从而\(\lambda^n|\lambda \boldsymbol{I}_n-\boldsymbol{AB}|=\lambda^n|\lambda \boldsymbol{I}_n-\boldsymbol{BA}|\)。所以可知,\(\boldsymbol{AB}\)的特征值必等同于\(\boldsymbol{BA}\)的特征值。

9-44

设\(\boldsymbol{A}\)为常数方阵,定义以\(\boldsymbol{A}\)为幂的矩阵指数为

现假定\(\boldsymbol{A}\)的特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)为两两相异,试证明:

证明 由于\(\boldsymbol{A}\)的特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)两两相异,所以必存在\(n\)维非奇异阵\(\boldsymbol{P}\)使得\(\boldsymbol{A}\)可以实现对角化,即\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\ \boldsymbol{P}^{-1}\),其中 为以\(\boldsymbol{A}\)的特征值为对角元素的对角阵。因此

其中,\(e^{\lambda_i}=1+\lambda_i+\frac{1}{2!}\lambda_i^2+\cdots+\frac{1}{k!}\lambda_i^k\)。显然有\(\det(e^{\boldsymbol{A}})=\prod_{i=1}^{n}e^{\lambda_i}\)。

9-45

已知\(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=e^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{B}e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{x}(t)\),其中\(\boldsymbol{A}\)和\(\boldsymbol{B}\)均为常数矩阵,\(\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}\)。试求系统的状态转移矩阵\(\boldsymbol{\Phi}(t)\)。

解 令\(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\tilde{\boldsymbol{A}}\boldsymbol{x}(t)\),其中\(\tilde{\boldsymbol{A}}=e^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{B}e^{\boldsymbol{A}t}\),则状态转移矩阵

由于\(\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}\),故\(\boldsymbol{\Phi}(t,t_0)=e^{-\boldsymbol{A}t}e^{(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(t-t_0)}e^{\boldsymbol{A}t_0}\)。

9-46

已知矩阵微分方程\(\dot{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{AX}+\boldsymbol{XA}^{\mathrm{T}}\),\(\boldsymbol{X}(0)=\boldsymbol{P}_0\),其中\(\boldsymbol{X}\)为\(n\times n\)变量阵。试证明:此矩阵微分方程的解为

证明 由于\(\dot{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{AX}+\boldsymbol{XA}^{\mathrm{T}}\),即\(\dot{\boldsymbol{X}}-\boldsymbol{AX}-\boldsymbol{XA}^{\mathrm{T}}=0\),因此

因为

对上式两边积分可得

此时矩阵微分方程的解为\(\boldsymbol{X}(t)=e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{P}_0 e^{\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}t}\)。

9-47

试证明:实对称矩阵的特征值是实数。

证明 设\(\boldsymbol{A}\)为实对称矩阵,在复数域上,有\(\boldsymbol{A}^{\mathrm{H}}=\boldsymbol{A}\)。设\(\lambda\)为\(\boldsymbol{A}\)的一个特征值,\(x\)是特征向量,则有

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