③ 根轨迹的起始角：
\[\theta_{p_1}=\varphi_{z_1 p_1}-\theta_{p_2 p_1}=-60°+90°=30°\]
\[\theta_{p_2}=-30°\]
根据以上几点，可以画出概略零度根轨迹图如图4-57所示。
(2) 系统(2)的开环传递函数
\[G(s)=\frac{K^*(s+20)}{s(s^2+20s+20)}=\frac{K^*(s+20)}{s(s+1.06)(s+18.94)}\]
① 实轴上的根轨迹分布区：\([-20,-\infty)，[-18.94,-1.06]，[0,+\infty)\)。
② 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1.06}+\frac{1}{d+18.94}=\frac{1}{d+20}\]
通过试凑可得 \(d_1=-23，d_2=-16.5\)。
根据以上几点，可以画出概略零度根轨迹图如图4-58所示。
图4-57 系统(1)概略零度根轨迹图
图4-58 系统(2)概略零度根轨迹图
(3) 系统(3)的开环传递函数
\[G(s)=\frac{K^*(s^2+6s+25)}{s(s^2+8s+25)}=\frac{K^*(s+3+j4)(s+3-j4)}{s(s+4+j3)(s+4-j3)}\]
① 实轴上的根轨迹分布区：\([0,+\infty)\)。
② 根轨迹的起始角：
\[\theta_{p_1}=360°+\varphi_{z_1p_1}+\varphi_{z_2p_1}-\theta_{p_2p_1}-\theta_{p_3p_1}\]
\[=360°-135°+90°+\arctan(1/7)-90°-90°-\arctan(4/3)=90°\]
\[\theta_{p_2}=-90°\]
\[\theta_{p_3}=\varphi_{z_1p_3}+\varphi_{z_2p_3}-\theta_{p_1p_3}-\theta_{p_2p_3}=0°\]
根轨迹的终止角
\[\varphi_{z_1}=\theta_{p_1z_1}+\theta_{p_2z_1}+\theta_{p_3z_1}-\varphi_{z_2z_1}\]
\[=45°+\arctan(7)+90°+\arctan(3/4)-90°=163.74°\]
\[\varphi_{z_2}=-163.74°\]
根据以上几点，可以画出概略零度根轨迹图如图4-59所示。
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