2-103 系统信号流图
考察系统信号流图2-103可知,本系统有两条前向通道,一个单独回路,即
\[L_1 = -G_1G_2H_1, \qquad \Delta = 1-L_1 = 1+G_1G_2H_1\]
\[p_1 = 1, \quad \Delta_1 = 1; \qquad p_2 = -G_2G_3H_1, \quad \Delta_2 = 1\]
由梅森增益公式可得传递函数\(E(s)/R(s)\)为
\[\frac{E(s)}{R(s)} = \frac{\sum p_i\Delta_i}{\Delta} = \frac{1-G_2G_3H_1}{1+G_1G_2H_1}\]
2-52 设系统的脉冲响应函数为
\[g(t) = \begin{cases} 5\mathrm{e}^{-t}, & t \geqslant 0 \\ 0, & t<0 \end{cases}\]
系统输入量\(r(t)\)的形式如图2-104所示。试求该系统在\(r(t)\)作用下的输出表达式\(c(t)\),并画出\(c(t)\)的大致图形。
解 根据题意可知系统的传递函数为
\[G(s) = \mathscr{L}[g(t)] = \frac{5}{s+1}\]
系统输入量\(r(t)\)为在0~1时刻的单位阶跃输入,则
\[C(s) = G(s) \cdot R(s) = \frac{5}{s(s+1)} = \frac{5}{s} - \frac{5}{s+1}\]
即
\[c(t) = \mathscr{L}^{-1}\left[\frac{5}{s} - \frac{5}{s+1}\right] = 5-5\mathrm{e}^{-t}, \qquad t \in [0,1]\]
当\(t=1\)时,\(c(1) = 5-5\mathrm{e}^{-1} = 3.16\)。
当\(t=1\sim\infty\)时,系统输出为初始状态是3.16的零输入响应
\[c(t) = \mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+1}\right]c(1) = 3.16 \cdot \mathrm{e}^{-t}, \qquad t \in [1,\infty)\]
则系统输出为
\[c(t) = \begin{cases} 5-5\mathrm{e}^{-t}, & t \in [0,1] \\ 3.16\mathrm{e}^{-t}, & t \in [1,\infty) \end{cases}\]
\(c(t)\)的大致图形如图2-105所示。
· 69 ·