第3章 线性系统的时域分析法（总览 + 一阶/二阶系统）
从这一讲开始，我们真正开始"分析系统"了。前两讲（第2章）教你怎么把一个系统写成数学模型（微分方程 / 传递函数 / 结构图 / 信号流图）。老师反复强调过：建模只是地基，建模的目的是"借助数学模型来分析控制系统的性能"。这一讲就是把地基用起来——用时域分析法去回答"这个系统到底好不好"。
这一讲信息量很大，第一遍看不懂、看不完都正常。 它其实是整个第3章的"地图 + 前半程"：先讲清楚"分析一个系统要看哪几个指标"（快、准、稳），再把一阶、二阶系统吃透。高阶系统留到下一讲。真正的坎有三个，我都标了【难点】：一是"稳定性是系统的固有属性"这句话到底什么意思；二是二阶系统那一堆指标公式为什么长那样、什么时候才能用；三是稳态误差和"稳态误差随时间变化"是两回事。卡住就回来重读，别自欺"我大概懂了"。
0. 先建一张地图：分析一个控制系统，到底在分析什么？
零基础最容易的错，是一头扎进公式，却不知道这些公式各自在回答什么问题。所以先记住一句总纲——"快、准、稳"（老师原话是"稳、准、快"，顺序不重要，含义要分清）：
| 指标 | 通俗含义 | 本章用什么来衡量 | 对应小节 |
|---|---|---|---|
| 稳（稳定性） | 系统会不会"跑飞"、会不会自己回到平衡 | 稳定的充要条件 + 劳斯判据 / 赫尔维茨判据 | 3.4 |
| 准（准确性） | 系统最后停在哪，离目标差多少 | 稳态误差 \(e_{ss}\) | 3.5 |
| 快（快速性 + 平稳性） | 系统反应快不快、过程晃不晃 | 动态（暂态）性能指标：\(t_r, t_p, t_s, \sigma\%\) | 3.2 / 3.3 |
三者的优先级不是并列的。稳是压倒一切的。
【你可能会以为】三个指标可以分开单独考察，算哪个都行。 但其实：稳定是前提，不稳定的系统连"准"和"快"都无从谈起。 老师专门强调了一个考试铁律——
如果一道题让你算稳态误差，你要做的第一件事不是算误差，而是先判断这个系统稳不稳定。因为只有稳定的系统才存在稳态误差，不稳定的系统压根没有"稳态"，谈误差没有意义。
为什么：稳态误差定义是"\(t\to\infty\) 时误差的极限"。不稳定系统的响应会发散（越来越大或等幅乱晃），\(t\to\infty\) 时根本没有极限，这个"终值"不存在。所以判稳是入场券。考点分析里也点名："想计算稳态误差，首先要判定系统是否稳定"——这是每年送分又送命的地方。
本章的统一分析思路（贯穿始终，务必记住）：
建立数学模型（微分方程）
↓ 拉氏变换
求闭环传递函数 Φ(s)
↓ 乘以输入的拉氏变换 R(s)
输出的拉氏变换 C(s) = Φ(s)·R(s)
↓ 拉氏反变换
时域输出响应 c(t) ← 从它的形状分析"快不快、稳不稳"
【难点】为什么不直接解微分方程，非要绕道传递函数？ - 难在哪：低阶系统（一阶、二阶）微分方程直接解也不难，看着绕道多此一举。 - 为什么：高阶系统的微分方程，不借助计算机几乎解不出来。 所以我们需要一条"低阶高阶都通用"的路子。走传递函数这条路，高阶时可以用"主导极点""劳斯判据"等技巧绕过"解方程"这一步，直接判性能。低阶时顺手也用它，保持思路统一。 - 正确理解：传递函数不是为了算得快，是为了在解不出方程时也能分析系统。这正是经典控制理论的精髓——"不解方程也能判系统"。
1. 三种典型输入信号：为什么老拿"阶跃"说事
分析系统性能，得先给它一个"标准激励"看它怎么反应。本章用三种典型输入（据 PPT 3.1）：
| 信号 | 时域 \(r(t)\) | 复域 \(R(s)\) | 物理对应 |
|---|---|---|---|
| 单位阶跃 | \(1(t)\) | \(\dfrac{1}{s}\) | 电源突然通/断电、负载突变 |
| 单位脉冲 | \(\delta(t)\) | \(1\) | 瞬间冲击 |
| 单位斜坡 | \(t\) | \(\dfrac{1}{s^2}\) | 匀速变化的输入 |
| 单位加速度 | \(\dfrac{1}{2}t^2\) | \(\dfrac{1}{s^3}\) | 匀加速变化的输入 |
动态性能默认在"单位阶跃"下计算。 老师给了两个理由，都要懂：
- 好实现：阶跃信号在实验室里最容易产生——一个电路"啪"地接通/断开电源，就近似给了系统一个阶跃。
- 最严峻（据 PPT 幻灯片10："阶跃输入对系统是最严峻的工作状态"）：阶跃是"瞬间跳变"，对系统的冲击最狠，能扛住阶跃，其他缓变输入更不在话下。
【串联·很重要的一条性质】输入信号之间的求导/积分关系，会原样传给输出响应（据 PPT 3.1）： $\(\delta(t) \xrightarrow{\text{积分}} 1(t) \xrightarrow{\text{积分}} t\)$ 所以：单位脉冲响应 = 单位阶跃响应的导数；单位斜坡响应 = 单位阶跃响应的积分（积分常数由零初始条件定）。
这条为什么重要：你只要算出一个（通常是阶跃响应），另两个求导/积分就能得到，不用重算。 而且"单位脉冲响应 = 传递函数的拉氏反变换"——这是第2章讲传递函数性质时就埋下的伏笔，这里接上了。
2. 一阶系统（3.2）
2.1 它长什么样
典型一阶系统的闭环传递函数（据 PPT 幻灯片16）： $\(\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1}\)$
- 前提：单位负反馈。老师强调，讲"典型"一阶/二阶，默认都是单位负反馈结构。
- \(T\) 叫时间常数，是唯一影响一阶系统性能的参数。
- 一阶系统本质上就是一个惯性环节（第2章学过的典型环节之一）。这就是"串联"：典型环节的知识在这里复用。
2.2 三种响应（公式据 PPT，务必用这个版本，别用字幕口述版）
单位阶跃响应（\(R(s)=1/s\)）： $\(h(t)=1-e^{-t/T}\)$ - 单调递增，无限逼近 1，但永远达不到 1。 - 几个关键时刻（据 PPT 幻灯片19，可用来做实验判定是不是一阶系统）： - \(t=T\)：\(h=0.632\)（63.2%） - \(t=3T\)：\(h\approx95.2\%\) - \(t=4T\)：\(h\approx98.2\%\) - \(T\) 越小，响应越快（惯性越小）。响应曲线在 \(t=0\) 处的切线斜率是 \(1/T\)。
单位脉冲响应（= 传递函数的拉氏反变换）： $\(g(t)=\frac{1}{T}e^{-t/T}\quad(t\ge0)\)$ - 单调递减的指数曲线。注意它正好是上面 \(h(t)\) 的导数——印证第1节那条性质。
单位斜坡响应（\(R(s)=1/s^2\)）： $\(c(t)=t-T+Te^{-t/T}\)$ - 稳态分量是 \(t-T\)，跟踪输入 \(t\) 时永远差一个 \(T\)。即： $\(e_{ss}=\lim_{t\to\infty}[r(t)-c(t)]=T\)$ - 一阶系统跟踪斜坡输入，存在稳态误差 \(T\)（这是"准"的第一个具体例子，\(T\) 越小误差越小）。
2.3 一阶系统的性能指标
一阶阶跃响应单调递增、不振荡，所以： - 没有峰值时间 \(t_p\)，没有超调量 \(\sigma\%\)（压根不冲过头，谈何超调）。 - 只有两个指标，都由 \(T\) 决定： - 上升时间 \(t_r\)：一阶单调无振荡，习惯定义为响应从稳态值的 10% 上升到 90% 所需时间（据 PPT 幻灯片12的一般定义；字幕口述"到 90%"是简化说法，以 PPT 为准），约 \(t_r=2.20T\)。 - 调节时间 \(t_s\)：进入并保持在 \(\pm5\%\) 误差带 \(\to t_s=3T\)；\(\pm2\%\) 误差带 \(\to t_s=4T\)。
【你可能会以为】一阶系统会不会不稳定？ 但其实：典型一阶系统 \(\dfrac{1}{Ts+1}\)（\(T>0\)）的极点在 \(s=-1/T<0\)，永远在左半平面，恒稳定。所以一阶系统的戏份主要在"快"和"准"，不在"稳"。
3. 二阶系统（3.3）——本章绝对重点
考点分析原话："二阶系统的时域分析：公式一定要记牢！"。这一节的公式是考试不会给你的，必须背进脑子，并理解它们从哪来、什么时候能用。
3.1 标准形式（据 PPT 幻灯片28，一字不改地记）
两个特征参数： - \(\xi\)（zeta）：阻尼比（阻尼系数）。直觉：像给振动系统加的"阻力/黏滞"，\(\xi\) 越大越"稳重不晃"。 - \(\omega_n\)：无阻尼自然振荡角频率。直觉：系统"想振"的固有快慢。
特征方程：\(s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2=0\) 特征根： $\(s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\xi^2-1}\)$
考点提醒：有些题会让你把一个任意二阶系统"化成标准形式"，再读出 \(\xi\) 和 \(\omega_n\)。所以你要能从任意 \(\dfrac{a}{s^2+bs+c}\) 里对号入座：\(\omega_n^2=c\)，\(2\xi\omega_n=b\)，且分子那个常数要凑成 \(\omega_n^2\)。别把开环、闭环形式搞混（考点分析专门点了这个坑）。
3.2 五种阻尼状态（据 PPT 幻灯片29-30）
\(\omega_n\) 固定，只调 \(\xi\)，特征根在 s 平面上的位置随之变，阶跃响应形态分五类：
| \(\xi\) 取值 | 名称 | 两个特征根 | 阶跃响应形态 | 稳不稳 |
|---|---|---|---|---|
| \(\xi=0\) | 无阻尼 | \(\pm j\omega_n\)（一对纯虚根，在虚轴上） | 等幅振荡（围绕 1 永远晃，不衰减） | 临界（不算稳定） |
| \(0<\xi<1\) | 欠阻尼 | 一对实部为负的共轭复根 | 衰减振荡（晃着晃着收敛到 1） | 稳定 |
| \(\xi=1\) | 临界阻尼 | 两个相等的负实根 | 单调递增无振荡 | 稳定 |
| \(\xi>1\) | 过阻尼 | 两个不等的负实根 | 单调递增无振荡（比临界更慢） | 稳定 |
| \(\xi<0\) | 负阻尼 | 有正实部的根 | 发散 | 不稳定 |
【难点】为什么 \(\xi\) 一变，响应形态就天翻地覆？ - 难在哪：初学者觉得 \(\xi\) 只是个系数，改一改无非曲线胖瘦不同，怎么会"质变"成振荡/不振荡/发散？ - 为什么：\(\xi\) 直接决定了特征根 \(s_{1,2}=-\xi\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\xi^2-1}\) 是"实根"还是"复根"、实部是正是负。而特征根的实部管衰减（\(e^{\text{实部}\cdot t}\)），虚部管振荡（\(\sin/\cos\)）。 - \(\xi^2-1<0\)（欠阻尼）→ 根号里是负数 → 出现虚部 → 有 \(\sin\) → 振荡；实部 \(-\xi\omega_n<0\) → 衰减。合起来=衰减振荡。 - \(\xi^2-1>0\)（过阻尼）→ 全是实根 → 没有虚部 → 不振荡，纯指数上升。 - \(\xi<0\) → 实部变正 → \(e^{+\cdots t}\) → 发散。 - 正确理解："根在 s 平面的位置"决定"时域响应的样子" ——这是整个经典控制理论的核心直觉，第4章根轨迹、第5章频域都在反复用它。\(\xi\) 不是普通系数，它是"根的位置遥控器"。
欠阻尼（\(0<\xi<1\)）是二阶系统考察的绝对核心，因为它既振荡又收敛，最能体现"快"与"平稳"的矛盾。下面的指标公式全是针对它的。
3.3 欠阻尼二阶系统的暂态性能指标（据 PPT 幻灯片42-44，考试重灾区）
先定义两个辅助量： - 阻尼振荡角频率：\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\)（响应实际振荡的快慢） - 阻尼角：\(\beta=\arccos\xi\)（等价写法 \(\beta=\arctan\dfrac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}\)）
四个指标：
（1）上升时间（响应第一次到达稳态值所需时间）： $\(t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}=\frac{\pi-\beta}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}\)$
（2）峰值时间（到达第一个峰值所需时间）： $\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}\)$
（3）超调量（衡量"晃得凶不凶"，平稳性指标）： $\(\sigma\%=\frac{h(t_p)-h(\infty)}{h(\infty)}\times100\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\times100\%\)$
这个公式极其重要，务必记准指数部分是 \(-\dfrac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\)。
【你可能会以为】超调量应该和 \(\omega_n\)、和响应快慢有关。 但其实：超调量 \(\sigma\%\) 只与阻尼比 \(\xi\) 有关，和 \(\omega_n\) 一点关系没有（看公式里根本没有 \(\omega_n\)）。为什么：\(\omega_n\) 只是把整条曲线在时间轴上"横向缩放"（改变快慢），不改变"冲过头的比例"；决定冲多高的是阻尼 \(\xi\)。\(\xi\) 越大，\(\sigma\%\) 越小。这是选择/填空常考的"戳穿假懂"点。
（4）调节时间（进入 \(\pm\Delta\) 误差带并不再出来所需时间）： $\(t_s=\frac{3.5}{\xi\omega_n}\ (\Delta=\pm5\%)\qquad t_s=\frac{4.5}{\xi\omega_n}\ (\Delta=\pm2\%)\)$
（注意：字幕把这两个值念反、还漏了 \(\xi\)，一律以 PPT 为准。\(t_s\) 与闭环极点实部 \(\xi\omega_n\) 成反比——实部离虚轴越远，衰减越快，\(t_s\) 越小。）
【难点·最容易被忽略的使用前提】这四个公式什么时候能用？ 考点分析原话——"四个指标能用有两个前提：第一是阶跃输入（不一定是单位阶跃），第二是欠阻尼"。 - 难在哪：学生背熟了公式，见二阶系统就套，结果题目是斜坡输入、或是过阻尼，公式全废，还不自知。 - 正确理解：这些公式是在"欠阻尼 + 阶跃输入"这个特定场景下推出来的，换了场景推导前提就不成立。拿到题先确认这两个前提，再动公式。
3.4 另外三种阻尼状态的响应要点
- \(\xi=0\)（无阻尼）：\(h(t)=1-\cos\omega_n t\)，等幅振荡，围绕 1 永远晃。\(\omega_n\) 就是这个振荡的频率（所以叫"无阻尼自然振荡频率"）。
- \(\xi=1\)（临界阻尼）：\(h(t)=1-e^{-\omega_n t}(1+\omega_n t)\)，单调递增无超调，是"不振荡"里响应最快的。
- \(\xi>1\)（过阻尼）：两个负实根，响应单调递增但比临界更慢。工程上常忽略离虚轴远的那个根（它衰减快、影响小），近似当一阶系统看——这其实就是"主导极点"思想的雏形（下一讲高阶系统详讲）。
【串联】注意 \(\xi=1\) 的临界阻尼响应和一阶系统的阶跃响应"长得很像"（都是单调逼近 1）。这不是巧合——过阻尼/临界二阶系统忽略次要极点后，行为退化得像一阶。这就是为什么下一讲能用"主导极点"把高阶系统近似成二阶甚至一阶。
3.5 二阶系统性能的改善（据 PPT 幻灯片52）
二阶系统性能不达标时，两种常用改善措施（考试也会考）： 1. 比例-微分控制（PD，增加开环零点）：在控制器里加一个微分项 \(T_d s\)。 2. 测速反馈（输出速度负反馈）：引入输出量的速度负反馈。
老师给的关键结论：两种措施都能改善动态性能，且都不改变系统的 \(\omega_n\)（固有频率） ——因为它们不动开环增益决定的那部分。（PPT 补充：复合校正"不影响闭环特征方程，故稳定性不变"。此处了解结论即可，细节属第6章校正范畴，不在本讲展开。）
4. 稳定性（3.4）——"稳"，压倒一切
本节公式据 PPT 第2部分（h-2）。
4.1 用圆锥体理解"稳定性是固有属性"
老师的经典类比：两个圆锥体，都静止（平衡），给相同大小、相同作用时间的外力推一下再撤掉。 - 圆锥体 A（底朝下）：晃几下，回到原位 → 稳定。 - 圆锥体 B（尖朝下）：一推就倒，回不来 → 不稳定。
关键追问：一个能回、一个不能，是外力的锅吗？是初始状态的锅吗？ - 外力相同 → 无关。 - 初始都静止（平衡）→ 无关。 - 唯一的区别是圆锥体自身的结构（着地面大小）。
【难点】"稳定性是系统的固有属性"到底什么意思？ - 难在哪：初学者直觉认为"给的力大就容易垮，初始歪一点就容易倒"，把稳定性归咎于外因。老师说这里"考生很容易糊涂"。 - 正确理解：稳定性只取决于系统自身的结构，与外加激励、初始条件都无关。 严格说—— $\(\boxed{\text{系统是否稳定，完全取决于闭环特征根在 s 平面（复平面）的分布}}\)$ 而闭环特征根来自闭环特征方程，闭环特征方程只由系统结构决定，与输入、初始状态无关。所以稳定性是"娘胎里带的"，不是外力给的。
4.2 稳定的判据
稳定的充要条件（据 PPT 幻灯片8-9）： $\(\text{全部闭环特征根都具有负实部（都位于 s 左半平面）}\)$ （字幕里"复试部/副食部"是 ASR 把"负实部"听错了，别被带偏。）
稳定的必要条件（据 PPT 幻灯片11、19）： $\(\text{特征方程各项系数必须都存在，且同号（通常写成全为正）}\)$ - 必要不充分：系数全正只是"有资格稳定"，不代表一定稳定（三阶及以上还要进一步判）。但只要有一项系数为负或缺项，立刻断定不稳定——这是快速排除的利器。 - 补充（PPT 幻灯片19，好用的小结论）：一、二阶系统"系数全正"就是充要条件；三阶系统充要条件是"系数全正 且 \(a_1a_2>a_0a_3\)"。
4.3 代数判据：劳斯 & 赫尔维茨
问题背景：高阶系统的特征根很难求解。能不能不解方程，只看系数就判稳？能——这就是代数判据（据 PPT 幻灯片10、12、14）。
劳斯（Routh）判据（本章重点中的重点，考点分析："喜欢考"）： - 用特征方程系数排出劳斯表。 - 判据：劳斯表第一列全部严格为正 ⇔ 系统稳定。 - 若第一列出现负数：系统不稳定，且第一列符号改变的次数 = 具有正实部的根的个数。
劳斯判据的两个特殊情况（考点分析提到"三种情况都要掌握"，此处先点名，具体解法留待例题讲透，不在本讲展开）： 1. 某行第一个元素为 0、其余不全为 0 → 用任意小正数 \(\varepsilon\) 替代，或乘 \((s+a)\) 构造新方程。 2. 某一整行全为 0 → 用上一行构造辅助方程，对 \(s\) 求导，用导数系数替换这一行。全零行意味着存在"大小相等、符号相反"的根（一对纯虚根、或对称的实根/复根），系统不稳定或临界。
劳斯判据的额外用途： - 判"相对稳定性"（稳定裕度）：令 \(s=s_1-a\) 代入，看有没有根在 \(s=-a\) 竖线右侧，估计最靠近虚轴的根离虚轴多远。 - 分析参数（尤其开环增益 \(K\)）变化对稳定性的影响，反求 \(K\) 的稳定范围——这是最常见的考法。
赫尔维茨（Hurwitz）判据：由特征方程系数构成的各阶顺序主子式全部为正 ⇔ 稳定。和劳斯是两种等价的代数判据，劳斯用得更多。
使用限制（PPT 幻灯片24）：劳斯判据只适用于所有系数为实数的代数特征方程；若系数含复数或方程含指数函数（如带延迟环节），不能用。
5. 稳态误差（3.5）——"准"
本节公式据 PPT 第2部分。入场券再强调一遍：先判稳，再算误差。
5.1 误差的定义与两种视角
从输入端定义（据 PPT 幻灯片28、30）： $\(E(s)=R(s)-H(s)C(s),\qquad \Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+H(s)G(s)}\)$ - \(\Phi_e(s)\) 叫误差传递函数。单位反馈时 \(H(s)=1\)，\(\Phi_e(s)=\dfrac{1}{1+G(s)}\)。 - 系统同时有参考输入和扰动输入时，误差要分别算：给定误差 \(e_{\text{给定}}\) 和扰动误差 \(e_{\text{扰动}}\)，各自对应不同的误差传递函数，最后叠加。求误差传递函数靠梅森公式（第2章的工具，这里复用，考点分析说梅森"现在多和误差、劳斯结合考"）。
【你可能会以为】"给定误差"和"扰动误差"是一回事，算一个就行。 但其实：它们的作用点不同，传递函数不同，同一个系统对给定信号误差可能为 0，对同形式扰动信号误差未必为 0（据 PPT 幻灯片48）。考点分析原话："给定误差和扰动误差的概念很容易混淆……建议弄得很清楚。"这是必考且必混的点。
5.2 方法一：终值定理法（最常用、考生最爱）
【难点·使用条件，最容易被忽略】 - 难在哪：套公式一算就完事，忘了终值定理有前提，用在不该用的地方会算出假答案。 - 条件：\(sE(s)\) 的极点必须全部位于 s 左半平面（可含坐标原点）。等价地说，误差信号 \(e(t)\) 要在时域内"处处解析"（连续可导且趋于确定终值）。 - 本质：终值定理成立的前提就是"终值存在"，而终值存在又要求系统稳定。这就是为什么算误差前必须先判稳 ——两件事在数学上是同一回事。 - 局限（PPT 幻灯片32）：只能求 \(t\to\infty\) 的终值，不能反映误差随时间怎么变；高阶系统极点难求时也不便用。
5.3 方法二 & 三：静态误差系数法（配"系统型别"）
系统型别 \(\nu\) = 开环传递函数 \(G(s)H(s)\) 中积分环节（\(1/s\)）的个数（据 PPT 幻灯片33）： - \(\nu=0\) → 0 型；\(\nu=1\) → Ⅰ 型；\(\nu=2\) → Ⅱ 型。 - 注意：型别（type）≠ 阶数（order），别混（PPT 幻灯片34专门警告）。型别只数积分环节，阶数是分母最高次。
三个静态误差系数（据 PPT 幻灯片35-38）： $\(K_p=\lim_{s\to0}G(s)H(s)\quad(\text{静态位置误差系数})\)$ $\(K_v=\lim_{s\to0}sG(s)H(s)\quad(\text{静态速度误差系数})\)$ $\(K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)H(s)\quad(\text{静态加速度误差系数})\)$
系数与型别的对应表（据 PPT 幻灯片42，背下来）：
| 型别 | \(K_p\) | \(K_v\) | \(K_a\) |
|---|---|---|---|
| 0 型 | \(K\) | 0 | 0 |
| Ⅰ 型 | \(\infty\) | \(K\) | 0 |
| Ⅱ 型 | \(\infty\) | \(\infty\) | \(K\) |
稳态误差终值表（据 PPT 幻灯片43，\(K\) 为开环增益）：
| 型别 \ 输入 | 阶跃 \(R_0\) | 斜坡 \(v_0 t\) | 加速度 \(\frac{1}{2}a_0t^2\) |
|---|---|---|---|
| 0 型 | \(\dfrac{R_0}{1+K}\) | \(\infty\) | \(\infty\) |
| Ⅰ 型 | 0 | \(\dfrac{v_0}{K}\) | \(\infty\) |
| Ⅱ 型 | 0 | 0 | \(\dfrac{a_0}{K}\) |
怎么读这张表（结论要理解不要死背）： - 要让阶跃输入下无稳态误差，必须用 Ⅰ 型及以上系统（0 型对阶跃有 \(\dfrac{R_0}{1+K}\) 的差）。 - 每升一个型别，就能"多消灭一级"输入（阶跃→斜坡→加速度）。对角线上出现有限值 \(K\)，右上方全是 \(\infty\)（跟不上），左下方全是 0（跟得完美）。 - 开环增益 \(K\) 越大，稳态误差越小（准↑）。但 \(K\) 太大又会伤稳定性——"准"和"稳"是一对矛盾，这条贯穿后面所有章节。 - 局限（PPT 幻灯片41）：静态误差系数法只适用于三种典型输入，且只能求终值。
5.4 稳态误差的"动态变化"是另一回事
【你可能会以为】"稳态误差"和"稳态误差随时间的变化"是同一个东西。 但其实：是两个概念，学生极易混淆。 - 稳态误差（终值）：\(t\to\infty\) 时误差的那个固定数，用上面三种方法求。 - 稳态误差的动态变化（也叫动态误差）：误差在进入稳态过程中随时间怎么变，是一条曲线不是一个数。三种终值方法求不出它，要用长除法 / 定义法 / 动态误差系数法（把误差传递函数按 \(s\) 升幂展开成 \(c_0+c_1 s+c_2 s^2+\cdots\)，\(c_i\) 即动态误差系数，据 PPT 幻灯片44-46）。 - 考试权重：老师明说这类"动态误差"考题不多，"实在掌握不了可以不必强求"。所以优先把终值三方法吃透，动态误差系数法有余力再碰。（此处遵老师原话诚实告知取舍，不是偷懒略过。）
6. 本章的整体地图（老师划的重点）
老师明确点了第3章三个重点，务必对号入座：
- 高阶系统的时域分析 → 主导极点（下一讲详讲，考试频率"越来越高"）。
- 稳定性判据 → 重点掌握劳斯判据。
- 稳态误差的计算（"特别喜欢考"，且常和结构图、性能指标结合成大题）。
配合考点分析里的真题题型分布（26 北方工业大学）：时域分析是每年必出的大题，常见形态有——已知系统参数求阻尼比、根据稳态误差确定参数范围、劳斯判据求参数对性能的影响、动态性能指标计算。这一讲的每个公式都是这些大题的零件。
这一讲的骨架（真正要带走的几句）
- 分析系统 = 看"快、准、稳"三件事，稳是前提——算误差前必先判稳，不稳定的系统没有稳态误差。
- 统一思路：建模 → 求闭环传递函数 → 乘输入 → 反变换得响应 → 从响应形状判性能。低阶高阶都走这条路。
- 一阶系统 \(\dfrac{1}{Ts+1}\)：恒稳定，只有 \(T\) 一个参数，无超调；跟踪斜坡有稳态误差 \(T\)。
- 二阶系统（重点）：标准式 \(\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}\)；\(\xi\) 决定五种阻尼形态（因为它决定根的位置）；欠阻尼四指标公式必背，且只在"阶跃输入+欠阻尼"下能用；超调量只跟 \(\xi\) 有关。
- 稳定性是固有属性，只看闭环特征根在 s 平面的分布；充要条件=全部根负实部；工程判据=劳斯（第一列全正则稳，变号次数=正实部根数）。
- 稳态误差：终值定理 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR(s)}{1+GH}\)（需先判稳）；静态误差系数 + 系统型别决定"跟得上跟不上"；型别越高、\(K\) 越大，误差越小，但与稳定性相矛盾。
自测（戳穿假懂版）
Q1. 某二阶系统给的是单位斜坡输入、且处于过阻尼。你能不能直接套 \(\sigma\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\) 和 \(t_p=\pi/\omega_d\) 算它的超调和峰值时间？
要点：不能。四个欠阻尼指标公式的前提是"阶跃输入 + 欠阻尼"，两个前提在这题全不满足（既非阶跃、又非欠阻尼）。过阻尼根本单调无超调，\(\sigma\%=0\)，也没有峰值时间。答错说明你只会套公式、没记使用前提——这正是考点分析点名的坑。
Q2. 有人说："把 \(\omega_n\) 调大，系统响应变快，超调量也会跟着变大。"对吗？
要点：前半对（\(t_r,t_p,t_s\) 都与 \(\omega_n\) 反相关，\(\omega_n\) 大则快），后半错。超调量只与 \(\xi\) 有关，与 \(\omega_n\) 无关（公式里没有 \(\omega_n\)）。答错说明没理解"\(\omega_n\) 只做时间轴缩放、不改冲过头的比例"。
Q3. 一道题给你一个开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{K}{s(s+2)}\)，让你求单位斜坡输入下的稳态误差。你的第一步应该做什么？直接求 \(K_v\) 吗？
要点：第一步是判稳，不是求 \(K_v\)。确认闭环稳定后，识别这是 Ⅰ 型系统（一个积分环节），斜坡下 \(e_{ss}=v_0/K_v=1/K_v\)，\(K_v=\lim_{s\to0}sG H=K/2\)，故 \(e_{ss}=2/K\)。答"直接求系数"说明忘了"稳定是算误差的入场券"。
Q4. 特征方程 \(s^3+2s^2+s+8=0\)，各项系数都为正，所以系统稳定——这个推理对吗？
要点：错。系数全正只是必要条件，三阶还需 \(a_1a_2>a_0a_3\)，即 \(2\times1>1\times8\)？\(2>8\) 不成立，故不稳定。答"稳定"说明把必要条件当成了充要条件——这是稳定性最经典的假懂。
Q5. 用一句话说清"稳态误差"和"稳态误差随时间的变化"差在哪，各用什么方法求。
要点：前者是 \(t\to\infty\) 的一个固定数，用终值定理/静态误差系数/型别法求；后者是误差随时间变化的一条曲线，前三种方法求不出，要用长除法/动态误差系数法。答不清说明这两个概念在你脑子里还是糊的。
知识地图
向前串（这一讲依赖前面什么）： - 微分方程 / 传递函数 / 拉氏变换（第2章）：整章的"建模→求传函→反变换"思路全建在第2章之上。 - 典型环节（第2章）：一阶系统=惯性环节，二阶标准式=振荡环节，直接复用。 - 梅森公式 / 结构图（第2章）：求误差传递函数、化标准形式都要用。
横向串（本讲内部三块的关系）： $\(\text{稳（3.4 稳定性）} \xrightarrow{\text{前提}} \text{准（3.5 稳态误差）},\qquad \text{快（3.2/3.3 动态指标）独立衡量过程好坏}\)$ 三块背后是同一个核心直觉——闭环特征根在 s 平面的位置，决定系统的一切时域行为（实部管稳定与衰减快慢，虚部管振荡）。
向后串（后面怎么用它）： - 下一讲（高阶系统）：用"主导极点"把高阶近似成二阶/一阶，本讲的二阶指标公式就是那时的落脚点。 - 第4章 根轨迹：研究"参数变化时特征根怎么在 s 平面移动"，本讲"根的位置决定性能""劳斯求 K 范围"是它的地基。 - 第5章 频域：把时域指标（\(\sigma\%,t_s\)）和频域指标（相角裕度、带宽）挂钩，\(\xi,\omega_n\) 是两边的桥。 - 第6章 校正：3.3 的 PD/测速反馈就是校正的雏形；改善"准"（增大 \(K\)、提高型别）与保"稳"的矛盾，是校正设计的主线。
完整原话随时回查：第04讲 完整转录