\[\gamma=180°+\angle G(j\omega_c)=180°+(-90°-2\arctan0.2\omega_c)=60°\]
\[\arctan0.2\omega_c=15°\]
得系统截止频率
\[\omega_c=1.34\]
由
\[|G(j\omega_c)|=\dfrac{K}{|\omega_c|\,|(0.2\omega_c)^2+1|}=1\]
可求得
\[K=1.436\]
5-67 设单位反馈控制系统的开环频率特性的数据如表5-3所示。
表5-3 单位反馈控制系统的开环频率特性的数据
| \(\omega\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\|G(j\omega)\|\) | 7.5 | 4.8 | 3.15 | 2.25 | 1.70 | 1.00 | 0.64 |
| \(\angle G(j\omega)\) | \(-118°\) | \(-130°\) | \(-140°\) | \(-150°\) | \(-157°\) | \(-170°\) | \(-180°\) |
试确定：(1) 系统的幅值裕度和相角裕度；(2) 系统幅值裕度为20dB时，增益 \(K\) 的变化；(3) 系统相角裕度为 \(50°\) 时，增益 \(K\) 的变化。
解 (1) 求幅值裕度 \(h\) 和相角裕度 \(\gamma\)。
由表中数据可知
\[|G(j\omega_c)|=1,\quad \omega_c=8,\quad \angle G(j\omega_c)=-170°\]
所以
\[\gamma=180°+\angle G(j\omega_c)=10°\]
因
\[\angle G(j\omega_x)=-180°,\quad \omega_x=10,\quad |G(j\omega_x)|=0.64\]
所以
\[h=\dfrac{1}{|G(j\omega_x)|}=1.56\]
\[20\lg h=-20\lg|G(j\omega_x)|=3.86\text{dB}\]
(2) 求 \(20\lg h'=20\text{dB}\) 时，\(K\) 的变化。
因
\[20\lg h'=20\text{dB},\quad h'=10\]
\[|G'(j\omega_x)|=\dfrac{1}{h'}=0.1\]
\[\dfrac{|G'(j\omega_x)|}{|G(j\omega_x)|}=\dfrac{0.1}{0.64}=0.156\]
故增益 \(K\) 变成原来的 0.156 倍。
(3) 求 \(\gamma=50°\) 时，\(K\) 的变化。
若 \(\gamma=50°\)，应有 \(\angle G(j\omega_c')=-130°\)。查表知，\(\omega_c'=3\)，应有 \(|G(j\omega_c')|=1\)
\[\dfrac{|G(j\omega_c')|}{|G(j3)|}=\dfrac{1}{4.8}=0.208\]
故增益 \(K\) 变成原来的 0.208 倍。
图5-126 控制系统结构图
5-68 在图5-126所示系统中，当输入信号 \(r(t)=\sin10t\) 时，测得稳态输出信号为 \(c(t)=\sin(10t-90°)\)，试求：(1) 系统阻尼比 \(\zeta\) 及无阻自然振荡频率 \(\omega_n\)；(2) 系统的超调量 \(\sigma\%\) 及调节时间 \(t_s\)（\(\Delta=0.05\)）。
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