\[\mathrm{rank}\boldsymbol{S}_o = \mathrm{rank}[\boldsymbol{cb} \quad \boldsymbol{cAb} \quad \boldsymbol{b}] = \mathrm{rank}[2 \quad \pi \quad 0] = 1 = q\]
因此系统输出可控。
(2) \(T=1\) 离散化。设系统离散化后的状态方程为 \(\boldsymbol{x}(k+1)=\boldsymbol{G}(T)\boldsymbol{x}(k)+\boldsymbol{h}(T)u(k)\),式中 \(\boldsymbol{G}(T),\boldsymbol{h}(T)\) 与连续系统的状态转移矩阵 \(\boldsymbol{\Phi}(t)\) 的关系为
\[\boldsymbol{G}(T) = \boldsymbol{\Phi}(t)\mid_{t=T}, \qquad \boldsymbol{h}(T) = \int_0^T \boldsymbol{\Phi}(\tau)\boldsymbol{b}\,\mathrm{d}\tau\]
先求连续系统的状态转移矩阵
\[\boldsymbol{\Phi}(t) = \mathscr{L}^{-1}\left[(s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})^{-1}\right] = \begin{bmatrix} \cos\pi t & \sin\pi t \\ -\sin\pi t & \cos\pi t \end{bmatrix}\]
当 \(T=1\) 时,
\[\boldsymbol{G}(T) = \boldsymbol{\Phi}(t)\mid_{t=T} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{h}(T) = \int_0^T \boldsymbol{\Phi}(\tau)\boldsymbol{b}\,\mathrm{d}\tau = \begin{bmatrix} \dfrac{2}{\pi} \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{c} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}\]
离散系统的可控性
\[\mathrm{rank}\boldsymbol{S} = \mathrm{rank}[\boldsymbol{h} \quad \boldsymbol{Gh}] = \mathrm{rank}\begin{bmatrix} \dfrac{2}{\pi} & -\dfrac{2}{\pi} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 1 < 2 = n\]
因此离散系统不可控。
系统的可观测性
\[\mathrm{rank}\boldsymbol{V} = \mathrm{rank}\begin{bmatrix} \boldsymbol{c} \\ \boldsymbol{cG} \end{bmatrix} = \mathrm{rank}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = 1 < 2 = n\]
因此离散系统不可观测。
系统的输出可控性
\[\mathrm{rank}\boldsymbol{S}_o = \mathrm{rank}[\boldsymbol{ch} \quad \boldsymbol{cGh} \quad d] = \mathrm{rank}\left[\dfrac{2}{\pi} \quad -\dfrac{2}{\pi} \quad 0\right] = 1 = q\]
因此离散系统输出可控。
(3) \(T=2\) 离散化。
\[\boldsymbol{G}(T) = \boldsymbol{\Phi}(t)\mid_{t=T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{h}(T) = \int_0^T \boldsymbol{\Phi}(\tau)\boldsymbol{b}\,\mathrm{d}\tau = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{c} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}\]
离散系统的可控性
\[\mathrm{rank}\boldsymbol{S} = \mathrm{rank}[\boldsymbol{h} \quad \boldsymbol{Gh}] = \mathrm{rank}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 < 2 = n\]
因此离散系统不可控。
系统的可观测性
\[\mathrm{rank}\boldsymbol{V} = \mathrm{rank}\begin{bmatrix} \boldsymbol{c} \\ \boldsymbol{cG} \end{bmatrix} = \mathrm{rank}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = 1 < 2 = n\]
因此离散系统不可观测。
系统的输出可控性
\[\mathrm{rank}\boldsymbol{S}_o = \mathrm{rank}[\boldsymbol{ch} \quad \boldsymbol{cGh} \quad d] = \mathrm{rank}[0 \quad 0 \quad 0] = 0 < 1 = q\]
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