图 8-22 非线性系统结构图
\[
u=\begin{cases}
e-1, & e>1 \\
0, & |e|\leqslant 1 \\
e+1, & e<-1
\end{cases}
\]
在比较点处有 \(e=10-c,\dot e=-\dot c,\ddot e=-\ddot c\),综合各式并整理可得
\[
\begin{cases}
\ddot e+3\dot e+e=1, & e>1 \\
\ddot e+3\dot e=0, & |e|\leqslant 1 \\
\ddot e+3\dot e+e=-1, & e<-1
\end{cases}
\]
开关线为 \(e=\pm 1\)。
在Ⅰ区(\(e>1\)),令 \(\dfrac{d\dot e}{de}=-\dfrac{3\dot e+e-1}{\dot e}=\dfrac{0}{0}\),得奇点\((1,0)\)为稳定节点。由于 \(\ddot e=\dot e\dfrac{d\dot e}{de}=1-3\dot e-e\),令 \(\dfrac{d\dot e}{de}=\alpha\),整理可得等倾线方程为
\[
\dot e=\frac{1-e}{\alpha+3}=-k(e-1)
\]
其中,\(k=1/(\alpha+3)\)为等倾线的斜率。
同理可得,在Ⅲ区(\(e<-1\)),奇点\((-1,0)\)为稳定节点。得等倾线方程为
\[
\dot e=-\frac{1+e}{\alpha+3}=-k(e+1)
\]
由于相轨迹的渐近线是特殊的等倾线,满足 \(k=\alpha\),即该特殊等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率,综合上述各式可分别得 \(\dot e=-0.38(e-1),\dot e=-0.38(e+1)\)。相轨迹在这两条特殊的等倾线附近将沿着渐近线收敛。
在Ⅱ区(\(|e|\leqslant 1\)),因为 \(\dot e\dfrac{d\dot e}{de}+3\dot e=0\),所以由积分法可得其相轨迹为直线。
表8-4给出了不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率:
表 8-4 不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率
| \(\alpha\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) | \(\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-\dfrac{1}{3+\alpha}\) | \(1\) | \(\infty\) | \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{1}{3}\) | \(-\dfrac{1}{4}\) | \(-\dfrac{1}{6}\) | \(0\) |
根据表格和等倾线法,再利用下列MATLAB程序可作出系统的相轨迹和误差曲线分别如图8-23所示,由图8-23可见系统的误差收敛,但有稳态误差存在,并最终趋于稳