考研851 自动控制原理
题库 · 简答题库 · p.66
\[ J=\varphi[x(t_f),t_f]+\int_{t_0}^{t_f} L[x(t),u(t),t]\mathrm{d}t \]

复合型性能指标是最一般的性能指标形式，表示对整个控制过程和末端状态都有要求。主要由以下两种应用类型：

a.状态调节器

b.输出跟踪系统

4、最优控制分类

(1) 最小误差系统：在整个控制过程中使指标误差达到最小

a 最优调节系统：以最小误差维持平衡状态。

b.最优随动系统，以最小误差跟踪目标或参考变量。

(2) 时间最优控制系统

在限定的控制功率(能量)范围内，最快的从初态到给定状态

(3) 最优末值控制系统

具有要求的最优终了状态

(4) 能量最省控制系统

完成控制任务的同时，能耗最少

(5) 最大可靠性系统、最少投资系统

5、简述基于二次型性能指标的最优控制。

答：线性二次型最优控制问题的性能指标为

\[ J=\frac{1}{2}e^{\tau}(t_f)Fe(t_f)+\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_f}[e^{\tau}(t)Q(t)e(t)+u^T(t)R(t)u(t)]\mathrm{d}t \]

这里，权函数 \(F\)、\(Q(t)\) 为正半定矩阵，\(R(t)\) 为正定矩阵。假设 \(t_f\) 固定。要求寻找最优控制 \(u^*(t)\),使性能指标 J 为最小。被积函数的第一项表明误差 \(e(t)\) 的大小，是非负的。其第二项表明控制功率的大小，对应于 \(u\neq0\) 它恒为正。因此，对 \(u(t)\) 往往不需再加约束，而常设 \(u(t)\) 为自由的。性能指标的第一项则表示终值误差。

6、现代控制论中，最优控制问题的一般提法是什么？以连续时间系统的线性二次型问题为例，线性调节器问题与跟踪问题再预期目标与目标函数的设计上有什么区别？解最优控制问题有哪几种主要方法？各自有何适用范围？

解析：设线性时变系统的动态方程为

\[ \dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),\quad x(t_0)=x_0,\quad y(t)=C(t)x(t) \]

性能指标为：\(J=\frac{1}{2}e^{T}(t_f)Fe(t_{\}})+\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}[e^{T}(t_f)Qe(t_f)+u^{T}(t)R(t)u(t)]\mathrm{d}t \quad (B)\)

(1) 如果 \(C(t)=I,z(t)=0\)，则有\(e(t)=-y(t)=-x(t)\)

从而性能指标演变为：\(J\frac{1}{2}x^{T}(t_f)Fx(t_f)+\frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_f}[x^{\tau}(t_f)Qx(t_f)+u^{\tau}(t)R(t)u(t)]\mathrm{d}t \quad (C)\)，这时，

线性三次型最优控制问题为：当系统 (A) 受扰偏离原零平衡状态，要求产生一控制向量，