图 8-20 非线性系统结构图
根据比较点处有 \(x=r-c=-c,\dot{x}=-\dot{c},\ddot{x}=-\ddot{c}\)。综合上述各式可得相轨迹方程为
\[
\ddot{x}=
\begin{cases}
-10, & \begin{cases} x>1 \\ -1<x<1,\ \dot{x}<0 \end{cases} \\[2ex]
10, & \begin{cases} x<-1 \\ -1<x<1,\ \dot{x}>0 \end{cases}
\end{cases}
\]
开关线为 \(x=1,x=-1\)。
当 \(\ddot{x}=-10\) 时， \(\dot{x}\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=-10\)， \(\dot{x}\mathrm{d}\dot{x}=-10\mathrm{d}x\)
积分并整理后可得
\[
\frac{1}{2}\dot{x}^2=-10x+C_1\quad（抛物线）
\]
当 \(\ddot{x}=10\) 时， \(\dot{x}\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x}=10\)， \(\dot{x}\mathrm{d}\dot{x}=10\mathrm{d}x\)
积分并整理后可得
\[
\frac{1}{2}\dot{x}^2=10x+C_2\quad（抛物线）
\]
其中 \(C_1,C_2\) 分别为由系统初始条件决定的系数。在初始条件为 \(\dot{x}(0)=0,x(0)=-2\) 的情况下，利用下列MATLAB程序绘制系统的相轨迹曲线如图8-21所示。由图8-21可知，系统是振荡发散的。
MATLAB程序：exe807.m
t=0:0.01:10; x0=[-2 0]'; [t,x]=ode45
('sys807',t,x0); plot(x(:,1),x(:,2));grid
调用函数：sys807.m
function dx=sys807(t,x)
dx1=x(2);
if ((x(1)>1)|(((x(1)<1)&(x(1)>-1))&
(x(2)<0)))
dx2=-10;
else dx2=10;
end
dx=[dx1 dx2]';
图 8-21 非线性系统的相轨迹（MATLAB）
8-8 设非线性系统如图8-22所示，试在 \(\dot{e}-e\) 平面上概略画出相轨迹图，并分析系统运动特性。假定系统输出为零初始状态，输入 \(r=10\cdot1(t)\)。
解 由结构图可知 \(u-2\dot{c}=\ddot{c}+\dot{c}\)，其中 \(u\) 为非线性环节的输出