写在最前面：这一讲你要过的三道门

这一讲信息量大，但真正需要你"啃"的只有三块：

1. 这一章到底在干什么（稳、快、准三个字，以及它们各自对应哪个知识点）
2. 一阶系统：结构长什么样、阶跃响应是什么曲线、时间常数 \(T\) 管什么
3. 二阶系统：阻尼比 \(\xi\) 的五种情况、欠阻尼的四个性能指标公式

第 3 项是考试主战场。据考点分析 p004（三）第 1 条："性能指标：一定要牢牢背住，近几年都特别喜欢考，而且作为一道大题考察"；p005 第 3 条还补了一句致命的前提——那四个指标公式只在"阶跃输入"且"欠阻尼"两个前提下才能用。这句话后面会展开，因为它是最容易被忽略、考试直接扣分的地方。

诚实预警：二阶系统那几个公式，第一遍看不懂、记不住是完全正常的。绝大多数人的卡点不在"记不住"，而在"不知道这些字母是什么意思，所以记成了一串乱码"。所以下面会先花很大篇幅把 \(\xi\)、\(\omega_n\)、\(\omega_d\)、\(\beta\) 这几个符号的物理含义讲清楚，再上公式。

零、先补前置：这一讲要用到的数学 / 物理

下面这些东西如果你不确定自己会，请先看这一节。这一节里的每一样，后面都真的会用到，不是凑数。

想更慢更细地补数学物理底子，看这份速查手册（不是前置必修，用到哪查哪）：../02_预备知识/00_数学物理零起点补给.md（含导数、微分方程、复数与 \(j\)、拉氏变换、牛顿第二定律、基尔霍夫定律）。本节只补"这一讲当场要用"的最小可用版。

0.0 拉氏变换：五行讲清它到底在干嘛（本讲全程都在用）

1. 它解决什么问题：描述系统的是微分方程，而微分方程难解。拉普拉斯变换（拉氏变换）是一部"翻译机"，把时间 \(t\) 的函数翻译成复变量 \(s\) 的函数，翻译之后求导变成乘 \(s\)、积分变成除以 \(s\)，微分方程就变成了只有加减乘除的代数方程——初中就会解。
2. 记号：\(F(s)=\mathcal{L}[f(t)]\) 读作"\(f(t)\) 的拉氏变换"；反过来 \(f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]\) 叫拉氏反变换，是翻译回时域。习惯上时域用小写字母（\(r(t)\)、\(c(t)\)、\(e(t)\)），对应的 s 域用大写（\(R(s)\)、\(C(s)\)、\(E(s)\)）。
3. 你需要会到什么程度：本课程不需要你按定义积分去算，只需要"查表 + 部分分式展开"。定义式 \(F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt\) 摆在这里只为让你知道它不是凭空来的，考试不考它的推导。
4. 为什么 \(1(t)\to\dfrac{1}{s}\)：把 \(f(t)=1\) 代进定义式，\(\int_0^{\infty}e^{-st}dt=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\right]_0^{\infty}=0-\left(-\dfrac{1}{s}\right)=\dfrac{1}{s}\)（这里要求 \(s\) 的实部大于 0，指数才衰减到 0）。看一眼就行，会查表即可。
5. 一个关键直觉：\(s\) 的量纲是"1/时间"，所以 \(\dfrac{1}{s}\) 大致对应"累加/积分"，乘 \(s\) 对应"求导"。后面看到积分环节是 \(\dfrac{1}{s}\)、微分项是 \(T_d s\)，就是这个道理。

本讲会用到的变换对照表（只有这四条，先混个眼熟）：

（欠阻尼那条实际用的是带衰减的版本：\(e^{-at}\sin\omega t\leftrightarrow\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\)，\(e^{-at}\cos\omega t\leftrightarrow\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\)。规律是"时域乘 \(e^{-at}\) = s 域把 \(s\) 换成 \(s+a\)"，这叫位移定理。3.3 节那条 \(h(t)\) 就是这么反变换出来的，本讲不要求你自己推。）

0.1 什么是"时域"

"域"就是"用什么变量来描述事情"。

• 时域（time domain）：用时间 \(t\) 描述。比如"这个电压在第 3 秒是 5 伏"。这是你肉眼能看到的、示波器上画出来的那个东西。
• 复域 / s 域（复频域）：用一个叫 \(s\) 的复数来描述。这是拉普拉斯变换之后的世界，好处是微分方程会变成普通代数方程，好算。

"时域分析法"就是：最终要回到时间 \(t\) 这条轴上，去看输出随时间怎么变化，从曲线的形状判断这个系统好不好。

第 2 章教你建模型（微分方程、传递函数），第 3 章开始用模型分析性能。经典控制理论一共三套分析方法：时域分析法（第 3 章）、根轨迹法（第 4 章）、频域分析法（第 5 章）。这三套是同一个系统的三种看法，不是三个不同的系统。

0.2 什么是"响应"

响应 = 你给系统一个输入，系统输出随时间变化的那条曲线。

比如空调：你把目标温度从 26 度调到 20 度（输入的突变），房间温度从 26 度慢慢降下去、可能降到 19 度又回升到 20 度（输出随时间的变化）。那条"房间温度随时间变化"的曲线，就是这个系统对这次输入的响应。

PPT 幻灯片 5 给了一个分解：

• \(c(t)\)：输出量随时间的函数（controlled variable，被控量）。
• 稳态分量：时间足够长以后剩下的那部分，也就是"最后稳在哪"。
• 暂态分量（也叫瞬态、动态分量）：开头那一阵子的折腾——超调、振荡、慢慢爬升——随时间会衰减掉、最后消失的那部分。

【难点·第一个真难点】"暂态"和"稳态"不是两段时间，是同一条曲线的两个数学成分。 难在哪：初学者会想成"前 3 秒是暂态，3 秒后是稳态"，像切香肠一样。 为什么错：从数学上看，\(h(t) = 1 - e^{-t/T}\) 这条曲线里，"\(1\)"是稳态分量，"\(-e^{-t/T}\)"是暂态分量，这两项在每一个时刻都同时存在。只不过 \(e^{-t/T}\) 随时间越来越小，到后来小到可以忽略，看起来就只剩下 1 了。 正确理解：暂态分量是一个"随时间衰减到 0 的数学项"，不是一个时间段。

0.3 零状态响应 / 零输入响应 / 零初始条件

PPT 幻灯片 5、6 明确区分：

• 零输入响应：输入为 0，纯粹由系统"起始时就带着的能量"（初始条件）造成的输出。比如电容上一开始就存了电，你什么也不输入，它自己也会放电产生输出。
• 零状态响应：初始条件全为 0（系统一开始是"空的、静止的"），完全由输入造成的输出。
• 零初始条件：指 \(t=0\) 时刻输出量及其各阶导数都为 0，也就是"系统一开始静止、没存能量"。

第 2 章定义传递函数时就有"零初始条件"这个前提，原因就在这：传递函数只描述"系统本身对输入的加工能力"，不想把"一开始存了多少能量"混进去。

本章研究时统一取零初始条件（PPT 幻灯片 6 明确写了），所以后面所有响应都是零状态响应。你可以先把"初始条件"这件事放一边。

0.4 典型输入信号（为什么老拿阶跃说事）

PPT 幻灯片 7、8、25 一共给了四种：

"单位阶跃"是什么：\(t<0\) 时 \(r(t)=0\)，\(t\ge 0\) 时 \(r(t)=1\)。图像是个直角台阶。物理上就是"啪一下合上电源开关"、"负载突然接上"（PPT 幻灯片 7 原文举的就是"开关的转换，负载"和"突变，电源的通断电"）。

为什么用它当标准试题：

1. 实验室里最容易造出来——按一下开关就有了。
2. PPT 幻灯片 10 给了更硬的理由："阶跃输入对系统是最严峻的工作状态"。因为它在 \(t=0\) 瞬间要求输出立刻从 0 跳到 1，变化率无穷大，最考验系统。一个系统扛住了阶跃，别的缓和输入基本都没问题。
3. 大家都用同一个测试信号，性能指标才有可比性。

"单位"是什么意思：幅值是 1。如果是 5 倍的阶跃，输出就是 5 倍（线性系统可以叠加缩放），所以研究"单位"的就够了。

0.5 一个非常好用的性质：输入求导，输出也求导

PPT 幻灯片 8、9 写得很清楚：

系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。

用符号说：记 \(h(t)\) 为单位阶跃响应、\(g(t)\) 为单位脉冲响应、\(c_r(t)\) 为单位斜坡响应（下标 \(r\) 取 ramp = 斜坡），则

【符号提醒】前面 0.2 节的 \(c(t)\) 是一般意义的输出量（任何输入下的输出）。这里为了不混，专门给斜坡响应写成 \(c_r(t)\)。请注意：\(g(t)\) 是"斜坡响应"的二阶导，不是"任意输出"的二阶导——这条关系只在"输入之间互为导数"（脉冲 = 阶跃的导数 = 斜坡的二阶导数）时才成立。很多教材图省事都写 \(c(t)\)，读的时候要自己看清它指的是哪个响应。

这式子在说什么：这三条响应曲线不是三件独立的事，是同一件事求导求出来的。因为在时域里 \(\delta(t) = \dfrac{d}{dt}1(t)\)（阶跃函数的导数就是脉冲函数），\(1(t)=\dfrac{d}{dt}t\)。

符号解释： - \(h(t)\)：单位阶跃响应（\(h\) 是教材统一记法）。 - \(g(t)\)：单位脉冲响应。 - \(\dfrac{d}{dt}\)：对时间求导，意思是"这条曲线在每一时刻的变化快慢（斜率）"。

怎么用：考试给你阶跃响应让你求脉冲响应，不用重新做一遍拉氏反变换，直接求导。这一步能省大量时间。

【补前置：导数在这里到底在干嘛】 如果你对"导数"没感觉，就记住一句话：导数 = 变化快慢 = 曲线在该点的斜率。\(h(t)\) 是"累计涨到哪了"，\(h'(t)\) 是"这一瞬间涨得多快"。所以脉冲响应 \(g(t)\) 就是阶跃响应曲线的"陡峭程度"随时间的变化。

【你可能会以为】既然 \(g(t)=h'(t)\)，那这两条曲线形状应该差不多。 但其实：形状可以完全相反。一阶系统的阶跃响应 \(h(t)=1-e^{-t/T}\) 是单调上升、趋向 1；它的导数 \(g(t)=\frac{1}{T}e^{-t/T}\) 是单调下降、趋向 0。一个往上一个往下。 因为：\(h(t)\) 一开始涨得快、后来越涨越慢，"涨得多快"这个量本身当然是从大变小的。

0.6 上一讲的传递函数怎么接到这一章

时域分析的标准流水线（转录里老师说这条思路"贯穿了时域分析法的始终"）：

三步说清楚：

1. 求闭环传递函数 \(\Phi(s)\)。定义（第 2 章）：零初始条件下，输出的拉氏变换除以输入的拉氏变换，\(\Phi(s)=\dfrac{C(s)}{R(s)}\)。
2. \(C(s)=\Phi(s)R(s)\)。这式子在说：输出在 s 域里就是传递函数乘输入。这正是拉氏变换最大的好处——时域里麻烦的"卷积"，在 s 域里变成简单的乘法。
3. \(c(t)=\mathcal{L}^{-1}[C(s)]\)（拉氏反变换，通常靠部分分式展开 + 查表），回到时域看曲线。\(\mathcal{L}^{-1}\) 这个记号就读作"拉氏反变换"，意思是"从 s 域翻译回时域"。

【为什么不直接解微分方程】 理论上完全可以：建好微分方程，解出来，一样。但老师在转录里点明了实情——一阶二阶的微分方程好解，高阶的微分方程不借助计算机基本解不出来。而走传递函数这条路，无论几阶，前两步都是机械的代数运算，只有最后一步反变换有点麻烦。所以我们统一走这条路。

（高阶系统最后一步也难怎么办？答案是"主导极点"——把高阶近似成二阶。那是第 05 讲的内容，这一讲不展开，因为它必须建立在你把二阶系统吃透的基础上。）

一、本章知识架构：稳、快、准

老师开场花了很长时间讲这一章的骨架，这部分极其值得先看懂，因为它决定了你后面每个知识点该往哪个抽屉里放。

对一个自动控制系统，我们的性能要求就三个字：稳、快、准。

1.1 稳（稳定性）—— 压倒一切

"稳定"是什么：系统受到扰动、偏离了原来的平衡位置之后，扰动撤掉，它能不能自己回到原来的平衡位置。能回来 = 稳定，回不来 = 不稳定。

老师用了一个两个圆锥体的例子，这个例子非常好，完整还原一下：

• 圆锥体 A：底面朝下正放，尖朝上。
• 圆锥体 B：尖朝下倒立着，勉强平衡。

现在给两个都加相同大小、相同作用时间的一个外力推一下，然后撤掉外力。

• A：晃几下，回到原位。
• B：直接倒了，永远回不去。

关键问题：为什么一个能回来一个不能？

• 是外力的原因吗？不是——两个外力完全一样。
• 是初始状态的原因吗？不是——两个一开始都是静止平衡的。
• 那是什么？——是圆锥体自身的结构（着力面大小）。

结论（全章最重要的概念之一）：稳定性是系统的固有属性，只取决于系统自身的结构参数，与外加激励、与初始条件都没有关系。

【难点·概念性大坑】老师原话说这个概念"考生到现在为止很容易糊涂"。 难在哪：日常语感里，"稳不稳"听起来像是"这次推得狠不狠"的问题，所以人本能地觉得"力大就不稳、力小就稳"。 为什么难：因为它反直觉地把一个看似跟"外部作用"有关的现象，归因到"内部结构"上。 正确理解：外力大小只决定它偏离多远、晃多久，不决定它最终回不回得来。回不回得来这件事，在你还没推它之前，就已经由结构决定好了。

【你可能会以为】给系统输入一个很大的信号，系统就可能被"搞不稳定"。 但其实：对线性定常系统，不会。稳定的系统你输入再大它也稳定（只是输出幅度大），不稳定的系统你输入再小它也发散。 因为：稳定性由闭环特征根决定，而闭环特征根来自闭环特征方程，闭环特征方程只由系统结构决定，输入信号根本不出现在特征方程里。

【补前置：什么叫"定常"】 "定常"（也叫时不变）= 系统的参数不随时间变化。比如电阻一直是 100 欧，不会今天 100 明天 200。"线性定常系统"就是既满足叠加性、参数又不随时间变的系统——本课程绝大部分内容都在讲这种。

稳定的充要条件（老师给出、也是本章后面要展开的核心结论）：

系统所有的闭环特征根都必须具有负实部。

【补前置：一串词一次讲清】 - 特征方程：闭环传递函数 \(\Phi(s)=\dfrac{M(s)}{D(s)}\) 的分母令为零，即 \(D(s)=0\)，叫闭环特征方程。 - 特征根：特征方程的解。\(D(s)\) 是 \(s\) 的多项式，\(n\) 阶系统就有 \(n\) 个根。 - 闭环极点：特征根就是闭环传递函数的极点（使分母为零的点），两个词说的是同一批数。 - 实部为负是什么意思：特征根一般是复数，形如 \(s=\sigma+j\omega\)，\(\sigma\) 叫实部、\(\omega\) 叫虚部。"实部为负"就是 \(\sigma<0\)。 - s 平面：把复数 \(s\) 画在平面上，横轴放实部（记作 \(\sigma\) 轴），纵轴放虚部（记作 \(j\omega\) 轴）。于是"实部为负"= 落在这个平面的左半边。所以你会反复听到"闭环极点必须位于 s 平面左半部"，跟"实部为负"是同一句话。

【为什么"实部为负"就稳定】（这是必须讲的"为什么"，不许只背） 反变换回时域后，一个特征根 \(s=\sigma+j\omega\) 会在响应里产生一项形如 \(e^{\sigma t}\sin(\omega t+\varphi)\) 的分量。

这一项的三个符号先说清楚： - \(e^{\sigma t}\) 是"信封"，管幅度随时间涨还是消；\(\sigma\) 是特征根的实部。 - \(\sin(\omega t+\cdots)\) 管来回摆动；\(\omega\) 是特征根的虚部，就是摆动的快慢（角频率）。 - \(\varphi\) 叫初相位（初相角），它只决定这条正弦曲线"从哪个相位起步"（\(t=0\) 时正好摆在哪个位置），既不影响衰减快慢，也不影响振荡快慢。所以判断稳定与否时它完全不参与，看到它不必紧张，它由具体的初始条件和分子系数定出来。

【符号预警·同一个 \(\sigma\) 两种含义，全讲请随时分辨】 - 这里的 \(\sigma\)（单独一个希腊字母 sigma）指特征根的实部，可正可负，单位是 1/秒。 - 后面 3.4 节还会出现 \(\sigma\%\)（带百分号），那是超调量，是个百分数，跟实部完全是两回事。 - 记法：带 % 的是超调量，不带 % 的是实部。3.2 节 (2) 里再见到 \(e^{-\sigma t}\sin\)，那个 \(\sigma\) 仍是实部的绝对值，不是超调量。

于是： - \(\sigma<0\) 时 \(e^{\sigma t}\) 随时间衰减到 0，这个分量最终消失 → 暂态分量能死掉 → 系统回得来 → 稳定。 - \(\sigma>0\) 时 \(e^{\sigma t}\) 爆炸增长 → 发散 → 不稳定。 - \(\sigma=0\) 时 \(e^{0}=1\)，幅值不增不减 → 等幅振荡，是临界状态。

这一条是理解整个第 3 章、第 4 章根轨迹、第 5 章频域的总钥匙。 请务必在这里停一下，把"根的位置 ↔ 响应的形状"这个对应关系刻进去。

判据：高阶系统的特征根求不出来怎么办？用代数判据——不解方程，只看特征方程的系数，就能判断根有没有落在右半平面。第 3 章讲两种：劳斯（Routh）稳定判据和赫尔维茨（Hurwitz）稳定判据。（转录 ASR 把"赫尔维茨"识别成"胡尔维斯 / 胡尔维茨"，以教材写法"赫尔维茨"为准。）具体用法在第 05 讲。

据考点分析 p005 第 4 条，劳斯判据在北方工大"考察的稍微少一点"，但爱考两种题型：一是判根的分布（实部为负 / 为 0 / 为正各几个），二是判"在 \(s=\) 某个数的左右侧各有几个特征根"。

1.2 准（稳态误差）—— 精度

稳态误差是什么：系统稳定之后，输出量和输入量之间永远消不掉的那点差距。PPT 幻灯片 14：稳态误差是"系统控制精度或抗扰动能力的一种度量"。

定义式：

这式子在说什么：让时间趋于无穷大（"等到系统彻底稳下来"），此时误差信号 \(e(t)\) 还剩多少，就是稳态误差。 符号：\(e(t)\) 是误差信号（一般 \(e(t)=r(t)-c(t)\)，输入减输出，或者是比较点输出的那个信号）；下标 \(ss\) 是 steady-state 的缩写；\(\lim\) 是"极限"，读作"当 \(t\) 无限增大时这个量趋近于多少"。 怎么用：一般不直接在时域算，见下面三种方法。

老师提了三种计算方法（第 05、06 讲展开）：

1. 拉氏终值定理法：\(e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to 0}sE(s)\)。 在说什么：时域里"时间趋于无穷"的极限，等于 s 域里"\(s\) 趋于 0"时 \(sE(s)\) 的极限。好处是省掉反变换——不用把 \(E(s)\) 变回 \(e(t)\)，直接在 s 域算完。 但有使用条件：老师强调，误差信号必须在时域内处处解析（即连续且可导），本质上要求 \(sE(s)\) 的极点都在 s 左半平面（等价于系统稳定）。不满足条件硬用会算出荒谬结果。这是常见扣分点。
2. 按系统类型（型别）+ 开环增益确定。
3. 静态误差系数法：三个系数——静态位置误差系数、静态速度误差系数、静态加速度误差系数，按输入信号类型组合使用。

【极其重要的做题顺序，老师专门强调、实战最爱错】

只有稳定的系统才存在稳态误差，不稳定的系统没有稳态误差。所以题目让你求稳态误差时，第一件事不是求误差，是先判稳定。

为什么：不稳定系统的输出本身就发散到无穷，"最终稳在哪"这个问题根本不成立，\(\lim_{t\to\infty}e(t)\) 不存在。这时候你机械套终值定理，公式照样会吐给你一个数——那个数是假的。这就是终值定理"必须满足条件"的现实后果。

据考点分析 p005 第 6 条，稳态误差在北方工大"特别喜欢考"，且"给定误差和扰动误差的概念很容易混淆……考的多的话会涉及两个大题"。p008 的真题分布表里，T3、T4、T6、T7、T8 都出现了稳态误差相关字样。这是本章分值最重的知识点之一。

误差传递函数：算稳态误差之前得先有 \(E(s)\)，而 \(E(s)\) 要靠误差传递函数求。一个系统通常有两个输入：参考输入 \(R(s)\)（你希望它跟踪的目标）和扰动输入 \(N(s)\)（外界干扰，比如负载突变、电压波动）。于是有两个误差传递函数：给定输入到误差的、扰动输入到误差的。求法就是上一讲的梅森公式（ASR 转录误听成"眉心公式"，正确写法是梅森公式 / Mason's formula）：找准从该输入到误差输出的前向通道和各个回路即可。

1.3 快（暂态 / 动态性能）—— 这一讲的主战场

"快"体现在暂态性能指标上（也叫动态性能指标）。老师把暂态性能拆成两个方面：

• 快速性：由三个时间指标衡量——上升时间 \(t_r\)、峰值时间 \(t_p\)、调节时间 \(t_s\)。
• 相对平稳性：由超调量 \(\sigma\%\) 衡量。冲过头冲得越狠，说明越"毛躁"、越不平稳。

（PPT 幻灯片 13 还列了第 5 个指标振荡次数 \(N\)：在调节时间内响应完成振荡的周期数。老师口述时没提这一项，但 PPT 有，考试可能出现，第三章里一并给出公式。）

本章按系统阶次分三块讨论：典型一阶（今天）、典型二阶（今天，重点中的重点）、高阶系统 + 主导极点（第 05 讲）。

二、典型一阶系统

2.1 什么叫"典型"一阶系统

"\(n\) 阶"是什么意思：系统的微分方程里，输出量最高被求了几次导，就是几阶。一阶系统 = 微分方程里最高只出现 \(\dfrac{dc(t)}{dt}\)（一次导数）。等价地，闭环传递函数的分母是 \(s\) 的一次多项式。

"典型"两个字的分量（老师专门强调，考试爱在这挖坑）：说"典型一阶 / 典型二阶"的时候，这个系统必须是单位负反馈的。

【补前置：结构图里的几个词，一次说清（第 2 章词汇，忘了很正常）】 把一个反馈系统画成方框和箭头，就是"结构图"。里面固定有这么几个部件： - 比较点（也叫综合点）：图上那个画着圆圈、带 \(+\) \(-\) 号的小节点，作用是把两路信号加减。负反馈系统里它做的是"输入 \(r\) 减反馈量"，输出叫误差信号 \(e\)。 - 前向通道：从比较点出发、顺着箭头方向一路走到输出 \(c\) 的那条路。上面串的所有环节的传递函数乘起来，记作 \(G(s)\)。 - 反馈通道：从输出 \(c\) 拐回比较点的那条路，其传递函数记作 \(H(s)\)（比如一个测量用的传感器就在这条路上）。 - 回路：从某点出发沿箭头绕一圈又回到该点的闭合路径。这里 \(G\) 和 \(H\) 首尾相接就构成一个回路，回路上传递函数的乘积 \(G(s)H(s)\) 叫开环传递函数。

【补前置：什么是单位负反馈】 反馈 = 把输出量测回来，跟输入比较。负反馈 = 用输入减去反馈量（偏差大就使劲调、偏差小就轻调，是自动控制的核心机制，跟空调控温一个道理）。"单位"= 反馈通道的传递函数 \(H(s)=1\)，也就是输出原封不动送回去比较，中间不打折不放大。

【补前置：闭环传递函数公式（第 2 章结论，本讲后面用两次，先摆出来）】 对上面这种结构，闭环传递函数为

单位负反馈时 \(H(s)=1\)，简化为

（记法：分子是前向通道，分母是 1 加上回路增益。负反馈是"\(1+\)"，正反馈才是"\(1-\)"。）

【补前置：什么是"积分环节"】 传递函数为 \(\dfrac{1}{s}\)（或带系数的 \(\dfrac{1}{Ts}\)）的环节叫积分环节，它把输入随时间累加起来（输出是输入的积分）。生活类比：水龙头的流量是输入，水桶里的水量是输出——只要还在往里流，水量就一直涨。它是本讲和第 05 讲"系统型别"的关键角色，3.7 节还会再对照微分讲一次。

典型一阶系统：单位负反馈，前向通道是一个积分环节 \(G(s)=\dfrac{1}{Ts}\)。代入上面的公式化简：

（中间那一步是通分：\(1+\dfrac{1}{Ts}=\dfrac{Ts}{Ts}+\dfrac{1}{Ts}=\dfrac{Ts+1}{Ts}\)；然后"除以一个分式 = 乘它的倒数"，\(Ts\) 上下约掉。）所以

这式子在说什么：这个系统对输入的"加工方式"就是把输入乘以 \(\dfrac{1}{Ts+1}\)。 符号：\(T\) 叫时间常数，单位是秒；\(s\) 是拉氏变换的复变量。 怎么用：拿到任何形如 \(\dfrac{1}{Ts+1}\) 或能整理成这个形状的闭环传函，你就知道它是典型一阶系统，\(T\) 就是分母里 \(s\) 的系数。

它的物理来源（PPT 幻灯片 15、16 用的是 RC 电路）：一个电阻 \(R\) 串一个电容 \(C\)，输入是总电压 \(r(t)\)，输出是电容两端电压 \(c(t)\)。列基尔霍夫电压定律得

【补前置：基尔霍夫电压定律 (KVL)】一个回路里，各元件电压降之和 = 电源电压。这里就是"电阻上的压降 + 电容上的压降 = 输入电压"。而电容电流 \(i=C\dfrac{dc}{dt}\)，电阻压降 \(=iR=RC\dfrac{dc}{dt}\)，代入即得上式。 【符号 \(\dot{c}(t)\)】字母上面一个点表示对时间求一阶导数，是 \(\dfrac{dc}{dt}\) 的简写。

它的本质：一阶系统实质上就是一个惯性环节（PPT 幻灯片 16 原文："这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节"）。

【补前置：什么叫"惯性环节"、什么叫"系统惯性"】 "惯性"借用力学的说法：物体有质量，你推它它不会瞬间达到目标速度，得慢慢加速。控制系统里的惯性是一回事——输入变了，输出不能瞬间跟上，要慢慢过渡。RC 电路就是典型：电源电压瞬间跳到 1 伏，电容电压不会瞬间变成 1 伏，因为给电容充电需要时间。 "非周期性"= 响应过程不振荡、不来回摆，只单方向变化。

2.2 一阶系统的单位阶跃响应（核心）

推导（PPT 幻灯片 17）：

中间这一步在干嘛：叫部分分式展开——把一个复杂分式拆成几个"查表能查到"的简单分式。因为拉氏变换表里有 \(\dfrac{1}{s}\leftrightarrow 1(t)\)、\(\dfrac{1}{s+a}\leftrightarrow e^{-at}\)，拆成这种形状就能一项一项翻译回时域。这是本课程做反变换的唯一常规手段，务必熟练。既然这么重要，这一次就把三步全写出来，别跳。

第一步：把每个因式整理成 \(s+a\) 的样子（提出 \(s\) 的系数）。 \(Ts+1\) 里 \(s\) 前面挂着 \(T\)，查表的标准形状要求 \(s\) 的系数是 1，所以把 \(T\) 提到外面：

（就是把分母的 \(T\) 提出来后挪到分子上变成 \(1/T\)。）于是

这个分式有两个极点：\(s=0\) 和 \(s=-\dfrac{1}{T}\)。

第二步：待定系数（定分子上那两个常数）。 两个极点就写成两项，分子先用未知数 \(A\)、\(B\) 顶着：

两边同乘 \(s\left(s+\dfrac{1}{T}\right)\) 通分，得

这个等式要对所有 \(s\) 都成立，所以随便代两个方便的值就能把系数抓出来（这叫"留数法"，比展开对比系数快）： - 令 \(s=0\)：\(\dfrac{1}{T}=A\cdot\dfrac{1}{T}\)，得 \(A=1\)。 - 令 \(s=-\dfrac{1}{T}\)：\(\dfrac{1}{T}=B\cdot\left(-\dfrac{1}{T}\right)\)，得 \(B=-1\)。

代回去：

第三步：逐项查表翻译回时域。 \(\dfrac{1}{s}\to 1(t)\)，\(\dfrac{1}{s+a}\to e^{-at}\)（这里 \(a=\dfrac{1}{T}\)），两项相减即得下面的 \(h(t)\)。以后所有反变换都是这三步，形状不同而已。

反变换得：

这式子在说什么：输出从 0 出发，单调地爬向 1，永远逼近但理论上永远达不到 1。 符号：\(h(t)\) 是单位阶跃响应；\(e\) 是自然常数 2.718…；\(e^{-t/T}\) 是一个从 1 开始、随时间衰减到 0 的量；\(T\) 决定衰减快慢。 怎么用：知道 \(T\)，代入任意时刻算出输出值；或反过来，从实测曲线读出某时刻的值，反解 \(T\)。

两个成分对号入座： - 稳态分量 = \(1\)（来自输入 \(R(s)=1/s\) 这个极点） - 暂态分量 = \(-e^{-t/T}\)（来自传递函数的极点 \(s=-1/T\)）

PPT 幻灯片 17 把这条规律写成一句通用结论："\(R(s)\) 的极点形成系统响应的稳态分量；传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。"

【这条为什么重要】它把 1.1 节"根的位置决定响应形状"具体化了：输入带来"最后停在哪"，系统自己的极点带来"过程怎么折腾"。第 4 章根轨迹整章都在研究"系统极点跑到哪去了"，根就在这。

2.3 时间常数 T 到底是什么（必须有物理感觉）

PPT 幻灯片 18、19 给了几个关键数值：

\(T\) 的三种理解方式，任选一个记住即可：

1. 数值意义：经过一个 \(T\)，输出走完全程的 63.2%（因为 \(1-e^{-1}=0.632\)）。
2. 几何意义：响应曲线在 \(t=0\) 处的切线斜率 \(\left.\dfrac{dh}{dt}\right|_{t=0}=\dfrac{1}{T}\)；这条切线延长后与稳态值 1 的交点，横坐标正好是 \(T\)。也就是说：如果系统一直保持起步时那个速度，\(T\) 秒就能到位——但它没有，它越走越慢。
3. 物理意义：\(T\) 就是这个系统的"惯性大小"。\(T\) 越小，惯性越小，响应越快；\(T\) 越大，惯性越大，响应越慢。

实验用途（PPT 幻灯片 19 明确写了）：拿实测阶跃响应曲线，看它是不是在 \(T\) 处过 63.2%、\(3T\) 处过 95.2%，可据此判定被测系统是否属于一阶系统。

2.4 一阶系统的性能指标

因为阶跃响应是单调递增的（一路上升，从不回头），所以：

• 没有峰值时间 \(t_p\)（没有峰，何来峰值时间）
• 没有超调量 \(\sigma\%\)（从未超过稳态值）

只剩两个指标：

• 上升时间 \(t_r\)：PPT 幻灯片 12 的定义是"响应曲线从稳态值的 10% 上升到 90% 所需的时间"（针对无振荡系统），而对有振荡的系统才定义为"从零第一次上升到终值所需的时间"。 【存疑·待核】转录里老师口述的是"从响应开始到达稳态输出的 90% 所经历的时间"，即 0→90%。这和 PPT 的 10%→90% 差一点。两种定义在不同教材都出现过，做题时以题目 / 所用教材给的定义为准；北方工大真题若考一阶上升时间，建议按 PPT（10%~90%，此时 \(t_r\approx 2.20T\)）作答并写明所用定义。
• 调节时间 \(t_s\)：响应进入并永远保持在稳态值 \(\pm\Delta\) 误差带内所需的最短时间。 【补前置：什么是"误差带"、\(\Delta\) 是什么】 工程上不可能等到输出精确等于稳态值（数学上要等无穷久），所以人为划一条"够近就算到了"的线：以稳态值为中心，上下各留一条宽 \(\Delta\) 的带子，输出只要钻进这条带子并且不再出去，就算"调完了"。\(\Delta\) 是这条带子的相对宽度（占稳态值的百分比），常取 5% 或 2%。稳态值是 1 时，\(\Delta=5\%\) 的误差带就是 \(0.95\sim 1.05\) 这个区间。\(\Delta\) 取多少是题目给的、不是系统自带的——同一个系统按 2% 算出的 \(t_s\) 一定比按 5% 算的长，所以答题时必须写明你用的是哪一档。
• 取 \(\Delta=5\%\)：\(t_s=3T\)
• 取 \(\Delta=2\%\)：\(t_s=4T\) （这两个数值和 2.3 节的 95.2%、98.2% 是同一件事。）

两个指标都只跟 \(T\) 有关——这就是"一阶系统只有一个参数决定性能"的含义。

【难点】"调节时间"定义里的"永远保持"和"最短"两个词都不是废话。 难在哪：初学者会理解成"第一次进入误差带的时间"。 为什么错：振荡的系统可能进去了又冲出来。定义要求的是从此以后再也不出去的那个时刻。所以对振荡系统，\(t_s\) 是"最后一次穿越误差带边界"的时刻。 （一阶系统单调上升，进去就不会再出来，所以这个区别在一阶上看不出来，到二阶欠阻尼就要命了。）

【你可能会以为】响应"永远达不到 1"，那这个系统岂不是有稳态误差、不合格？ 但其实：在阶跃输入下一阶系统的稳态误差是 0。 因为：\(e_{ss}=\lim_{t\to\infty}[1-h(t)]=\lim_{t\to\infty}e^{-t/T}=0\)。数学上"无限逼近"的极限就是 0，没有残留误差。工程上到 \(4T\) 就已经差不到 2% 了。"永远达不到"和"稳态误差为零"不矛盾——前者说的是任意有限时刻，后者说的是极限。

2.5 一阶系统对其它输入的响应（会考，别跳过）

PPT 幻灯片 21～26 给了完整的一套。这里给结果并解释，因为斜坡响应的稳态误差是考点。

单位脉冲响应（幻灯片 23）：

在说什么：一瞬间狠敲一下，输出立刻跳到 \(\dfrac{1}{T}\)，然后指数衰减回 0。\(t=0\) 时 \(g(0)=1/T\)，\(t=T\) 时 \(g(T)=0.368/T\)。它正好是 \(h(t)\) 的导数，印证 0.5 节的规律。 另一个身份：因为 \(R(s)=1\)，所以 \(C(s)=\Phi(s)\)——传递函数的拉氏反变换就是单位脉冲响应。这是第 2 章讲传递函数性质时的结论，在这里对上了。

单位斜坡响应（幻灯片 21，沿用 0.5 节记号 \(c_r(t)\)）：

• 稳态分量：\(t-T\)；暂态分量：\(Te^{-t/T}\)。
• 误差：\(e(t)=r(t)-c_r(t)=T-Te^{-t/T}\)，当 \(t\to\infty\) 时 \(e_{ss}=T\)。

结论：一阶系统跟踪斜坡输入，存在恒定稳态误差 \(T\)。 直观理解：输入在匀速往上跑，系统因为有惯性永远慢半拍，落后的距离最终稳定在 \(T\)。这说明"\(T\) 越小越好"不只是更快，还更准。

单位加速度响应（幻灯片 25）：误差 \(e(t)=Tt-T^2(1-e^{-t/T})\)，随时间增长到无穷大。 结论：一阶系统无法跟踪加速度输入。 因为输入越涨越快，系统这点本事跟不上，差距只会越拉越大。

【串一下】这三条结论（阶跃误差 0、斜坡误差 \(T\)、加速度误差 \(\infty\)）不是巧合，背后是系统"型别"的概念——开环含几个积分环节，决定了能跟踪到几阶输入。这是第 05 讲稳态误差那部分的核心。你现在只要先有这个"输入越难跟，误差越大"的梯度感就够了。

三、典型二阶系统（本讲重点，考试重灾区）

3.1 标准形式（必须背到能默写）

二阶系统的定义（PPT 幻灯片 27）："凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统"。

典型二阶系统的开环传递函数（PPT 幻灯片 28 结构图）：单位负反馈，前向通道为

闭环传递函数标准形式：把 \(G(s)\) 代进 2.1 节的单位负反馈闭环公式 \(\Phi=\dfrac{G}{1+G}\)，一步不省地算：

（分母通分：把 1 写成 \(\dfrac{s(s+2\xi\omega_n)}{s(s+2\xi\omega_n)}\) 再相加；然后大分数上下同乘 \(s(s+2\xi\omega_n)\) 约掉。） 再把 \(s(s+2\xi\omega_n)=s^2+2\xi\omega_n s\) 乘开，得到

闭环特征方程：\(s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2=0\)

闭环特征根（用二次方程求根公式解出来）：

这几个式子在说什么、符号是什么（这是本讲最该花时间的地方）：

• \(\xi\)（读"泽塔 zeta"，教材也写作 \(\zeta\)）叫阻尼比，无量纲（没有单位，是个纯数）。 物理意义：系统里"刹车能力"的相对强弱。想象一个弹簧挂着重物在水里上下振动，水的粘性就是阻尼：阻尼小 → 振个不停；阻尼大 → 一下就不动了。\(\xi\) 就是量化这个刹车强度的数。
• \(\omega_n\) 叫无阻尼振荡频率（无阻尼自然振荡角频率），单位 rad/s。 物理意义：假如把阻尼完全去掉（\(\xi=0\)），这个系统会以多快的频率来回振荡。它反映系统"本身的快慢档次"。 【补前置：什么叫角频率】普通频率 \(f\) 单位 Hz（每秒振几次），角频率 \(\omega=2\pi f\)，单位 rad/s。控制里统一用角频率，因为公式里出现的是 \(\sin\omega t\) 这种形式。
• 怎么用：拿到任意一个二阶闭环传函，先化成上面的标准形式，然后对号入座：分母常数项 \(=\omega_n^2\)，分母 \(s\) 的系数 \(=2\xi\omega_n\)。由这两个方程解出 \(\xi\) 和 \(\omega_n\)。

【难点·最高频扣分点】"化成标准形式"这一步不能省，而且分子必须是 \(\omega_n^2\)。 难在哪：题目给的传函长得千奇百怪，比如 \(\dfrac{4}{s^2+2s+4}\)，你得看出 \(\omega_n^2=4\Rightarrow\omega_n=2\)，\(2\xi\omega_n=2\Rightarrow\xi=0.5\)。 这里必须把两种"分子不标准"分清楚，它们后果完全不同，混为一谈是常见的错解：

情况甲：分子是常数、但不等于 \(\omega_n^2\)（例：\(\dfrac{8}{s^2+2s+4}\)）。 这等于在标准二阶系统前面串了一个纯放大器（\(\dfrac{8}{s^2+2s+4}=2\times\dfrac{4}{s^2+2s+4}\)）。 - 分母没变 → 闭环极点没变 → \(\xi=0.5\)、\(\omega_n=2\) 照样对号入座，\(t_r\)、\(t_p\)、\(t_s\) 完全不变（它们只由极点位置决定）。 - 变的只有稳态值：\(h(\infty)=2\) 而不是 1。 - 超调量也不变：\(\sigma\%=\dfrac{h(t_p)-h(\infty)}{h(\infty)}\) 是相对量，分子分母同时放大 2 倍，比值约掉。所以仍是 \(e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\)。 - 结论：四个指标公式照用，只是"稳态值是多少"要按实际算，别默认是 1。

【顺手强化】\(\sigma\%\) 是"冲过头的高度占稳态值的百分比"，不是"冲到多高"。所以只要曲线形状相似（同一组极点），不管整体放大多少倍，超调量都一样。这正是第 3 题（自测）要考的点。

情况乙：分子里含 \(s\)，即系统多了闭环零点（例：\(\dfrac{4(s+3)}{s^2+2s+4}\)），或者系统不是单位负反馈。 这时响应曲线的形状本身被改了（回看 3.6 节：零点改变各模态所占比重），\(h(t)\) 不再是 3.3 节那条标准欠阻尼曲线，四个指标公式的推导前提真的被破坏，不能直接套。这才是"不能用公式"的情形。 据考点分析 p005 第 3 条原话："公式一定要记牢！开环、闭环的不要混淆"——就是提醒你别把 \(G(s)\) 当成 \(\Phi(s)\) 去对号入座。

【补：\(\xi\)、\(\omega_n\) 和物理参数的关系】PPT 幻灯片 47 给出，对 \(\Phi(s)=\dfrac{K}{Ts^2+s+K}\) 这种形式：

PPT 明确写了"\(\xi\) 与 \(\omega_n\) 是一对矛盾"：\(K\) 增大，\(\omega_n\) 变大（更快）但 \(\xi\) 变小（更振荡）。这就是控制系统设计永远的两难：快和稳互相打架。 这句话到第 6 章校正还会不断遇到。

3.2 五种阻尼状态（按 \(\xi\) 分类）—— 理解框架

固定 \(\omega_n\)、改变 \(\xi\)，特征根 \(s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\xi^2-1}\) 在 s 平面上的位置就变，响应形状跟着变。这是"根的位置 ↔ 响应形状"最经典的一张对照表，请务必看懂而不是背下。

逐条讲清楚"为什么"：

(1) 为什么 \(\xi^2-1\) 的正负这么关键 - \(\xi>1\) → 根号内为正 → 开出来是实数 → 两个根都是实数。 - \(\xi<1\) → 根号内为负 → 开出来是虚数 → 两个根是共轭复数。 【补前置：负数开根】\(\sqrt{-4}=2j\)，\(j\) 是虚数单位，\(j^2=-1\)。所以 \(\omega_n\sqrt{\xi^2-1}=\omega_n\sqrt{-(1-\xi^2)}=j\,\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\)。 【补前置：共轭复数】\(a+jb\) 和 \(a-jb\) 互为共轭。实系数多项式的复根一定成对共轭出现——所以你永远不会只看到半个。

(2) 为什么复根就振荡、实根就不振荡 反变换后，复根 \(-\sigma\pm j\omega\) 对应时域项 \(e^{-\sigma t}\sin(\omega t+\varphi)\)——有 \(\sin\)，就有来回摆动，虚部 \(\omega\) 就是摆动频率，虚部越大摆得越急。 实根 \(-a\) 对应时域项 \(e^{-at}\)——纯指数，只会单调升降，不会摆。 所以：虚部管"振不振、振多快"，实部管"衰减快不快"。 这一句话请记牢，第 4 章根轨迹全靠它。

(3) \(\xi=0\)：为什么是"临界" \(s_{1,2}=\pm j\omega_n\)，实部为 0，指数项 \(e^{0\cdot t}=1\)，振幅既不衰减也不增长。PPT 幻灯片 36 给出响应：

围绕稳态值 1 做等幅振荡，永远停不下来。这也正好解释了 \(\omega_n\) 为什么叫"无阻尼振荡频率"——\(\xi=0\)（无阻尼）时，振荡频率恰好就是 \(\omega_n\)。

(4) \(\xi=1\)（临界阻尼），PPT 幻灯片 37：

单调上升、无超调、趋于 1。PPT 特别注明：在所有无超调的情况（\(\xi\ge 1\)）中，\(\xi=1\) 的上升时间最短——"在不许冲过头的前提下，临界阻尼是最快的"。

(5) \(\xi>1\)（过阻尼）：两个负实根 \(s_1,s_2\)，响应 \(h(t)=1+A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}\)，还是单调上升，但比临界阻尼更慢（刹车太狠，磨磨蹭蹭）。 老师提到一个工程简化：离虚轴远的那个实根对应的项衰减得快，可以忽略，于是过阻尼系统近似成一阶系统。（PPT 幻灯片 31 写："当 \(t\to\infty\) 时 \(e^{s_2t}\) 比 \(e^{s_1t}\) 衰减快"，指的就是离虚轴远的那个。） 【这就是"主导极点"思想的雏形】——离虚轴最近的根衰减最慢、活得最久，所以它主导了整条响应曲线。第 05 讲会正式讲。

(6) \(\xi<0\)（负阻尼）：老师的物理解释很好——不但没有阻力，还有外力在帮着系统运动，越推越远。特征根实部为正，\(e^{+\sigma t}\) 爆炸，输出发散，系统不稳定。

【工程结论】PPT 幻灯片 40：\(\xi=0.4\sim 0.8\) 是最佳阻尼状态（超调量适度、调节时间较短），工程上最常取 \(\xi=0.707\)。 另外：\(\xi\) 一定时，\(\omega_n\) 越大，响应速度越快（因为所有时间指标的分母都带 \(\omega_n\)）。

【你可能会以为】阻尼比越大越好，因为不振荡听起来更"稳"。 但其实：不是。\(\xi\) 太大（过阻尼）虽然不超调，但太慢了，调节时间很长。 因为：性能是"快"和"平稳"的折中。\(\xi\) 太小振荡剧烈、超调大；\(\xi\) 太大响应拖沓。0.4~0.8 是折中的甜区。

3.3 欠阻尼二阶系统（\(0<\xi<1\)）—— 考试的正中靶心

为什么单独拎出来讲：实际工程系统绝大多数工作在欠阻尼（PPT 幻灯片 41 注明欠阻尼状态"响应速度最快"），也因为只有欠阻尼才有完整的四个指标。

单位阶跃响应（PPT 幻灯片 33）：

等价形式：\(h(t)=1-e^{-\xi\omega_n t}\left(\cos\omega_d t+\dfrac{\xi\omega_n}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)\)

这式子在说什么：输出 = 稳态值 1，减去一个"振幅在衰减的正弦波"。所以曲线绕着 1 上下摆动、摆幅越来越小，最后贴在 1 上。

每个符号是什么： - \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\)：叫阻尼振荡频率（有阻尼时实际的振荡频率）。它就是特征根的虚部。因为 \(\sqrt{1-\xi^2}<1\)，所以 \(\omega_d<\omega_n\)——有阻尼之后，振得比"自然频率"慢。符合直觉：加了阻力，摆得没那么欢了。 - \(\xi\omega_n\)：特征根实部的绝对值，叫衰减系数。它出现在 \(e^{-\xi\omega_n t}\) 的指数上，决定振幅衰减多快。\(\xi\omega_n\) 越大，衰减越快，越早安静下来。 - \(\beta\)：叫阻尼角，由 \(\cos\beta=\xi\) 定义（PPT 幻灯片 34 明确写 \(\cos\beta=\xi\)）。等价写法 \(\beta=\arctan\dfrac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}\)（转录里老师口述的就是这个 arctan 形式，两者一致）。 【补前置：\(\arctan\) 是什么、为什么这两种写法等价】 \(\arctan x\)（反正切）就是"正切值等于 \(x\) 的那个角"，是 \(\tan\) 的反过来用：已知直角三角形对边比邻边，反求夹角。同理 \(\arccos x\) 是"余弦值等于 \(x\) 的那个角"。计算器上 \(\tan^{-1}\)、\(\cos^{-1}\) 就是它们。 为什么等价：画一个直角三角形，让斜边 = 1、邻边 = \(\xi\)，那么由勾股定理对边 \(=\sqrt{1-\xi^2}\)。于是这个角 \(\beta\) 同时满足 \(\cos\beta=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}=\xi\) 和 \(\tan\beta=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}=\dfrac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}\)。两式说的是同一个角，所以两种写法一致。 （这个三角形不是硬凑的：特征根 \(-\xi\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\) 的实部绝对值是 \(\xi\omega_n\)、虚部是 \(\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\)、到原点距离恰好是 \(\omega_n\)。把三边同除以 \(\omega_n\)，就是上面那个斜边为 1 的三角形。） 几何意义：在 s 平面上从原点连到特征根，这条线与负实轴的夹角就是 \(\beta\)。\(\xi\) 越小，根离虚轴越近、\(\beta\) 越大，振荡越厉害。这个几何关系在第 4 章根轨迹里天天用（"等阻尼比线"就是一条过原点、与负实轴成 \(\beta\) 角的射线）。

【难点·符号混乱预警】不同教材 / 资料对阻尼角记号不统一：PPT 用 \(\beta\)，转录 ASR 里出现的是 \(\varphi\)（phi），胡寿松教材常用 \(\beta\)。它们是同一个角。做题时看清题目定义即可。

3.4 欠阻尼的性能指标公式（必背）

使用前提（据考点分析 p005 第 3 条给出的两条前提 + 本讲按教材补充的第三条，务必先确认）： 1. （p005 原文）输入必须是阶跃输入——原话是"第一个是阶跃输入（不是单位也可以）"。倍数不影响这几个指标，因为它们要么是时间、要么是百分比（相对量），见 3.1 节情况甲的解释。 2. （p005 原文）系统必须处于欠阻尼（\(0<\xi<1\)）。 3. （本讲补充，不是 p005 原文；依据是这些公式的推导过程本身）系统必须是标准形式的典型二阶系统：单位负反馈、且分子里不含 \(s\)（无附加零点）。 【补前置：什么是"零点"】使分子为零的那个 \(s\) 值叫零点；比如 \(\dfrac{4(s+3)}{\cdots}\) 的零点是 \(s=-3\)。"无附加零点"就是分子是个常数、不含 \(s\)。详细含义和它对响应的影响见 3.6 节。

不满足前提就硬套 = 送分变送命。

(1) 上升时间

在说什么：响应第一次达到稳态值 1 所需的时间。（欠阻尼有振荡，所以用"第一次到达终值"的定义，不是 10%~90%。） 怎么记：分子是"半圈（\(\pi\)）减去阻尼角"，分母是实际振荡频率。 规律：\(\xi\) 越小、\(\omega_n\) 越大，\(t_r\) 越短。PPT 注："\(t_r\) 与 \(\omega_n\) 成反比"。

(2) 峰值时间

在说什么：响应达到第一个峰值（最大值）所需的时间。 为什么是 \(\pi/\omega_d\)：振荡周期是 \(T_d=\dfrac{2\pi}{\omega_d}\)，第一个峰出现在半个周期处，所以是 \(\dfrac{\pi}{\omega_d}\)。这个理由记住了，公式就丢不了。 规律：\(\xi\) 越小、\(\omega_n\) 越大，\(t_p\) 越短。

(3) 超调量（最爱考的一个）

在说什么：输出冲过头的幅度，占稳态值的百分比。第一个等号是定义式（峰值减稳态值，再除以稳态值，PPT 幻灯片 12 写作 \(\dfrac{C_{max}-C(\infty)}{C(\infty)}\times100\%\)）；第二个等号是把欠阻尼响应代进去算出的结果。 符号：\(h(t_p)\) 是峰值时刻的输出（即最大输出）；\(h(\infty)\) 是稳态输出。 最重要的性质：超调量只与阻尼比 \(\xi\) 有关，与 \(\omega_n\) 无关。 PPT 幻灯片 43 原文："且超调量只与阻尼比有关"。

【难点·公式形状极易记错】 指数上是 \(-\dfrac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\)：\(\pi\) 和 \(\xi\) 在分子，\(\sqrt{1-\xi^2}\) 在分母。 注意：转录 ASR 在这里把公式念得颠三倒四（先说成一种、又改口成 \(\sqrt{1-\xi^2}/\xi\)）——ASR 版本不可信，以 PPT 幻灯片 43 为准，即上面这个。 自检方法（比死记靠谱）：令 \(\xi\to 0\)，指数 \(\to 0\)，\(\sigma\%\to 100\%\)（无阻尼时冲到 2 倍，超调 100%，对）；令 \(\xi\to 1\)，分母 \(\to 0\)，指数 \(\to -\infty\)，\(\sigma\%\to 0\)（临界阻尼无超调，对）。两个端点都对，公式方向就没记反。

规律：\(\xi\) 越大，\(\sigma\%\) 越小。数值感觉：\(\xi=0.5\) 时约 16.3%，\(\xi=0.707\) 时约 4.3%。

(4) 调节时间（PPT 幻灯片 44）

在说什么：响应进入并永远保持在 \(\pm\Delta\) 误差带内所需的最短时间。 为什么分母是 \(\xi\omega_n\)：因为振幅按 \(e^{-\xi\omega_n t}\) 衰减，\(\xi\omega_n\) 就是衰减速度，衰减越快当然越早进带。PPT 注："\(t_s\) 与闭环极点的实部成反比"——\(\xi\omega_n\) 正是实部的绝对值。这条比记数字更重要。 允许误差越小（2% 比 5% 严），要求越高，所需时间越长，所以 4.5 > 3.5，符合常理。

【难点·常数取值不统一，必须知道】 PPT 用 3.5（5%）和 4.5（2%）；转录里老师口述的也是这一组。 但胡寿松教材及很多资料用的是更粗的近似式 \(t_s\approx\dfrac{3}{\xi\omega_n}\)（5%）、\(t_s\approx\dfrac{4}{\xi\omega_n}\)（2%）。 怎么办：北方工大 851 用的是这份 PPT，优先用 3.5 / 4.5；答题时把所用公式写出来，阅卷一般都认。千万别把 3.5 和 4.5 张冠李戴（记法：数字大的配"更严格的 2%"）。

(5) 振荡次数（PPT 幻灯片 44，老师口述没提，但 PPT 有）

在说什么：在调节时间内，响应完整振荡了几个周期。\(T_d=2\pi/\omega_d\) 是一个振荡周期。

3.5 把这些指标串成一句话

• \(\xi\) 单独决定超调量（平稳性）。
• \(\xi\omega_n\)（= 极点实部）决定调节时间（衰减快慢）。
• \(\omega_d\)（= 极点虚部）决定上升时间和峰值时间（振荡快慢）。
• 所以：所有时间指标都由闭环极点在 s 平面的位置完全决定（PPT 幻灯片 47 第 4 条原话："\(t_s\)、\(t_r\)、\(t_p\) 等量完全由根在复平面的极点位置所决定"）。

【这一句是第 3 章通往第 4 章的桥】根轨迹整章在画"极点随参数怎么移动"，目的就是：看着极点的位置，就能读出系统性能。 你现在建立的这本"位置↔性能"字典，第 4 章、第 6 章都在用。

3.6 零点的影响（PPT 幻灯片 49，老师口述略过，但结论重要）

【补前置：什么是零点、极点】 传递函数 \(\Phi(s)=\dfrac{\text{分子}}{\text{分母}}\)： - 使分子为零的 \(s\) 值叫零点（zero）。 - 使分母为零的 \(s\) 值叫极点（pole）。 名字来源：极点处传递函数值趋于无穷（像立起一根"极高的杆子"），零点处传递函数值为零。

【补前置：什么叫"模态"、什么叫"自由运动"】 把响应 \(c(t)\) 写成几项相加时，每一个由极点带来的时间函数项（\(e^{-t}\)、\(e^{-2t}\)、\(e^{-\xi\omega_n t}\sin\omega_d t\) 这种），就叫一个模态（也叫振型、运动模式）。名字听着玄，意思很朴素：这个系统"会做的几种动作"——一种衰减得快、一种衰减得慢、一种边衰减边摆。有几个极点就有几种模态，极点的位置决定每种动作长什么样。 "自由运动"指的是系统撤掉输入后靠自己演化的那部分，也就是 2.2 节说的暂态分量（由系统自身极点产生的那些项）。所以"零点不影响自由运动的模态"这句话，说的就是"零点动不了这几种动作本身"。 配上一个已经见过的例子：一阶系统 \(h(t)=1-e^{-t/T}\) 里，\(e^{-t/T}\) 就是它唯一的模态，因为它只有一个极点 \(s=-1/T\)。

PPT 用三个例子（分母都是 \((s+1)(s+2)\)，分子不同）说明：三个系统的响应都由 \(e^{-t}\) 和 \(e^{-2t}\) 这两个模态组成（对应两个极点 \(s=-1\)、\(s=-2\)），但各模态前面的系数不一样。结论原文：

零点不影响自由运动的模态，但影响各模态在响应中占的比重。

大白话：极点决定"响应里有哪些成分"（衰减多快、振不振荡），零点决定"每种成分占多大分量"。所以加零点不改变系统稳定性（稳定性只看极点），但能改变曲线的胖瘦快慢。

【为什么在这提】因为下一节的比例微分控制，本质就是"加一个开环零点"。

3.7 改善二阶系统性能的措施

3.1 节说过 \(\xi\) 和 \(\omega_n\) 是"一对矛盾"：光靠调参数顾此失彼，于是要改结构。

PPT 幻灯片 52 一共列了三条，逐字是："（1）增加闭环零点，改善快速性（2）增加开环零点（比例－微分控制 PD 控制）（3）引入输出量的速度负反馈：同样可以用来改善系统的性能。" 老师口述只展开了后两条（PD 控制、测速反馈）。下面按 PPT 的三条给全，第 (1) 条按 PPT 原文如实列出但不展开，理由写在下面——不是漏掉。

(0) 增加闭环零点，改善快速性（PPT 第 (1) 条） 含义：直接在闭环传递函数的分子上添一个零点。由 3.6 节的结论，零点改变各模态所占的比重，效果是把响应"往前赶"，上升时间、峰值时间变短（快速性改善），代价是超调量通常增大。 （本讲不展开：老师口述没讲，且它更多是第 6 章"校正"里从系统设计角度处理的问题，第 6 章会正式讲。这里列出来是为了让你知道 PPT 上确有这一条，不是被略掉了。）

(1) 比例-微分控制（PD 控制）（PPT 第 (2) 条） 在前向通道（控制器位置）串一个 \(1+T_d s\) 的环节。

为什么有用：\(T_d s\) 是微分项，微分 = 看变化率。误差正在快速增大时，微分项提前给出大的控制作用；误差正在快速减小（说明快到了）时，微分项反号，提前刹车。 这就是"预见性"——不等冲过头才反应，而是提前减速，从而抑制超调。 数学上：它给开环传递函数增加了一个零点 \(s=-1/T_d\)，等效地增大了系统阻尼比。

【回顾对照：微分 vs 积分】（积分环节在 2.1 节已补过，这里做对照） 微分是"看变化率"，积分是"看累计量"。积分环节传递函数是 \(\dfrac{1}{s}\)，它把输入随时间累加起来。作用是消除稳态误差（只要还有一点误差，积分就一直累加、一直加大控制量，直到误差归零）。这是第 05 讲稳态误差"系统型别"的核心，也是考点分析 p001 里点名的简答题考点"PID 控制器中的积分作用"。

(2) 测速反馈（输出量的速度负反馈）（PPT 第 (3) 条） 在被控对象两端加一个局部负反馈回路，反馈通道是 \(K_t s\)（把输出的导数，即速度，反馈回来）。

为什么有用：反馈量正比于输出变化速度，输出冲得越快，反馈回来的"刹车量"越大——相当于人为给系统加了粘性阻尼。所以它同样是增大等效阻尼比。

两者的共同效果（老师原话总结）：都能在改善动态性能的基础上，保证稳态误差和固有频率 \(\omega_n\) 不变。 【存疑·待核】关于"稳态误差不变"：PD 控制加零点会改变开环传递函数，理论上对某些输入下的稳态误差是有影响的；测速反馈通常会使等效开环增益下降，从而增大斜坡输入下的稳态误差（教材上常有"测速反馈会使稳态误差增大，需增大开环增益补偿"的说法）。此处按老师口述如实记录，但与部分教材表述不完全一致，具体到题请以所用教材 / 题目条件为准，不要把这句当万能结论。 两者的区别：PD 是在误差信号上做微分（对噪声敏感），测速反馈是在输出信号上做微分。

PD 控制和测速反馈这两种改善措施，老师说"在我们现在的考试当中，经常也会见到"，第 6 章校正会系统展开。

四、这一讲的骨架（真正要带走的东西）

1. 第 3 章 = 稳、快、准三个字。 稳→稳定性判据（劳斯 / 赫尔维茨）；准→稳态误差（三种算法）；快→暂态性能指标（一阶 / 二阶 / 高阶主导极点）。
2. 稳定性是系统的固有属性，只由闭环特征根决定，与输入、与初始条件无关。充要条件：所有闭环特征根实部为负（都在 s 左半平面）。
3. 求稳态误差之前必须先判稳定——不稳定的系统没有稳态误差。
4. 时域分析标准流水线：\(\Phi(s)\to C(s)=\Phi(s)R(s)\to c(t)=\mathcal{L}^{-1}[C(s)]\)。
5. 一阶系统：\(\Phi(s)=\dfrac{1}{Ts+1}\)，本质是惯性环节；\(h(t)=1-e^{-t/T}\) 单调上升无超调；\(T\) 越小越快；\(t_s=3T\,(5\%)\,/\,4T\,(2\%)\)；斜坡输入下稳态误差为 \(T\)，加速度输入跟不上。
6. 二阶系统标准形式 \(\Phi(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}\)，两个特征参数 \(\xi\)、\(\omega_n\)；五种阻尼状态由 \(\xi\) 划分。
7. 欠阻尼四大指标：\(t_r=\dfrac{\pi-\beta}{\omega_d}\)、\(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}\)、\(\sigma\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\times100\%\)、\(t_s=\dfrac{3.5}{\xi\omega_n}(5\%)\) 或 \(\dfrac{4.5}{\xi\omega_n}(2\%)\)。用之前先确认：阶跃输入 + 欠阻尼 + 标准形式。
8. 一句话记忆核心：实部管衰减（决定 \(t_s\)），虚部管振荡（决定 \(t_r\)、\(t_p\)），\(\xi\) 单独管超调。
9. 改善二阶性能：PPT 列了三条——增加闭环零点（改善快速性，第 6 章展开）、比例微分控制（增加开环零点）、测速反馈，后两条本质都是增大等效阻尼。
10. 指标公式的适用边界：分子是常数但不等于 \(\omega_n^2\)（纯放大）→ 极点没变，四个指标照用，只是稳态值不是 1（\(\sigma\%\) 是相对量，同样不变）；分子含 \(s\)（有零点）或非单位反馈 → 曲线形状变了，不能套。

五、自测（戳穿假懂版）

做题前不要回看上文。每题给出"答案要点"和"答错说明你卡在哪"。

第 1 题 某系统闭环传递函数 \(\Phi(s)=\dfrac{25}{s^2+4s+25}\)。求 \(\xi\)、\(\omega_n\)、\(\omega_d\)、\(\sigma\%\)、\(t_p\)、\(t_s\)（取 \(\Delta=5\%\)）。

第 2 题 某系统 \(\Phi(s)=\dfrac{16}{s^2+10s+16}\)。有同学直接套 \(\sigma\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\)，你觉得对吗？如果不对，这个系统的超调量是多少？

第 3 题（概念，最能戳穿假懂） 两个二阶系统 A、B：A 的 \(\xi=0.5,\ \omega_n=2\)；B 的 \(\xi=0.5,\ \omega_n=10\)。问：(a) 谁的超调量大？(b) 谁的调节时间短？(c) 谁的振荡频率高？

第 4 题（稳定性概念） 判断对错并说明理由： (a) 给一个稳定系统输入一个非常大的阶跃信号，它可能变得不稳定。 (b) 一个系统在零初始条件下稳定，在非零初始条件下可能不稳定。 (c) 闭环传递函数为 \(\Phi(s)=\dfrac{10}{s^2-2s+5}\) 的系统是稳定的。

第 5 题（串联理解） 已知某典型一阶系统的单位阶跃响应为 \(h(t)=1-e^{-4t}\)。求：(a) 时间常数 \(T\)；(b) 闭环传递函数；(c) 单位脉冲响应；(d) 该系统跟踪单位斜坡输入时的稳态误差。

第 6 题（开放，检验你是否建立了"根位置↔响应"字典） 在 s 平面上取一个点，位于左半平面、离虚轴很近、虚部很大。不用算，说出这个系统响应曲线大概长什么样。

六、知识地图

向前串（这一讲依赖什么） - 第 2 章 拉氏变换：整条分析流水线的地基，\(C(s)=\Phi(s)R(s)\) 只在 s 域成立。 - 第 2 章 传递函数：本讲所有分析的起点；"零初始条件下输出与输入拉氏变换之比"这个定义在 0.3、0.6 节被直接用到。 - 第 2 章 结构图化简 / 梅森公式：用来求 \(\Phi(s)\) 和误差传递函数。 - 第 2 章 典型环节：一阶系统 = 惯性环节；二阶系统标准形式 = 振荡环节。这不是巧合，是同一批积木的复用。 - 数学：部分分式展开、复数与共轭复根、导数、指数与正弦函数、反三角函数 \(\arctan/\arccos\)。以上在 0.0～0.5 节和正文各处已就地补到够用；要更细的版本见 ../02_预备知识/00_数学物理零起点补给.md。

横向串（本章内部的关系）

                    第3章 线性系统的时域分析法
                              |
        +---------------------+---------------------+
        |                     |                     |
      稳(3.4)              快(3.2/3.3)            准(3.5)
  稳定性+劳斯/赫尔维茨    一阶 → 二阶 → 高阶       稳态误差
        |                     |                     |
  闭环特征根实部为负      欠阻尼四大指标      终值定理/型别/静态误差系数
        |                     |                     |
        +---- 都归结到 ---> 闭环极点在 s 平面的位置 <--- 先判稳才有意义

• 稳定性 → 稳态误差：不稳定就没有稳态误差，做题顺序上"稳"在"准"之前。
• 一阶 → 二阶：过阻尼二阶忽略远极点后退化为一阶；这是"降阶"思想的第一次出现。
• 二阶 → 高阶（第 05 讲）：高阶系统靠主导极点近似成二阶，然后套用今天这几个公式。所以今天二阶没吃透，第 05 讲的主导极点就无从谈起。

向后串（后面哪里要用） - 第 05 讲 / 3.4~3.5：高阶系统降阶、主导极点、劳斯判据、稳态误差三种算法。直接接着今天的骨架讲。 - 第 4 章 根轨迹：全章都在画"闭环极点随参数 \(K\) 移动的轨迹"，而"极点在哪 → 性能如何"这本字典就是今天建立的。考点分析 p005 明确说"近几年根轨迹的第二问都会结合振荡、阻尼那块的知识点去求参"——根轨迹题的第二问就是今天的内容。 - 第 5 章 频域分析：闭环频率特性与时域性能指标存在换算关系（谐振峰值 ↔ 超调量、带宽 ↔ 调节时间），本质是同一件事的两种看法。 - 第 6 章 校正：3.7 节的 PD 控制、测速反馈就是校正的雏形；校正任务常常直接写成"使超调量小于 X%、调节时间小于 Y 秒"，用的就是今天的公式。 - 第 7 章 离散系统：稳定性、稳态误差的整套逻辑平移到 z 平面（"单位圆内"取代"左半平面"）。考点分析 p007 说离散稳态误差"经常考的一个重点，和连续系统的结合去理解"。

本章在北方工大 851 的地位（据考点分析） - p002 大纲要求原文："掌握典型输入信号和常用性能指标；掌握一、二阶系统时域响应特点；掌握具有主导极点的高阶系统暂态性能分析方法；系统稳定性的概念和代数判据的应用；掌握稳态误差的定义及其计算方法。" - p001："常考大题题型仍然为：时域分析、校正、根轨迹、离散、非线性、Bode 图等"；七类计算题第 2 项即"时域分析：动态性能指标、稳态误差、已知系统参数求阻尼比"。 - p004（三）第 1 条：性能指标"近几年都特别喜欢考，而且作为一道大题考察……可能会结合图去考，根据图如何求性能指标要重点掌握"。 注意这句提醒：会给你一条响应曲线，让你从图上量出 \(\sigma\%\)、\(t_p\) 等，反解 \(\xi\)、\(\omega_n\)、\(K\)。 PPT 幻灯片 48 给的正是这种题（已知阶跃响应峰值 2.18、稳态值 2.0、峰值时间 0.8，求 \(k_1,k_2,a\)）。这类"反着用公式"的题，第 06 讲例题课会练。

七、这一讲没讲的（明确交代，不是省略）

以下内容属于第 3 章，但本讲老师只在总览里提了名字、没有展开，将在第 05、06 讲讲解。本讲不展开是为了不超载：

• 3.4 稳定性分析的具体方法：劳斯判据的表格构造、两种特殊情况（某行首元为零、整行为零）的处理、赫尔维茨判据。
• 3.5 稳态误差的具体计算：系统型别（0 型 / I 型 / II 型）、开环增益、三个静态误差系数的定义与用法、扰动作用下的稳态误差。
• 高阶系统与主导极点：如何判断一个极点是不是主导极点、偶极子的概念、降阶近似的条件。
• 动态误差（稳态误差随时间的变化）：老师提到可用长除法、定义法、动态误差系数法求，但明确说"对于这个方面，它的考题呢，不多"，并说"如果实在没有办法掌握，可以不必强求"。所以这一块优先级最低，等前面都稳了再回头看。

最后一句实话：这一讲里，1.1 节的稳定性概念和 3.2~3.5 节的二阶系统，是你需要反复回看的两块。第一遍看完觉得"公式记不住"是正常的、也是不重要的——真正要检查的是：你能不能看着 s 平面上一个点，说出响应曲线长什么样。 能做到这一点，公式忘了随时能查、能推；做不到，公式背得再熟也是一堆乱码。