题型①:求系统传递函数(样板)
写在最前面:这个模块跟别的不一样
前面那些讲解笔记是"先把一整章的道理讲明白"。这个模块反过来——先甩给你一道真题,然后手把手带你把它做出来。
为什么这么安排?因为你现在最需要的,不是"又听懂了一段理论",而是亲手做出一道 851 的大题,亲眼看见"原来我能做"。这一下,比听十遍道理都顶用,也能帮你判断:考研这条路,我到底走不走得动。
目标就一句话:这个模块走完,下面这道真题,你自己能做出来。 不是看懂我的解答,是你自己拿笔能写出来。
篇幅看着长,是因为我把每一步都嚼碎了、每个符号都解释了。真正的解题动作只有四步,做熟了两分钟一道。别被长度吓到。
1. 先看目标:这就是你今天要拿下的那道真题
北方工业大学 2002 年硕士研究生入学考试《自动控制原理》 第一大题(10分): 某系统输入为 \(x(t)\),输出为 \(y(t)\),系统微分方程为 $\(\ddot{y}+3\dot{y}+2y=10\dot{x}+40x\)$ (1) 写出系统传递函数; (2) 求系统的单位脉冲响应函数及单位阶跃响应函数。
这是一道真真正正考过的真题(来源见文件顶部,不是我编的)。
我们这个模块只做第 (1) 问——"写出系统传递函数"。这才是所有大题的地基。第 (2) 问("求脉冲/阶跃响应")是另一类题("求响应"),它要用到第 3 章的东西,硬塞进来只会把你淹了。所以第 (2) 问我们先放一边,专注把 (1) 拿下。
现在你可能一个符号都不认识。没关系,那正是我接下来要补的。看完第 2、3、4 节,回头再看这道题,你会发现它变简单了。
2. 这类题到底在考什么(一句话)
给你一个系统的微分方程,让你求出它的传递函数。
就这么一件事。它考的其实是一个翻译动作:把"微分方程"这种写法,翻译成"传递函数"那种写法。这道题的分值(10分)基本就是白送给会翻译的人的。
【顺带说清,免得你以为题型就这一种】 "求传递函数"是一个大题型,它有好几种常见的出法: - 给你微分方程 → 求传递函数(就是本模块,最干净,先吃它); - 给你电路图/机械系统 → 先列微分方程或用复阻抗 → 求传递函数; - 给你结构图(方框图) → 化简求 \(C(s)/R(s)\)。
后两种要么依赖图、要么要多一道工序,我们这个样板只做第一种。给结构图求 \(C(s)/R(s)\) 那一种会单独成一个模块,这里你只要知道"有这么回事"就够了,本模块不展开(不是漏了,是故意分开)。
3. 做这道题需要的最小基础(只补这三块,别的先别管)
这一节我只给你做这道题真正用得上的东西。第 2 章还有一大堆理论(结构图、信号流图、梅森公式……),这道题一个都用不到,你现在完全不用管它们。用到哪补哪,这是最省力的学法。
3.1 先认识那两个"小帽子":\(\dot{y}\) 和 \(\ddot{y}\) 是什么
题目里写着 \(\ddot{y}+3\dot{y}+2y=10\dot{x}+40x\)。那些字母头上的点,是你现在最大的拦路虎。先拆掉它。
- \(y\):系统的输出(你关心的结果)。\(x\):系统的输入(你给它的信号)。这里 \(y(t)\)、\(x(t)\) 后面那个 \((t)\) 表示"它们是随时间 \(t\) 变化的量"(读作"y 是 t 的函数")。
- \(\dot{y}\)(y 头上一个点,读作"y dot"):表示 \(y\) 对时间的一阶导数,也就是"\(y\) 变化得多快"(变化率)。它等价于写成 \(\dfrac{dy}{dt}\)。一个点 = 求一次变化率。
- \(\ddot{y}\)(y 头上两个点,读作"y two dot"):表示 \(y\) 的二阶导数,也就是"\(y\) 的变化率又变化得多快"。等价于 \(\dfrac{d^2y}{dt^2}\)。两个点 = 求两次变化率。
- 同理 \(\dot{x}\) 就是 \(\dfrac{dx}{dt}\)(输入的变化率)。
【补课】"导数/变化率"到底啥意思:开车时,位置在变,"位置变多快"就是速度(位置的一阶导数);"速度又变多快"就是加速度(位置的二阶导数)。所以头上的点,你就读成"……变化得多快"。想再从零补一遍,看 预备知识 §1 导数。
所以这行方程用大白话读就是:"输出的二阶变化率 + 3 倍输出的一阶变化率 + 2 倍输出 = 10 倍输入的变化率 + 40 倍输入"。你不用懂它物理上在说什么,你只要会把它翻译成传递函数。
【你可能会以为】 这个点是什么高深的新符号。 但其实它就是"求导"的一种省写——嫌 \(\dfrac{dy}{dt}\) 写起来太长,考研题里经常用一个点代替。\(\dot{y}=\dfrac{dy}{dt}\)、\(\ddot{y}=\dfrac{d^2y}{dt^2}\),认识了就再也不怕。
3.2 传递函数是什么(一句话 + 一个分式)
传递函数,就是"输出 ÷ 输入"(在零初始条件下,各自先做拉氏变换)。 记作:
- \(G(s)\):这个系统的传递函数,可以理解成系统的"信号加工配方"。
- \(Y(s)\):输出 \(y(t)\) 的拉氏变换(下一小节解释这个词)。
- \(X(s)\):输入 \(x(t)\) 的拉氏变换。
- \(s\):一个新变量(一个复数),你现在只需把它当成一个普通字母来运算即可,不用管它的深层含义。
【补课】"零初始条件":大白话就是"系统从一个彻底静止、干干净净的状态开始"(\(t=0\) 时输出和它的各阶变化率都是 0)。考研里凡是让你求传递函数,默认就是零初始条件,你直接用就行,不用纠结。想深究它为什么必须要,看 第02讲 §3.2。
一句话:传递函数 = 输出的拉氏变换 比上 输入的拉氏变换。 这道题要你求的,就是这个分式。
3.3 唯一的核心工具:"求导 → 乘 \(s\)"
这是本模块最关键、也是唯一真正要动手的一招。它来自拉氏变换的一条性质。
【补课】拉氏变换是什么:你就把它理解成一台翻译机 / 查表器——把一个"关于时间 \(t\) 的量"翻译成一个"关于 \(s\) 的量"。小写字母(如 \(y\))是时间世界里的量,翻译过去就写成对应的大写字母(如 \(Y\))。想从零补,看 预备知识 §4;想弄清"它不止是变 s 这么简单"的疑惑,看 答疑 Q1、Q2。
这台翻译机有一条对我们最有用的性质:
具体到这道题,在零初始条件下,翻译规则就是这么简单粗暴:
| 时间世界里(原方程) | 翻译到 \(s\) 世界里 | 为什么 |
|---|---|---|
| \(y\)(没有点) | \(Y(s)\) | 只是换个大写,查字典 |
| \(\dot{y}\)(一个点) | \(sY(s)\) | 求一次导 = 乘一个 \(s\) |
| \(\ddot{y}\)(两个点) | \(s^2Y(s)\) | 求两次导 = 乘两个 \(s\),即乘 \(s^2\) |
| \(x\) | \(X(s)\) | 换大写 |
| \(\dot{x}\) | \(sX(s)\) | 乘一个 \(s\) |
记住这张表,这道题就做完一大半了。 每个点变成一个 \(s\),没有点的就把小写换成大写,系数(前面的数字)原样抄下来。
【难点·一句话点破】 完整的求导性质其实是 \(\dot{y}\to sY(s)-y(0)\),后面拖着一条"初始值尾巴" \(y(0)\)。但零初始条件下 \(y(0)=0\),尾巴断掉了,才干净地变成 \(sY(s)\)。这就是为什么求传递函数一定要"零初始条件"——它把尾巴砍了。你现在直接用"乘 \(s\)"即可,想懂这条尾巴看 第02讲 §2.3。
3.4 最后一个小检查:\(n \ge m\)
求完之后,传递函数长成一个分式(上面分子、下面分母,都是 \(s\) 的多项式)。有一条铁规矩要顺手检查一下:
分子里 \(s\) 的最高次数 \(m\),不能超过分母里 \(s\) 的最高次数 \(n\),也就是 \(n \ge m\)。
- \(n\):分母里 \(s\) 的最高次(比如分母 \(s^2+3s+2\),最高是 \(s^2\),那 \(n=2\))。
- \(m\):分子里 \(s\) 的最高次(比如分子 \(10s+40\),最高是 \(s^1\),那 \(m=1\))。
为什么?物理上叫"因果性/系统惯性"——结果不能跑在原因前面,系统反应也不会瞬间到位。数学后果就是 \(n\ge m\)。这一步只是让你验算有没有算错:算完发现 \(m>n\),基本就是哪儿抄错了。想懂原理看 第02讲 §3.3 性质1。
4. 套路:四步拿下(记死这四步)
这类题的解法,固定就这四步。做熟了闭着眼都能走:
- 第一步 · 认清谁是输入、谁是输出。 找到题目里说的输入量、输出量。传递函数永远是"输出 ÷ 输入",别搞反。
- 第二步 · 逐项翻译,把整个方程搬到 \(s\) 世界。 用 3.3 那张表:每个点变一个 \(s\),小写换大写,系数照抄。微分方程立刻变成一个只有加减乘除的代数方程。
- 第三步 · 把 \(Y(s)\) 提出来、\(X(s)\) 提出来,凑成 \(\dfrac{Y(s)}{X(s)}\)。 就是小学的"合并同类项 + 两边同除"。等号左边把带 \(Y(s)\) 的合起来,右边把带 \(X(s)\) 的合起来,再一除,传递函数就出来了。
- 第四步 · 检查 \(n \ge m\),收工。 顺手验算,防止抄错。
每一步为什么这么做,我在下面例题里边做边说。
5. 例题手把手:就用开场那道 2002 真题
已知 \(\ddot{y}+3\dot{y}+2y=10\dot{x}+40x\),输入 \(x(t)\)、输出 \(y(t)\),求传递函数。
跟着四步走,一步都不跳。
第一步:认清输入输出
题目白纸黑字:输入是 \(x(t)\),输出是 \(y(t)\)。所以我们要求的是:
为什么先做这步:传递函数是"输出比输入",谁上谁下必须先定死。这道题输出是 \(y\),所以 \(Y(s)\) 在分子(上面);输入是 \(x\),所以 \(X(s)\) 在分母(下面)。定反了整道题就错了。
第二步:逐项翻译到 \(s\) 世界
把原方程 \(\ddot{y}+3\dot{y}+2y=10\dot{x}+40x\) 一项一项照 3.3 的表翻译。我把每一项单独拆给你看:
- \(\ddot{y}\)(两个点)→ \(s^2Y(s)\)
- \(3\dot{y}\)(系数 3,一个点)→ \(3\cdot sY(s)=3sY(s)\)
- \(2y\)(系数 2,没点)→ \(2\cdot Y(s)=2Y(s)\)
- \(10\dot{x}\)(系数 10,一个点)→ \(10\cdot sX(s)=10sX(s)\)
- \(40x\)(系数 40,没点)→ \(40\cdot X(s)=40X(s)\)
拼回去,整个方程变成:
为什么这么做:微分方程直接求 \(Y/X\) 很难(里面有导数)。翻译到 \(s\) 世界后,导数全变成了"乘 \(s\)",方程里只剩加减乘除,就成了小学生也能对付的代数方程。这就是拉氏变换在这门课里的全部用处——把难算的翻成好算的。
第三步:凑出 \(\dfrac{Y(s)}{X(s)}\)
现在等号左边都带 \(Y(s)\),右边都带 \(X(s)\)。分别把 \(Y(s)\)、\(X(s)\) 像提公因数一样提出来(这就是小学的"合并同类项"):
左边:\(s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=(s^2+3s+2)\,Y(s)\)
右边:\(10sX(s)+40X(s)=(10s+40)\,X(s)\)
所以方程变成:
现在要凑 \(\dfrac{Y(s)}{X(s)}\)。做两步小学移项:
- 两边同时除以 \(X(s)\),再同时除以 \((s^2+3s+2)\);
- 整理得:
为什么这么做:传递函数的定义就是 \(Y(s)/X(s)\),我们要做的就是把 \(Y(s)\)、\(X(s)\) 分别聚到一堆,然后一除,让 \(Y(s)/X(s)\) 单独露出来。带 \(Y(s)\) 的系数 \((s^2+3s+2)\) 落到分母,带 \(X(s)\) 的系数 \((10s+40)\) 落到分子——注意:输出的系数当分母,输入的系数当分子,别记反。
第四步:检查 \(n\ge m\),收工
- 分子 \(10s+40\):\(s\) 的最高次是 \(1\),所以 \(m=1\)。
- 分母 \(s^2+3s+2\):\(s\) 的最高次是 \(2\),所以 \(n=2\)。
- 检查:\(n=2 \ge m=1\),✓ 合法,没算错。
这道 10 分的真题,第 (1) 问就做完了。 最终答案:
(可选,想让答案更漂亮时才做) 分子分母还能因式分解:分子 \(10s+40=10(s+4)\);分母 \(s^2+3s+2=(s+1)(s+2)\)(找两个数,相加等于 3、相乘等于 2,正好是 1 和 2)。于是 \(G(s)=\dfrac{10(s+4)}{(s+1)(s+2)}\)。分解不是必须的,考研写到 \(\dfrac{10s+40}{s^2+3s+2}\) 就已经是完整答案、能得满分。分解只在后面章节(求极点、画根轨迹)才用得上,这里当加分项,不会分解完全不影响。因式分解不熟看 预备知识。
停一下,回头看第 1 节那道题。 是不是没那么可怕了?你刚刚就把它做出来了。
6. 你来做:一道几乎一样的变式题(带详细答案)
现在轮到你。下面这道题的做法跟例题一模一样,你把四步套上去就行。先自己拿笔做,再看答案。
练习题(自编,仿真题难度——特此说明:这道题是我按真题同等难度自己编的,不是某年真题原题,别当真题记): 某系统输入为 \(x(t)\),输出为 \(y(t)\),系统微分方程为 $\(\ddot{y}+5\dot{y}+4y=3\dot{x}+6x\)$ 求系统的传递函数 \(G(s)\)。
自己先做。卡住了,对照下面提示回看对应步骤:
- 不认识头上的点? → 回看 第 3.1 节(一个点=乘一个 \(s\),两个点=乘 \(s^2\))。
- 不知道怎么翻译? → 回看 第 3.3 节那张表 和 第 5 节第二步。
- 不会凑分式? → 回看 第 5 节第三步。
想再练一道真的? 题库里有一道现成真题风格的填空(来源:../01_结构化/题库/BUFF控制选题填空题_p025.md 第46题): 微分方程 \(T_1 T_2 \dfrac{d^2 x_0(t)}{dt^2}+(2T_1+T_2)\dfrac{dx_0(t)}{dt}+2x_0(t)=x_i(t)\),求传递函数(\(x_i\) 输入、\(x_0\) 输出,零初始条件)。 做法完全一样,只是系数从数字换成了字母 \(T_1\)、\(T_2\)(它们是正常数,当普通字母搬运即可)。答案:\(\dfrac{X_0(s)}{X_i(s)}=\dfrac{1}{T_1T_2 s^2+(2T_1+T_2)s+2}\)。(那道题还问"频率特性/幅频特性",那是第 5 章的内容,本模块不涉及,先跳过。)
7. 收尾:你刚做出了 851 的一类大题
认真说一句:你刚才做出来的,是一道 10 分的考研真题(的核心问),外加一道同难度练习。 这不是"感觉会了",是你拿笔真写出了答案。这类"给微分方程求传递函数"的题,在 851 里是送分题——只要四步走对,分就是你的。
如果走到这儿你能独立做出第 6 节那道变式,那么关于"这条路走不走得动",你已经有了第一个正面的答案:能。 别的题型会更难,但都是在这种"一步步拆解、每步有套路"的模式上盖楼,不是靠天赋硬猜。
这类题在真题里怎么考、有哪些常见变形和坑
- 直接考(就是本模块这种):给微分方程,写传递函数。四步即可。北工大 2002 真题一(1)就是原样。
- 换个方向考——已知响应反求传递函数:给你单位脉冲响应 \(g(t)\)(比如 \(g(t)=10e^{-0.2t}+5e^{-0.5t}\),来源:题库 26BUFF控制简答题库_p019 第28题),直接对它做拉氏变换就是传递函数(因为脉冲输入时输出恰好等于 \(G(s)\))。这算另一类的"求传递函数",要用到查拉氏变换表,以后会讲。
- 给电路/机械系统:先列微分方程(或用复阻抗),再走本模块这四步。多的只是"列方程"那一道工序。
- 给结构图求 \(C(s)/R(s)\):那是"求传递函数"的另一大分支,用化简或梅森公式,会单独成一个题型模块,这里不展开。
最容易丢分的三个坑(记住能省不少分): 1. 输入输出定反——把输出的系数放到了分子。永远记住"输出 ÷ 输入,输出在上"。 2. 点数错、\(s\) 的次数乘错——两个点是 \(s^2\),不是 \(2s\)。这是最高频的低级错。 3. 忘了零初始条件直接乱加初值项——考研求传递函数默认零初始条件,老老实实"点→\(s\)"即可,别自己加戏。
想把"为什么"彻底弄透(因果性、传递函数性质、拉氏变换那条尾巴),回 第02讲概念精讲 慢慢啃。但做题的手感,你今天已经有了。这就是这个模块要给你的东西。